Бином Ньютона

В группе 20 студентов. Сколькими способами могут быть выбраны профорг и староста при условии, что каждый учащийся может быть избран только на одну из этих должностей?
Ответ: 380 способов.
Для дежурства в классе в течение недели (кроме воскресенья) выделены 6 учащихся. Сколькими способами можно установить очередность дежурств, если каждый учащийся дежурит один раз?
Ответ: 720 способов.
Группу студентов колледжа должна экзаменовать по математике комиссия из двух преподавателей. Сколькими способами может быть составлена такая комиссия, если в колледже пять преподавателей математики?
Ответ: 10 способов.

1. 5!=…. 2. А52 =…3. С42=…. 4. Сколькими способами можно разместить 5 человек на скамейке?

Историческая справка

Исаа́к Нью́тон (или Ньюто́н) (англ. Sir Isaac Newton, 25 декабря 1642 года — 20 марта 1727 года по юлианскому календарю, действовавшему в Англии до 1752 года; или 4 января 1643 года — 31 марта 1727 года по григорианскому календарю) — английский физик, математик, механик и астроном, один из создателей классической физики. Автор фундаментального труда «Математические начала натуральной философии», в котором он изложил закон всемирного тяготения и три закона механики, ставшие основой классической механики. Разработал дифференциальное и интегральное исчисления, теорию цвета, заложил основы современной физической оптики, создал многие другие математические и физические теории.

Историческая справка

Блез Паска́ль (фр. Blaise Pascal; 19 июня 1623, Клермон-Ферран, Франция — 19 августа 1662, Париж, Франция) — французский математик, механик, физик, литератор и философ. Классик французской литературы, один из основателей математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии, создатель первых образцов счётной техники, автор основного закона гидростатики.

Тема: «Формула бинома Ньютона. Треугольник Паскаля»

Бином

где    — биномиальные коэффициенты, 

  — неотрицательное целое число.

Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное (или даже комплексное) число. В этом случае бином представляет собой бесконечный ряд.

Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

Треугольник Паскаля

Треугольник Паскаля — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси.

Треугольник Паскаля. Свойства.

Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.
В строке с номером n:
1. первое и последнее числа равны 1.
2. второе и предпоследнее числа равны n.
3. третье число равно треугольному числу  , что также равно сумме номеров предшествующих строк.
4. четвёртое число является тетраэдрическим.
5. m-е число (при нумерации с 0) равно биномиальному коэффициенту  .

В математических исследованиях нередко возникает необходимость представить выражение 𝑎+𝑏 𝑛 𝑎+𝑏 𝑎𝑎+𝑏𝑏 𝑎+𝑏 𝑎+𝑏 𝑛 𝑛𝑛 𝑎+𝑏 𝑛 , где n∊𝑁𝑁, в виде суммы выражений вида 𝛼 𝑘,𝑚 𝛼𝛼 𝛼 𝑘,𝑚 𝑘𝑘,𝑚𝑚 𝛼 𝑘,𝑚 𝑎 𝑘 𝑎𝑎 𝑎 𝑘 𝑘𝑘 𝑎 𝑘 𝑏 𝑚 𝑏𝑏 𝑏 𝑚 𝑚𝑚 𝑏 𝑚 , где 𝛼 𝑘,𝑚 𝛼𝛼 𝛼 𝑘,𝑚 𝑘𝑘,𝑚𝑚 𝛼 𝑘,𝑚 - некоторый коэффициент. Для этого обычно применяется один из двух способов: метод, основанный на «треугольнике Паскаля» и использование формулы «бинома Ньютона».
Сначала рассмотрим построение «треугольника Паскаля», а потом – его использование для преобразования выражения 𝑎+𝑏 𝑛 𝑎+𝑏 𝑎𝑎+𝑏𝑏 𝑎+𝑏 𝑎+𝑏 𝑛 𝑛𝑛 𝑎+𝑏 𝑛 .

Построение треугольника Паскаля

«Треугольник Паскаля» представляет собой набор строк, состоящий из чисел, сгруппированных по определенному закону таким образом, что получается фигура, напоминающая треугольник. Например, изобразим первые 5 строк.
Слева от вертикальной черты указан номер строки, при чем нумерация строк начинается с 0.

Самостоятельная работа

1. Сколькими способами из 9 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 6 различных уроков?
2. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?
3. Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 3 человека?
4. Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 20 человек?

Список литературы:

Snobelen, Stephen D. Isaac Newton, heretic : the strategies of a Nicodemite // British Journal for the History of Science. — 1999. — № 32. — P. 381–419.
Каченовский М.И., Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа/ Под ред. Г.Н. Яковлева. – изд. 3-е, перераб. – М.: Наука, 1988. – 272 с.
Храмов Ю. А., Паскаль Блез (Pascal Blaise) // Физики: Биографический справочник / Под ред. А. И. Ахиезера. — Изд. 2-е, испр. и дополн. — М.: Наука, 1983. — С. 207. — 400 с. — 200 000 экз. (в пер.)
Юшкевич А. П., О математических рукописях Ньютона // Историко-математические исследования. — 1977. — № 22. — С. 127—192.
Электронный ресурс: http://melnikov.web.ur.ru