Знакомство с взаимообратными задачами. Система взаимообратных задач.

8. Знакомство с взаимообратными задачами. Система взаимообратных задач. На мой взгляд, самое трудное в начальной школе – научить ребенка грамотно писать, а  самое трудное в математике – научить решать задачи. В процессе работы мне хотелось повысить процент способных детей и уменьшить  процент слабых. Кроме того, в своей работе я стремлюсь к тому, чтобы как можно больший процент  детей имел качественный показатель знаний по математике. Далее я опишу, как я  этого добиваюсь и каковы результаты молей работы. Я ознакомилась с мнением различных ученых­методистов (смотреть список  литературы) по вопросу классификации задач и решению взаимно обратных задач, как  по традиционной, так и по развивающей методике. Работа со взаимно обратными задачами просматривается у Аритской Н.И., у  Свечникова А.А., но у Аритской И.И. нет четкой классификации задач, также, как у  Истоминой Н.Б. Классификация сложных задач в принципе сходна у Эрдниева П.М., Свечникова А.А.,  Баитовой М.А. но простые задачи Свечников А.А. и Баитова М.А. классифицируют  несколько иначе, чем Эрдниев П.М. За основу я взяла работу над задачами по Эрдниеву П.М., так как на сегодняшний день  более четкой классификации задач и методики работы над взаимно обратными  задачами я пока не вижу. Следует отметить существенно важные дидактические достоинства метода обратных  задач. Во время преобразования задачи учащийся выявляет и использует взаимно обратные  связи между величинами задачи: Прямая задача Ц. К. С. 30 р.6 к. ? р. Обратная задача Ц. К. С. 30 р.? к.180 р. Во время преобразования учащийся практически познает связи между действиями.  Полезно, например, обратить внимание учащихся на то, что количество действий при  решении прямой и обратной задач совпадает (это правило нарушается крайне редко).  Кроме того, полезно знать учащимся следующее явление: каждому действию прямой  задачи соответствует действие той же ступени в обратной задаче. Количество комбинаций при составлении обратной задачи ограниченно: оно равно  количеству данных в задаче. Решая обратную задачу, учащийся перестраивает суждения и умозаключения,  использованные при решении прямой задачи, преодолевая при этом в мышлении  инерцию действий, выполненных при решении прямой задачи. Решение обратной задачи представляет проверку решения прямой задачи, то есть при  этом возникают благоприятные условия для потоков информации по целям обратных  связей в мыслительных процессах (систематическое сочетание прямых и обратных  задач вырабатывает важное качество личности – чувство самоконтроля). Учащиеся, составляя обратные задачи, знакомятся со значительно большим  разнообразием задач, чем в традиционных задачниках. При составлении и решении обратных задач выдвигается на первый план анализ и  видоизменение математических зависимостей. Итак, для развития мышления ценны не столько прямые и обратные задачи, взятые вне  времени сами по себе, а наиболее важный познавательный элемент заключается в  процессе преобразования одной задачи в другую, в сравнении условий, решений,  ответов задач, то есть тех “невидимых”, трудно уловимых и трудно изобразимых при  логическом анализе элементов мысли, которые связывают решения обеих задач  (прямой и обратной). Однако нельзя забывать, что переходы эти осуществляются во времени: чем меньше  интервал времени между противоположными процессами решения взаимно обратных  задач, тем быстрее и чаще будут совершаться эти переходы и тем прочнее будут  сохраняться в памяти следы этих переходов, то есть тем более глубокими и  основательными окажутся осваиваемые знания. 9. Методика работы над задачами, связанными с пропорциональными  величинами: на нахождение четвертого пропорционального. Методика работы над задачами на нахождение четвертого пропорционального. 1. Структура задач ­даны три величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью; ­одна величина постоянная (ее значение не меняется), две­переменные; ­даны два значения одной переменной величины и одно из соответствующих значений другой; ­второе значение этой величины является искомым. 2.Классификация задач. (См. табл. 1 на примере задач с величинами: цена, количество, стоимость) 3.Способы решения задач. Каждую   из   задач,   представленных   в  таблице,   можно   решить способом нахождения значения   постоянной   величины (названия   способов   детям   не   сообщается   ). Вначальных классах преимущественно используется этот способ. Например, рассмотрим решение задачи 1: За два кг моркови уплатили 30 руб. Сколько надо уплатить за 6 кг моркови? Решение: 1) 30 : 2= 15 (руб.)­цена моркови.(значение постоянной) 2)15*6=90(руб.) Ответ: 90 руб. надо уплатить за 6 кг моркови.       Для задач 1 и 2 видов этот способ называется также способом приведения к  единице.        С целью подготовки детей к усвоению в курсе основной школы( 5­9  кл.)функциональной зависимости необходимо познакомить младших школьников со  способом решения, основанном на понятиях прямой и обратной пропорциональной  зависимости.       Делая прикидку результата, выясняем, какое число получится в результате  решения: больше или меньше какого­либо из данных чисел(за 6 кг уплатили больше или меньше, чем за 2кг?), уточняем почему, используя наглядные пособия, узнаем, что  количество моркови увеличилось в 3 раза и, следовательно, денег потребуется также в  3 раза больше. Решение: 1)6:2=3­в 3 раза стало моркови больше. 2)30*3=90(руб.) Ответ: 90 руб. надо уплатить за 6 кг моркови. 4.Организация подготовительной работы.          Для   введения   задач   на нахождение   четвертого   пропорционального   необходимо познакомить детей с величинамицена, количество, стоимость и связями между ними. Например, можно на уроке провести игру в «магазин»: На доске товары, к которым прикреплены этикетки с указанием цены У: Сегодня будем играть в «магазин» и решать задачи про покупки.       Что продается в магазине? (Называют)       На вещах обозначена цена. Назовите цену тетради, блокнота, …       Что показывает цена?        Сколько стоит 1 тетрадь, 1 блокнот?          Купили   3   тетради.   Что   означает   число   3?   (Сколько   купили   тетрадей)   Иначе говорят,                 число тетрадей иликоличество тетрадей.      Купили 4 блокнота. Что обозначает число 4? К доске прикрепляют 4 блокнота, под каждым записана цена «10 руб.» У: Сколько денег надо уплатить за 4 блокнота?(40 руб.) Как вы узнали?(10*4=40)      Почему умножали? 40руб.­это стоимость блокнота. На доске запись: Цена                  Количество                  Стоимость 10 руб.               4 блокнота                          ?       У: Что известно в этой задаче? Что нужно найти? Каким действием находили?         Далее начинается игра: один ученик становится продавцом, остальные  покупателями. Покупатели  покупают несколько вещей. Одновременно составляются и решаются задачи про эти покупки, причем каждый раз устанавливается связь: известны  цена и количество, находим стоимость умножением.         Аналогично ведется работа по ознакомлению с величинами других групп. При  этом на этапе ознакомления со связями между ними важно выполнять предметные  иллюстрации (например, изобразить 3 пакета, под каждым написано «2 кг»), а при  выборе арифметического действия сначала опираться на конкретный смысл  арифметических действий (например, в 1­м пакете­2 кг муки, во 2­м ­2 кг и в 3­м ­2 кг;  по 2 взяли 3 раза, надо 2 умножить на  3), после чего формулируется вывод (чтобы  найти общую массу пакетов надо массу одного пакета умножить на их количество).             Одновременно с работой по закреплению знаний о связях между величинами  следует наблюдать за изменением одной величины в зависимости от изменения другой  при неизменной третьей Например, решаем ряд односюжетных задач: «Блокнот стоит  10 руб. Сколько будут стоить 2 блокнота, 3 блокнота, 4 блокнота, 12 блокнотов, 15  блокнотов?» Решение записываем в таблице: Цена блокнота Число блокнотов Стоимость блокнотов 5 2 10 5 3 15 5 4 20 5 12 60 15 75          Прослеживая изменение величин, дети устанавливают: при увеличении числа  блокнотов, их стоимость увеличивается, при уменьшении количества стоимость  уменьшается.           Аналогично можно пронаблюдать и другие зависимости. 5.Ознакомление с решением задач.            Первыми рассматриваем задачи с величинами: цена, количество, стоимость, т. к.  дети имеют больший опыт оперировать этими величинами, причем сначала включаем  задачи 1­го вида (см. табл. 1).          Сначала задачи иллюстрируем рисунком и выполняем краткую запись в таблице: Цена Одинаковая Количество 6 тетрадей 3 тетради Стоимость 12 руб. ?        При анализе условия дети объясняют, что показывает каждое число, что требуется  найти, что необходимо узнать, чтобы ответить на вопрос .        Проверка выполняется способом составления и решения обратных задач. 6.Закрепление умения решать задачи.        После решения нескольких задач 1­го вида с величинами цена, количество,  стоимость вводятся задачи этого же вида с другими величинами, а затем предлагаются  задачи других видов Выполняются упражнения творческого характера по сравнению  нескольких задач одного вида, различных видов, по составлению задач. 10. Методика работы над задачами, связанными с пропорциональными  величинами: на пропорциональное деление. Методика работы над задачами на пропорциональное деление. 1.Структура задач ­даны две переменные величины, связанные прямо или обратно пропорциональной  зависимостью и одна постоянная; ­даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений  другой переменной; ­слагаемые этой суммы являются искомыми. 2.Классификация задач.      В начальной школе решаются задачи только с прямо пропорциональной  зависимостью величин. Эти задачи представлены в таблице 2 3.Способы решения задач. В начальных классах задачи на пропорциональное деление решаются только способом нахождения значения постоянной величины 4.Организация подготовительной работы. Подготовкой к решению задач на пропорциональное деление является твердое умение  решать задачи на нахождение четвертого пропорционального. 5.Ознакомление с решением задач.           Начинаем работу с решения задачи на нахождение четвертого пропорционального.  Это поможет детям увидеть связь между задачами этих видов, что позволит обобщить  способы их решения. Цена Одинаковая Количество 6 тетрадей 4 тетради Стоимость 18 руб. ?         Предлагаем детям составить задачу по краткой записи:         После ее решения учитель записывает вместо вопросительного знака число, полученное в ответе (12 руб.) Затем он предлагает найти стоимость всех тетрадей (30 руб.), и  составить задачу по новому условию: Цена Одинаковая Количество 6 тетрадей 4 тетради Стоимость ?                               30 руб. ? Дети составляют задачу на пропорциональное деление, ставя два вопроса: «Сколько  уплатил первый покупатель?» и «Сколько уплатил второй  покупатель?» учитель  поясняет , что эти два вопроса можно заменить одним: «Сколько денег уплатил каждый покупатель?» Задача формулируется в окончательном виде. У: ­ Что требуется узнать в задаче?      ­Что значит «каждый»?      ­ Можно ли сразу узнать, сколько уплатил первый мальчик?     ­  Почему нельзя? ­ Можно ли сразу узнать цену тетради?        ­Почему нельзя?       ­Можно ли сразу узнать, сколько купили тетрадей на 30 руб.?        ­Почему можно?       ­Что узнаем первым действием; вторым; третьим; четвертым?       Далее решаются готовые задачи. При этом надо сначала расчленить вопрос задачи  на два вопроса; выяснить, которое из искомых чисел должно быть больше и почему. Затем переходят к составлению  плана решения, ведя рассуждение от вопроса к  числовым  данным.       Проверка решения выполняется установлением соответствия между числами,  полученными в ответе, и данными: надо сложить числа, полученные в ответе, и должно  получиться число, данное в задаче.    6.Закрепление умения решать задачи. Для  обобщения способа решения предлагаются задачи 1­го вида с другими группами  величин, затем вводятся задачи 2­го вида и несколько позднее 3­го и 4­го видов. Методика работы над задачами на нахождение неизвестных по двум  разностям. 1.Структура задач ­даны две переменные и одна постоянная величина; ­даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой  переменной; ­сами значения этой переменной являются искомыми. 2.Классификация задач.      В начальной школе решаются задачи только двух видов. Эти задачи представлены в  таблице 3. 3.Способы решения задач. В   начальных   классах   эти   задачи   решаются   только способом нахождения значения постоянной величины 4.Организация подготовительной работы. Подготовкой к решению задач этого типа  предлагают задачи­вопросы и простые  задачи, которые помогут детям уяснить соответствие между двумя разностями.  Например: 1)Сестра купила 5 одинаковых тетрадей, а брат 8 таких же тетрадей. Кто из них  уплатил больше денег? Почему? За сколько тетрадей брат уплатит столько же денег,  сколько уплатила сестра? 2)Брат и сестра купили тетради по одинаковой цене. Брат купил на 3 тетради больше,  чем сестра, и уплатил на 9 руб. больше, чем сестра. Сколько стоила одна тетрадь? 5.Ознакомление с решением задач.   Методика  работы по ознакомлению с задачами на нахождение неизвестных по двум  разностям аналогична методике введения задач на пропорциональное деление: сначала  предлагается задача не в готовом виде, а составляется из задачи на нахождение  четвертого пропорционального, затем включают готовые задачи. Рассмотрим это на конкретном примере. Детям предлагается составить задачу по ее краткой записи: Цена Одинаковая Количество I­6 м II­4 м Стоимость 180 руб. ? После ее решения в краткую запись подставляется число, полученное в ответе,­120 руб. Учитель предлагает найти разность стоимостей (60 руб.) Выясняется, что показывает  это число. Учитель выполняет новую краткую запись, по которой дети составляют  задачу:   Цена Одинаковая Количество I­6 м II­4 м Стоимость ?на 10 руб. больше          ? На доске и в тетрадях можно выполнить иллюстрацию: I   II Выясняется, почему 1­й покупатель заплатил больше, чем 2­й; за сколько метров 1­й  уплатил столько же денег, сколько 2­й; за какую материю он уплатил 10 руб. На чертеже появляется запись: I                                                                                                                                     10 руб. II Затем составляется план решения. 6.Закрепление умения решать задачи.       1) решение задач 1­го вида с различными группами величин;       2) решение задач 2­го вида       3) упражнения на преобразования задач (например, по задаче на нахождение  четвертого пропорционального составить две задачи на нахождение неизвестных по  двум разностям и сравнить их решение.)