Алгоритм решения квадратных уравнений

 Алгоритмы решения заданий разного уровня сложности с учётом спецификации КИМ ОГЭ.

 Алгоритм решения квадратных уравнений.

Алгоритм поиска действительных корней квадратного уравнения: ax² + bx + c = 0, a≠0:

1.  Задать значения коэффициентов a, b и c. 

2.  Вычислить дискриминант D = b² – 4ac.  3. Проверить условие существования действительных корней D≥0.  Если D≥0 выполнено, то перейти к шагу 5,  иначе – (если не выполнено (т.е. D < 0)) перейти к шагу 4. 

4.  Дать ответ – «действительных корней нет». Перейти к шагу 8. 

5.  Проверить условие существования двух различных корней D>0.  Если условие выполнено, то перейти к шагу 7,  иначе – перейти к шагу 6. 

6.  Вычислить корень уравнения x = - b/2a. Дать ответ – «уравнение имеет один корень x». Перейти к шагу 8. 

7.  Вычислить корни уравнения 𝑥_{1 2𝑎} = _2𝑎 . Дать ответ – «уравнение имеет два корня».  

8.  Закончить вычисления.  Дополнительные советы

•  При решении квадратных уравнений, убедитесь, что все расчёты выполнены точно.

•  Если уравнение можно привести к более простой форме (например, вынести общий множитель), сделайте это перед применением формулы дискриминанта.

•  В некоторых случаях может быть полезно использовать метод выделения полного квадрата для нахождения корней.

Решите уравнение (базовый уровень сложности)

5x² +4 x - 1 = 0. 

1.   Определите коэффициенты: a = 5, b = 4, c = - 1.

2.   Вычислите дискриминант D = b² – 4ac. D = (4)² - 4 ⋅ 5 ⋅ (-1) = 16 + 20 = 36

3.   Так как D > 0, уравнение имеет два различных корня.  Вычислите корни уравнения по формулам:

 𝑥             ^√                            = . 

2𝑎

x₁ = (-4 + √36) / 10 = (-4 + 6) / 10 = 2/10 =0,2;  x₂ = (-4 - √36) / 10 = (-4 - 6) / 10= - 1

4.   Запишите ответ.

Ответ: 0,2; -1.

Решите уравнение (задание повышенного уровня сложности)  x² =2(5х - 8). 

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из корней.

1.   Раскройте скобки в уравнении:

x² =10х - 16

2.   Приведите уравнение к стандартному виду ax² + bx + c = 0, a≠0. Для этого перенесите все слагаемые в одну часть с противоположным знаком.

x² - 10х +16 =0.

3.   Определите коэффициенты: a = 1, b = -10, c = 16.

4.   Вычислите дискриминант D = b² – 4ac. D = (-10)² - 4 ⋅ 1 ⋅ 16 = 100 - 64 = 36

5.   Так как D > 0, уравнение имеет два различных корня.  Вычислите корни уравнения по формулам:

 𝑥             ^√                            = . 

2𝑎

x₁ = (10 + √36) / 2 = (10 + 6) / 2 = 8;  x₂ = (10 - √36) / 2 = (10 - 6) / 2= 2.

6.   Сравните корни, выберите  корень, удовлетворяющий условию задания.  x₁ = 8; x₂ = 2;  2 < 8

7.   Запишите ответ.

Ответ: 2.

Решите уравнение (задания высокого уровня сложности)  Х⁴  = 2x²+8

1.   Приведите уравнение к стандартному виду ax⁴ + bx² + c = 0, a≠0. Для этого перенесите все слагаемые в одну часть с противоположным знаком. Х⁴ - 2x²-8 =0

2.   Выполните замену: x² =t, t ≥ 0 и решите квадратное уравнение относительно t. t²  -2 t -8 =0. 

3.   Определите коэффициенты: a = 1, b = -2, c = -8.

4.   Вычислите дискриминант D = b² – 4ac. D = (-2)² - 4 ⋅ 1⋅(-8) = 4 + 32 = 36

5.   Так как D > 0, уравнение имеет два различных корня.  Вычислите корни уравнения по формулам:

 𝑥             ^√                            = . 

2𝑎

t₁ = (2 + √36) / 2 = 8 / 2 = 4;  t₂ = (2 - √(36) / 2 = -4 / 2= - 2.

6.   Выполните отбор корней, удовлетворяющих условию замены: t ≥ 0  t₂ = -2, не удовлетворяет условию замены (t ≥ 0 )

7.   Выполните обратную замену: x² =t и решите уравнение относительно  переменной х

x² =4 х= -√4; х =√4 х =2; х= - 2.

8.   Запишите ответ Ответ: -2; 2.