"10 способов решения квадратных уравнений"

pptcloud.ru

Необходимость решать уравнения  не только первой, но и второй степени ёщё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей веры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их  клинописных текстах  встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:





Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводя только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилонии, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

«Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение 96»
Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, т.к. если бы они равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы , т.е. 10+X , другое же меньше, т.е. 10-X.
Разность между ними 2Х



Отсюда Х=2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение Х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

УРАВНЕНИЕ:

или же:

Задачи на квадратные уравнения встречаются и в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта, изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ax²+bx=c, a>0

Одна из задач знаменитого индийского математика XІІ века Бхаскары

Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась.
А двенадцать по лианам…
Стали прыгать повисая…
Сколько было обезьянок
Ты скажи мне, в этой стае?.

Соответствующее задачи уравнение:


Баскара пишет под видом:

Дополнил левую часть до квадрата,

Вот как решал это уравнение среднеазиатский ученый ал-Хорезми:
Он писал : "Правило таково:
раздвои число корней, х=2х·5
получите в этой задаче пять, 5
умножь на это равное ему, будет двадцать пять, 5·5=25
прибавь это к тридцати девяти, 25+39
будет шестьдесят четыре, 64
извлеки из этого корень, будет восемь, 8
и вычти из этого половину числа корней, т.е.пять, 8-5
останется 3
это будет корень квадрата , который ты искал."
А второй корень ? Второй корень не находили, так как отрицательные числа не были известны.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х2+вх+с=0 , было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. Штифелем.       
.

Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. Следующим образом: «Если B+D, умноженное на А-А , равно BD, то А равно В и равно D».
Чтобы понять Виета, следует помнить, что А, как и всякая гласная буква , означало у него неизвестное (наше х), гласные же B,D- кэффициенты при неизвестном.
На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает:

Если приведенное квадратное уравнение x2+px+q=0 имеет действительные корни, то их сумма равна -p, а произведение равно q, то естьx1 + x2 = -p ,x1 x2 = q
(сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

Выражение называют дискриминантом квадратного уравнения.

x1 и х2 – корни уравнения

Например:

Решите уравнение: 2х2 - 11х +15 = 0.

Перебросим коэффициент 2 к свободному члену

у2 - 11у +30= 0.

D>0, по теореме, обратной теореме Виета,
получаем корни: 5;6,
далее возвращаемся к корням исходного уравнения: 2,5; 3.


Ответ: 2,5; 3.

Если в квадратном уравнении a+c=b, то один из корней равен (-1),
а второй по теореме Виета равен

Пример:

137х2 + 20х – 157 = 0.
a = 137, b = 20, c = -157.
a + b+ c = 137 + 20 – 157 =0.

x1 = 1,
Ответ: 1;

Не используя формул квадратное уравнение можно решить графическим
способом. Решим уравнение
Для этого построим два графика:

Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 «Четырехзначные математические таблицы» Брадис В.М.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически.
А вот, например, как древние греки решали уравнение:


или

Выражения и геометрически предоставляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение
одно и тоже уравнение.
Откуда и получаем что , или