Знакомство с взаимообратными задачами. Система взаимообратных задач.

8. Знакомство с взаимообратными задачами. Система взаимообратных задач. На мой взгляд, самое трудное в начальной школе – научить ребенка грамотно писать, а  самое трудное в математике – научить решать задачи. В процессе работы мне хотелось повысить процент способных детей и уменьшить  процент слабых. Кроме того, в своей работе я стремлюсь к тому, чтобы как можно больший процент  детей имел качественный показатель знаний по математике. Далее я опишу, как я  этого добиваюсь и каковы результаты молей работы. Я ознакомилась с мнением различных ученых­методистов (смотреть список  литературы) по вопросу классификации задач и решению взаимно обратных задач, как  по традиционной, так и по развивающей методике. Работа со взаимно обратными задачами просматривается у Аритской Н.И., у  Свечникова А.А., но у Аритской И.И. нет четкой классификации задач, также, как у  Истоминой Н.Б. Классификация сложных задач в принципе сходна у Эрдниева П.М., Свечникова А.А.,  Баитовой М.А. но простые задачи Свечников А.А. и Баитова М.А. классифицируют  несколько иначе, чем Эрдниев П.М. За основу я взяла работу над задачами по Эрдниеву П.М., так как на сегодняшний день  более четкой классификации задач и методики работы над взаимно обратными  задачами я пока не вижу. Следует отметить существенно важные дидактические достоинства метода обратных  задач. Во время преобразования задачи учащийся выявляет и использует взаимно обратные  связи между величинами задачи: Прямая задача Ц. К. С. 30 р.6 к. ? р. Обратная задача Ц. К. С.30 р.? к.180 р. Во время преобразования учащийся практически познает связи между действиями.  Полезно, например, обратить внимание учащихся на то, что количество действий при  решении прямой и обратной задач совпадает (это правило нарушается крайне редко).  Кроме того, полезно знать учащимся следующее явление: каждому действию прямой  задачи соответствует действие той же ступени в обратной задаче. Количество комбинаций при составлении обратной задачи ограниченно: оно равно  количеству данных в задаче. Решая обратную задачу, учащийся перестраивает суждения и умозаключения,  использованные при решении прямой задачи, преодолевая при этом в мышлении  инерцию действий, выполненных при решении прямой задачи. Решение обратной задачи представляет проверку решения прямой задачи, то есть при  этом возникают благоприятные условия для потоков информации по целям обратных  связей в мыслительных процессах (систематическое сочетание прямых и обратных  задач вырабатывает важное качество личности – чувство самоконтроля). Учащиеся, составляя обратные задачи, знакомятся со значительно большим  разнообразием задач, чем в традиционных задачниках. При составлении и решении обратных задач выдвигается на первый план анализ и  видоизменение математических зависимостей. Итак, для развития мышления ценны не столько прямые и обратные задачи, взятые вне  времени сами по себе, а наиболее важный познавательный элемент заключается в  процессе преобразования одной задачи в другую, в сравнении условий, решений,  ответов задач, то есть тех “невидимых”, трудно уловимых и трудно изобразимых при  логическом анализе элементов мысли, которые связывают решения обеих задач  (прямой и обратной). Однако нельзя забывать, что переходы эти осуществляются во времени: чем меньше  интервал времени между противоположными процессами решения взаимно обратных  задач, тем быстрее и чаще будут совершаться эти переходы и тем прочнее будут  сохраняться в памяти следы этих переходов, то есть тем более глубокими и  основательными окажутся осваиваемые знания. 9. Методика работы над задачами, связанными с пропорциональными  величинами: на нахождение четвертого пропорционального. Методика работы над задачами на нахождение четвертого пропорционального. 1. Структура задач ­даны три величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью; ­одна величина постоянная (ее значение не меняется), две­переменные; ­даны два значения одной переменной величины и одно из соответствующих значений другой; ­второе значение этой величины является искомым. 2.Классификация задач.(См. табл. 1 на примере задач с величинами: цена, количество, стоимость) 3.Способы решения задач. Каждую   из   задач,   представленных   в  таблице,   можно   решить способом нахождения значения   постоянной   величины (названия   способов   детям   не   сообщается   ). Вначальных классах преимущественно используется этот способ. Например, рассмотрим решение задачи 1: За два кг моркови уплатили 30 руб. Сколько надо уплатить за 6 кг моркови? Решение: 1) 30 : 2= 15 (руб.)­цена моркови.(значение постоянной) 2)15*6=90(руб.) Ответ: 90 руб. надо уплатить за 6 кг моркови.       Для задач 1 и 2 видов этот способ называется также способом приведения к  единице.        С целью подготовки детей к усвоению в курсе основной школы( 5­9  кл.)функциональной зависимости необходимо познакомить младших школьников со  способом решения, основанном на понятиях прямой и обратной пропорциональной  зависимости.       Делая прикидку результата, выясняем, какое число получится в результате  решения: больше или меньше какого­либо из данных чисел(за 6 кг уплатили больше или меньше, чем за 2кг?), уточняем почему, используя наглядные пособия, узнаем, что  количество моркови увеличилось в 3 раза и, следовательно, денег потребуется также в  3 раза больше. Решение: 1)6:2=3­в 3 раза стало моркови больше. 2)30*3=90(руб.) Ответ: 90 руб. надо уплатить за 6 кг моркови. 4.Организация подготовительной работы.          Для   введения   задач   на нахождение   четвертого   пропорционального   необходимо познакомить детей с величинамицена, количество, стоимость и связями между ними. Например, можно на уроке провести игру в «магазин»: На доске товары, к которым прикреплены этикетки с указанием цены У: Сегодня будем играть в «магазин» и решать задачи про покупки.       Что продается в магазине? (Называют)       На вещах обозначена цена. Назовите цену тетради, блокнота, …       Что показывает цена?        Сколько стоит 1 тетрадь, 1 блокнот?          Купили   3   тетради.   Что   означает   число   3?   (Сколько   купили   тетрадей)   Иначе говорят,                 число тетрадей иликоличество тетрадей.      Купили 4 блокнота. Что обозначает число 4? К доске прикрепляют 4 блокнота, под каждым записана цена «10 руб.» У: Сколько денег надо уплатить за 4 блокнота?(40 руб.) Как вы узнали?(10*4=40)      Почему умножали? 40руб.­это стоимость блокнота. На доске запись:Цена                  Количество                  Стоимость 10 руб.               4 блокнота                          ?       У: Что известно в этой задаче? Что нужно найти? Каким действием находили?         Далее начинается игра: один ученик становится продавцом, остальные  покупателями. Покупатели  покупают несколько вещей. Одновременно составляются и решаются задачи про эти покупки, причем каждый раз устанавливается связь: известны  цена и количество, находим стоимость умножением.         Аналогично ведется работа по ознакомлению с величинами других групп. При  этом на этапе ознакомления со связями между ними важно выполнять предметные  иллюстрации (например, изобразить 3 пакета, под каждым написано «2 кг»), а при  выборе арифметического действия сначала опираться на конкретный смысл  арифметических действий (например, в 1­м пакете­2 кг муки, во 2­м ­2 кг и в 3­м ­2 кг;  по 2 взяли 3 раза, надо 2 умножить на  3), после чего формулируется вывод (чтобы  найти общую массу пакетов надо массу одного пакета умножить на их количество).             Одновременно с работой по закреплению знаний о связях между величинами  следует наблюдать за изменением одной величины в зависимости от изменения другой  при неизменной третьей Например, решаем ряд односюжетных задач: «Блокнот стоит  10 руб. Сколько будут стоить 2 блокнота, 3 блокнота, 4 блокнота, 12 блокнотов, 15  блокнотов?» Решение записываем в таблице: Цена блокнота Число блокнотов Стоимость блокнотов 5 2 10 5 3 15 5 4 20 5 12 60 15 75          Прослеживая изменение величин, дети устанавливают: при увеличении числа  блокнотов, их стоимость увеличивается, при уменьшении количества стоимость  уменьшается.           Аналогично можно пронаблюдать и другие зависимости. 5.Ознакомление с решением задач.            Первыми рассматриваем задачи с величинами: цена, количество, стоимость, т. к.  дети имеют больший опыт оперировать этими величинами, причем сначала включаем  задачи 1­го вида (см. табл. 1).          Сначала задачи иллюстрируем рисунком и выполняем краткую запись в таблице: Цена Одинаковая Количество 6 тетрадей 3 тетради Стоимость 12 руб. ?        При анализе условия дети объясняют, что показывает каждое число, что требуется  найти, что необходимо узнать, чтобы ответить на вопрос .        Проверка выполняется способом составления и решения обратных задач. 6.Закрепление умения решать задачи.        После решения нескольких задач 1­го вида с величинами цена, количество,  стоимость вводятся задачи этого же вида с другими величинами, а затем предлагаются  задачи других видов Выполняются упражнения творческого характера по сравнению  нескольких задач одного вида, различных видов, по составлению задач.10. Методика работы над задачами, связанными с пропорциональными  величинами: на пропорциональное деление. Методика работы над задачами на пропорциональное деление. 1.Структура задач ­даны две переменные величины, связанные прямо или обратно пропорциональной  зависимостью и одна постоянная; ­даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений  другой переменной; ­слагаемые этой суммы являются искомыми. 2.Классификация задач.      В начальной школе решаются задачи только с прямо пропорциональной  зависимостью величин. Эти задачи представлены в таблице 2 3.Способы решения задач. В начальных классах задачи на пропорциональное деление решаются только способом нахождения значения постоянной величины 4.Организация подготовительной работы. Подготовкой к решению задач на пропорциональное деление является твердое умение  решать задачи на нахождение четвертого пропорционального. 5.Ознакомление с решением задач.           Начинаем работу с решения задачи на нахождение четвертого пропорционального.  Это поможет детям увидеть связь между задачами этих видов, что позволит обобщить  способы их решения. Цена Одинаковая Количество 6 тетрадей 4 тетради Стоимость 18 руб. ?         Предлагаем детям составить задачу по краткой записи:         После ее решения учитель записывает вместо вопросительного знака число, полученное в ответе (12 руб.) Затем он предлагает найти стоимость всех тетрадей (30 руб.), и  составить задачу по новому условию: Цена Одинаковая Количество 6 тетрадей 4 тетради Стоимость ?                               30 руб. ? Дети составляют задачу на пропорциональное деление, ставя два вопроса: «Сколько  уплатил первый покупатель?» и «Сколько уплатил второй  покупатель?» учитель  поясняет , что эти два вопроса можно заменить одним: «Сколько денег уплатил каждый покупатель?» Задача формулируется в окончательном виде. У: ­ Что требуется узнать в задаче?      ­Что значит «каждый»?      ­ Можно ли сразу узнать, сколько уплатил первый мальчик?     ­  Почему нельзя?­ Можно ли сразу узнать цену тетради?        ­Почему нельзя?       ­Можно ли сразу узнать, сколько купили тетрадей на 30 руб.?        ­Почему можно?       ­Что узнаем первым действием; вторым; третьим; четвертым?       Далее решаются готовые задачи. При этом надо сначала расчленить вопрос задачи  на два вопроса; выяснить, которое из искомых чисел должно быть больше и почему. Затем переходят к составлению  плана решения, ведя рассуждение от вопроса к  числовым  данным.       Проверка решения выполняется установлением соответствия между числами,  полученными в ответе, и данными: надо сложить числа, полученные в ответе, и должно  получиться число, данное в задаче.    6.Закрепление умения решать задачи. Для  обобщения способа решения предлагаются задачи 1­го вида с другими группами  величин, затем вводятся задачи 2­го вида и несколько позднее 3­го и 4­го видов. Методика работы над задачами на нахождение неизвестных по двум  разностям. 1.Структура задач ­даны две переменные и одна постоянная величина; ­даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой  переменной; ­сами значения этой переменной являются искомыми. 2.Классификация задач.      В начальной школе решаются задачи только двух видов. Эти задачи представлены в  таблице 3. 3.Способы решения задач. В   начальных   классах   эти   задачи   решаются   только способом нахождения значения постоянной величины 4.Организация подготовительной работы. Подготовкой к решению задач этого типа  предлагают задачи­вопросы и простые  задачи, которые помогут детям уяснить соответствие между двумя разностями.  Например: 1)Сестра купила 5 одинаковых тетрадей, а брат 8 таких же тетрадей. Кто из них  уплатил больше денег? Почему? За сколько тетрадей брат уплатит столько же денег,  сколько уплатила сестра? 2)Брат и сестра купили тетради по одинаковой цене. Брат купил на 3 тетради больше,  чем сестра, и уплатил на 9 руб. больше, чем сестра. Сколько стоила одна тетрадь? 5.Ознакомление с решением задач.   Методика  работы по ознакомлению с задачами на нахождение неизвестных по двум  разностям аналогична методике введения задач на пропорциональное деление: сначала  предлагается задача не в готовом виде, а составляется из задачи на нахождение  четвертого пропорционального, затем включают готовые задачи. Рассмотрим это на конкретном примере.Детям предлагается составить задачу по ее краткой записи: Цена Одинаковая Количество I­6 м II­4 м Стоимость 180 руб. ? После ее решения в краткую запись подставляется число, полученное в ответе,­120 руб. Учитель предлагает найти разность стоимостей (60 руб.) Выясняется, что показывает  это число. Учитель выполняет новую краткую запись, по которой дети составляют  задачу:   Цена Одинаковая Количество I­6 м II­4 м Стоимость ?на 10 руб. больше          ? На доске и в тетрадях можно выполнить иллюстрацию: I   II Выясняется, почему 1­й покупатель заплатил больше, чем 2­й; за сколько метров 1­й  уплатил столько же денег, сколько 2­й; за какую материю он уплатил 10 руб. На чертеже появляется запись: I                                                                                                                                     10 руб. II Затем составляется план решения. 6.Закрепление умения решать задачи.       1) решение задач 1­го вида с различными группами величин;       2) решение задач 2­го вида       3) упражнения на преобразования задач (например, по задаче на нахождение  четвертого пропорционального составить две задачи на нахождение неизвестных по  двум разностям и сравнить их решение.)