Углы при параллельных прямых и секущей

Углы при параллельных прямых и секущей.

Повторяем теорию.

Две      прямые     на     плоскости     называются

параллельными, если они не пересекаются.

𝑎 ∥ 𝑏

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках.

При    пересечении    двух    прямых                  секущей образуются 8 углов.

∠3 и ∠6 ,   ∠4 и ∠5    –    внутренние                           накрест лежащие углы

∠3 и ∠5, ∠4 и ∠6 – внутренние односторонние

углы

∠1 и ∠5, ∠3 и ∠7, ∠2 и ∠6, ∠4 и ∠8 – соответственные углы

Признаки параллельности прямых.

1.            Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

2.            Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

3.            Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180⁰, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых.

1.            Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

2.            Если   две   параллельные   прямые  пересечены   секущей,   то               сумма односторонних углов равна 180⁰.

3.            Если     две     параллельные     прямые    пересечены     секущей,               то соответственные углы равны.

Аксиома параллельных прямых.

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следствия.

1.            Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

2.            Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Проверяем себя.

Т1. Выберите верные утверждения:

а) Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны. б) Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.

в) Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны.

г) Если при пересечении двух прямых секущей сумма накрест лежащих углов составляют 180 º, то эти две прямые параллельны.

Ответ: б), в).

Т2. Выберите неверные утверждения:

а) Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны.

б) Если при пересечении двух прямых третьей прямой односторонние углы в сумме составляют 180 º, то эти две прямые параллельны.

в) Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то эти две прямые параллельны.

г) Два перпендикуляра к одной прямой параллельны.

д) Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она не пересекает другую прямую.

Ответ: а), д).

Т3. Вставьте пропущенные слова:

а) Если две прямые параллельны третьей, то                      .

Ответ: они параллельны друг другу

б) Две прямые на плоскости называются параллельными, если              .

Ответ: они не пересекаются

в) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом                      .

Ответ: только одну

Решаем задачи

1.   Известно, что ВС и АD параллельны.

а) Найдите ∠ВСD, если ∠АDC =54°. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 126

б) Найдите ∠ЕСD, если ∠АDС= 56°. Ответ дайте в градусах

Ответ: 56

в) Найдите ∠АDM, если ∠ВСD=120°. Ответ дайте в градусах

Ответ: 120

2.   а) Прямые m и n параллельны. Найдите ∠2 , если ∠3 = 49⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 131

б) Прямые m и n параллельны. Найдите ∠1, если

∠4 = 80⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 80

в) Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠2 = 123⁰. Ответ дайте в градусах

Ответ: 57

3.        ВС║AD, ∠ВАD = 70°. При секущей АВ для

∠ВАD укажите и найдите градусную величину:

а) соответственного угла.

Ответ: ∠РВС = 70°

б) накрест лежащего угла.

Ответ: ∠RВA = 70°

в) одностороннего угла

Ответ: ∠АВС = 110°

4.        Могут    ли     прямые     AD     и     RK             быть параллельными, если:

а) угол MAD в 2 раза больше угла АВК?

Ответ: нет

б) ∠RВР = ∠МAD = 120°?

Ответ: да

в) ∠РВК=30°, ∠МAD = 150°?

Ответ: да.

5.        а) Прямые m и n параллельны. Найдите ∠2, если ∠1 + ∠3 = 100⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 130

б) Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если

∠1 + ∠4 = 125⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 62,5

в) Прямые m и n параллельны. Найдите ∠2, если ∠1 + ∠4 = 140⁰. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 110

6.        а)   На   рисунке: ∠1 = ∠6 , ∠2 = 55⁰ . Найдите ∠7. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 55

б) На рисунке: ∠3 = ∠6, ∠7 = 37⁰. Найдите

∠4. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 143

в) На рисунке: ∠5 = ∠7, ∠1 = 115⁰. Найдите ∠6. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 115

7.        а)   Известно,  что ∠3 + ∠6 = 180⁰ , ∠2 +

∠8 = 96⁰. Найдите ∠4. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 132

б) Известно, что ∠3 = ∠7 , ∠5 + ∠8 = 110⁰ .

Найдите ∠2. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 55

в) Известно, что ∠2 = ∠8, ∠1 + ∠6 = 200⁰ . Найдите ∠7. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 80

Задачи с развернутым ответом.

1.            При пересечении прямых образованные углы (см рисунок) ∠ЕСD=40°, ∠МDA=140°. Найдите ∠СВА,

если ∠ВАD = 80°.

Ответ: 100

2.            CF – биссектриса угла BCM, ∠𝐷𝑀𝐻 = 40⁰, ∠𝐴𝐶𝐿 = 140⁰. Найдите ∠𝑁𝐾𝐹.

Ответ: 70