Карточки № 1 для отработки теоретического материала по геометрии

Первая аксиома стереометрии

Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

Вторая аксиома стереометрии

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Третья аксиома стереометрии

Если провести две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость и притом только одну.

теорема

Существование плоскости, проходящей через данную прямую и данную точку

Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

теорема

Пересечение прямой с плоскостью

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая этой плоскости.

теорема

Следствие из теоремы

«пересечение прямой с плоскостью»

Плоскость и не лежащая на ней прямая либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.

теорема

Существование плоскости, проходящей через три данные точки

Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

теорема

Разбиение пространства плоскостью на два полупространства

Плоскость разбивает пространство на два полупространства. Если точки X и Y принадлежат одному полупространству, то отрезок XY не пересекает плоскость. Если же точки X и Y принадлежат разным полупространствам, то отрезок XY пересекает плоскость.

теорема

Параллельность прямых в пространстве

Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну.

теорема

Признак параллельности прямых

Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

теорема

Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой – нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

теорема

Признак параллельности плоскостей

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

теорема

Существование плоскости, параллельной данной плоскости

Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

теорема

Свойства параллельных плоскостей

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.

теорема

Свойство параллельных плоскостей

Отрезки параллельных прямых, заключённые между двумя параллельными плоскостями, равны.

определение

Параллельных прямых в пространстве

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

определение

Скрещивающиеся прямые

Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.

Изображение пространственных фигур на плоскости

(1)

Прямолинейные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа отрезками.

Изображение пространственных фигур на плоскости

(2)

Параллельные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа параллельными отрезками

Изображение пространственных фигур на плоскости

(3)

Отношение отрезков одной прямой или параллельных прямых сохраняется при параллельном проектировании.

определение

Перпендикулярные прямые в пространстве

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

теорема

Перпендикулярность прямых в пространстве

Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.

теорема

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.

определение

Прямая перпендикулярная плоскости

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.

теореме

Свойства перпендикулярных прямой и плоскости

(1)

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

теореме

Свойства перпендикулярных прямой и плоскости

(2)

Две прямые, перпендикулярные одной и той де плоскости, параллельны.

определение

Перпендикуляр опущенный из данной точки на данную плоскость

Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.

определение

Расстояние от точки до плоскости

Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра. Опущенного из этой точки на плоскость.

определение

Наклонная

Наклонной, проведённой из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.

определение

Проекция наклонной

Отрезок, соединяющий основание перпендикуляра и наклонной, проведённых из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

определение 

Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости

Расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости называется расстояние от любой точки этой прямой до плоскости.

определение

Расстояние между параллельными плоскостями

Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от любой точки одной плоскости до другой плоскости.

теорема

О трёх перпендикулярах

(ТТП)

Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярно её проекции, то она перпендикулярна наклонной.

теорема

Обратная ТТП

(теореме о трёх перпендикулярах)

Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

определение

Перпендикулярные плоскости

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярна прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

теорема

Признак перпендикулярности плоскостей

Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.