Геометрия возникла очень давно, это одна из самых древних наук
геометрия
Геометрия возникла очень давно, это одна из самых древних наук. В переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие» («гео» - по-гречески земля, а «метрео» - мерить)
Стереометрия – раздел геометрии, в которой изучаются свойства фигур в пространстве
Стереометрия – раздел геометрии, в которой изучаются свойства фигур в пространстве.
шар
куб
цилиндр
Планиметрия изучает свойства геометрических фигур на плоскости.
Введение
А В С Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна
аксиомы стериометрии
А
В
С
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
А
В
Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
β
α
α
а
Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
М P Q a α М a N b α Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна
некоторые следствия из аксиом
М
P
Q
a
α
М
a
N
b
α
Через прямую и не лежащую
на ней точку проходит плоскость,
и притом только одна.
Через две пересекающиеся
прямые проходит плоскость,
и притом только одна.
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются
параллельные прямые в пространстве
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
β
b
a
a
b
M
β
Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Если одна из параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость
Если одна из параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
b
a
М
параллельность трех прямых
a
b
K
c
α
α
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
a
b
p
M
N
β
α
Определение: прямая и плоскость называются параллельными , если они не имеют общих точек
параллельность прямой и плоскости
Определение: прямая и плоскость называются параллельными , если они не имеют общих точек.
α
а
b
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
10. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
a
b
α
β
20. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.
Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость, то эти прямые скрещивающиеся
скрещивающиеся прямые
Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость, то эти прямые скрещивающиеся.
Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
D
A
B
E
A
B
D
C
β
β
C
Две плоскости называются параллельными , если они не пересекаются
параллельность плоскостей
β
β
α
α
a1
b1
a
b
м
Две плоскости называются параллельными , если они не пересекаются.
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
A A1 B C D B1 D1 C1 Тетраэдр имеет 4-е грани (АВС;
тетраэдр и параллелепипед
A
A1
B
C
D
B1
D1
C1
Тетраэдр имеет 4-е грани (АВС; АДВ; ВДС; АДС), 6-ть ребер (АВ; АС; АД; ДВ; ВС; ДС,), 4-е вершины(А; В; С; Д; ). АВС- основание тетраэдра.
Параллелепипед имеет 6-ть граней(АВСД;А1В1С1Д1;АА1В1В;ВВ1С1С;СС1Д1Д;ДД1А1А.),8-мь вершин(А;В;С;Д;А1;В1;С1;Д1), 12-ть ребер(АВ;ВС;СД;ДА;АА1;ВВ1;СС1;ДД1;А1В1;В1С1;С1Д1;Д1А1)
C b a b A M Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой
перпендикулярные прямые в пространстве
a
c
c
C
b
a
b
A
M
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 900.
M β С Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости
a
a1
х
α
параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости
а
b
а
b
α
b1
M
β
С
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
α
O g α A a B α m p p g O P Q L l
признак перпендикулярности прямой и плоскости
a
m
O
g
α
A
a
B
α
m
p
p
g
O
P
Q
L
l
Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым,
лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой прямой.
Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащим одной плоскости
двугранный угол
Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащим одной плоскости.
Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.
Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 900
признак перпендикулярности двух плоскостей
Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 900.
D
A
C
B
β
α
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой – концом, называется вектором
Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой – концом, называется вектором.
т
А
В
С
D
AB и CD – ненулевые вектора
ТТ- нулевой вектор
Длиной ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ.
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
A
D
B
C
E
K
N
M
AM DK; AD EK; AB DC;
AD , AM не являются ни сонаправленными, ни противоположно направленными, так как они не коллениарны.
понятие вектора
A A A B C B C B C АС называется суммой векторов а и b:
сложение и вычитание векторов
а
а
а
а
а
b
b
b
b
b
b
а
a+b
a+b
a+b
A
A
A
B
C
B
C
B
C
АС называется суммой векторов а и b: АС=а+b. Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Правила треугольника можно сформулировать в такой форме: для любых трех точек А,В и С имеет равенство АВ+ВС=АС
а
а
а
а
b
b
b
A
A
B
B
О
О
-b
а - b
а - b
OA=a, AB=-b, OB=a+(-b)=a-b
OA=a, OB=b, BA=a-b
Для любых векторов а, b и с справедливы равенства:
a+b=b+a (переместительный закон);
(a+b)+c=a+(b+c) (сочетательный закон)
Разностью векторов a, b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору а.
A a b c C B O ОС=a +b +c A1 A2
сумма нескольких векторов
A
a
b
c
C
B
O
ОС=a +b +c
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A1A2+A2A3+A3A4+A4A5+A5A6+A6A7=A1A7
A1A2+A2A3+A3A4+A4A5+A5A6+A6A1=O
a
a
b
b
c
c
C
O
E
d
d
e
e
D
A
B
Сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.
Правило многоугольника: если А1А2+А2А3+….+Аn-1An=A1An.
O A B E C D B1 O B1 C A1 A B b b
компланарные вектора
a
c
O
A
B
E
C
D
B1
O
B1
C
A1
A
B
b
b
OB1=y*OB
OA1=x*OA
OC=x*OA+ y*OB=C
a
Векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.
Если вектор с можно разложить по векторам а и b,т.е. представить в виде с=ха+уb,где х и у – некоторые числа, то векторы а, b и с комплектарны.
O A B a C P P1 P2 b c p Если вектор р представлен в виде р = ха + уb + zc, где…
разложение вектора
по трем неколлениарным векторам
O
A
B
a
C
P
P1
P2
b
c
p
Если вектор р представлен в виде р = ха + уb + zc, где х, у,z-некоторые числа, то говорят, что вектор р разложен по векторам а,b и с. Числа х, у, z называются коэффициентами разложения.
Ось ординат Ось аппликат Ось абсцисс
прямоугольная система координат
в пространстве
Ось ординат
Ось аппликат
Ось абсцисс
О
Х
У
Z
Точка О разделяет каждую из осей координат на два луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а другой луч –отрицательной полуосью
Z
У
Х
О
М1
М2
М3
М
В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются ее координатами.
О Х У Z i k j Любой вектор а можно разложить по координатным векторам, т
координаты вектора
О
Х
У
Z
i
k
j
Любой вектор а можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде а=хi+yj+zk, причем коэффициенты разложения х, у, z определяются единственным образом.
10 Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.
20 Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.
30 Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.
М3 М1 М2 М(х;у;z) Х У Z i j k N
связь между координатами вектора
и координатами точек
М3
М1
М2
М(х;у;z)
Х
У
Z
i
j
k
N
A(x1;y1;z1)
B(x2;y2;z2)
AB x2-x1;y2-y1;z2-z1
Координаты любой точки равны соответствующим координатам ее радиуса-вектора.
О
ОМ-радиус-вектор
Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.
О
А В О а b c b a d f 300 Угол между векторами а и b равен α
угол между векторами
А
В
О
а
b
c
b
a
d
f
300
Угол между векторами а и b равен α. Если угол между векторами равен 900, то векторы называются перпендикулярными.
α
a b =300, a c =1200, d f =00, d c =1800.
b c, b d, b f
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними
скалярное произведение векторов
а
b
Скалярным произведением
двух векторов называется
произведение их длин
на косинус угла между ними.
Справедливы утверждения:
скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны;
скалярный квадрат вектора (т.е. скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату его длины.
Для любых векторов а, b, с и любого числа k справедливы равенства:
10 а2 >0, причем а2>0 при а = 0.
20 a b=b a(переместительный закон)
30 (a + b) c=a c + b c(распределительный закон)
40 k (a b)=(ka) b (сочетательный закон).
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
