ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЧИСЛОВЫХ НЕРАВЕНСТВ

Доказательство числовых неравенств

Цели: продолжить формирование умения доказывать числовое неравенство по его определению; формировать умение решать задачи на составление и доказательство числового неравенства.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Сравните числа a и b, если a – b равно:

а) –3;       б) 0,2;       в) 0;       г) (–3)⁶;       д) b – а;       е) 2 – 3.

2. Расположите в порядке возрастания числа:

1,2;       1;       1;       1,4;       1.

3. Сравните числа:

а)  и 6;            в)  и ;

б) 3 и ;             г)  и 14.

III. Проверочная работа.

В а р и а н т  1

Доказать неравенство:

1) (6y – 1)(y + 2) < (3y + 4)(2y + 1);

2) 4(x + 2) < (x + 3)² – 2x.

В а р и а н т  2

Доказать неравенство:

1) (3y – 1)(2y + 1) > (2y – 1)(2 + 3y);

2) (x – 5)² + 3x > 7(1 – x).

Р е ш е н и е

В а р и а н т  1

1) (6y – 1)(y + 2) – (3y + 4)(2y + 1) = 6y² + 12y – y – 2 – 6y² – 3y – 8y – 4 =
= –6 < 0, значит, неравенство верно при любом значении у.

2) 4(x + 2) – (x + 3)² + 2x = 4x + 8 – x² – 6x – 9 + 2x = –x² – 1 =
= –(x² + 1) < 0, значит, неравенство верно при любом значении х.

В а р и а н т  2

1) (3y – 1)(2y + 1) – (2y – 1)(2 + 3y) = 6y² + y – 2y – 1 – 4y – 6y² + 2 + 3y =
= 1 > 0, значит, неравенство верно при любом значении у.

2) (x – 5)² + 3x – 7(1 – x) = x² – 10x + 25 + 3x – 7 + 7x = x² + 18 > 0, значит, неравенство верно при любом значении х.

IV. Формирование умений и навыков.

1. Разобрать пример 2 со с. 153–154 учебника.

2. № 731 (а, в).

Р е ш е н и е

а) a(a + b) – ab = a² + ab – ab = a² ≥ 0 при любом значении а, значит, неравенство верное.

в) 2bc – b² – c² = –(b² – 2bc + c²) = –(b – c)² ≤ 0 при любых значениях b и c, значит, неравенство верное.

3. № 733.

Р е ш е н и е

 ≥ 0
при а > 0 (так как (а – 2)² ≥ 0 и а > 0), значит, неравенство верное при любом положительном а.

4. № 735 (б), № 736 (а), № 737.

Р е ш е н и е

№ 735.

б)  ≤ 0
(так как (с – 1)²  0, с² + 1 > 0), значит, неравенство верное при любом значении с.

№ 736.

а) а² – 6а + 14 = а² – 2 ∙  3 ∙  а + 9 + 5 = (а – 3)² + 5 > 0 при любом значении а.

№ 737. Предложить выполнить по вариантам (4 варианта) и дать общий ответ.

1) а² – 2а + 3  =  а² – 2 ∙  1 ∙  а + 1 + 2 = (а – 1)² + 2 > 0  при  любых  значениях а.

2) а² + 6 – 4а = а² – 2 ∙  2 ∙  а + 4 + 2 = (а – 2)² + 2 > 0 при любых значениях а.

3) 4а – 4 – а² = –(а² – 2 ∙  2 ∙  а + 4) = –(а – 2)² ≤ 0, значит, не является верным при любом значении а.

4) 8а – 70 – а² = –(а² – 2 ∙  4 ∙  а + 16 + 54) = –((а – 3)² + 54) < 0 при любых значениях а.

О т в е т: 3.

5. № 738 (а, в), № 739, № 741.

Предлагаемые упражнения достаточно сложные и предполагают осознанное применение правила сравнения чисел.

Р е ш е н и е

№ 738.

Пусть a и b – положительные числа и а² > b².

По определению а² – b² > 0. Разложим левую часть неравенства на множители: (а – b)(а + b) > 0.

Сомножитель  a + b > 0  (так как a > 0 и b > 0),  значит,  и  сомножитель a – b > 0, то есть a > b, что и требовалось доказать.

а) Составим разность квадратов чисел:

(+)² – (+)² = 6 + 2+ 3 – 7 – 2– 2 =
= 2(–) > 0.

Значит, по доказанному выше свойству: + > +.

в) (– 2)² – (–)² = 5 – 4+ 4 – 6 + 2– 3 = 2–
– 2= 2(–) < 0.

Значит, по доказанному выше свойству: – 2 < –.

№ 739. Это упражнение является продолжением предыдущего. Учащиеся могут сперва попытаться составить разность левой и правой части неравенства и определить её знак. Возникает проблемная ситуация. Затем можно предложить воспользоваться результатами решения предыдущей задачи, также следует задать учащимся вопрос о различиях в заданных ситуациях.

Составим разность квадратов выражений, стоящих в левой и правой частях неравенства

 ≤ 0 при любых a ≥ 0 и b ≥ 0. Значит, неравенство верно  ≤  и верно  ≤  для любых a ≥ 0 и b ≥ 0.

№ 741.

Даны числа 0; 1; 2; 3.  Получили  числа  k; k + 1; k + 2; k + 3.  Сравним произведения  k · (k + 3)  и  (k + 1)(k + 2).  Составим  разность  этих  выражений:

k(k + 3) – (k + 1)(k + 2) = k² + 3k – k² – 2k – k – 2 = –2 < 0, значит, k · (k +
+ 3) < (k + 1)(k + 2) при любом значении k.

6. Сильным в учебе учащимся можно предложить для решения в классе или дома задачу повышенной трудности.

№ 742.

Р е ш е н и е

А н а л и з:

Сравним время, затраченное Колей и Мишей на путь от посёлка до станции. Составим разность t_К – t_М =  < 0. Значит,  Коля  затратил  на  путь  меньше  времени  и  пришёл  на  станцию раньше.

О т в е т: Коля.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:

– Дайте определение числового неравенства.

– Сформулируйте универсальное правило сравнения двух чисел.

– Какие выражения называются средним арифметическим, средним геометрическим, средним гармоническим двух чисел? Каким соотношением они связаны?

Домашнее задание: № 735 (а), № 736 (б), № 738 (б, г), № 740.