Электронное пособие(ЦОР)"Мир многогранников"

2011 год

Электронное пособие (ЦОР)

Пояснительная записка к электронному пособию (ЦОР)
«Мир многогранников. 10 класс».
Автор пособия: Баша В.А.учитель математики.
Обоснование необходимости создания материалов. В программе по геометрии 10 - 11 классов изучают понятие многогранника и их элементов , рассматриваются виды многогранников . Вычисления площадей поверхностей многогранников их объемов. Данное пособие соответствует возрастным особенностям учащихся и позволяет наглядно увидеть действия с многогранниками. Поэтому я создала данное электронное пособие.
 
Цель электронного пособия – активизация познавательной деятельности учащихся.
Преимущества использования электронного пособия:
- электронное пособие (ЦОР) позволит представлять детям информацию в различной форме: рисунки, графика, анимация…
- иллюстрировать изучаемые темы, более полно представить материал урока;
- активизировать процессы восприятия, мышления, воображения и памяти;
- мобилизовать внимание учащихся;
- развивать творчество,
экономит время подготовки учителя к уроку, делает урок занимательным, продуктивным;
электронное пособие можно пополнять, помещая новый материал

 
 
Новизна. Материалы, составляющие данный ЦОР, использовались мною на уроках геометрии при изучении нового материала в 10 классе, как ресурс для повторения при решении задач, в 11 классе при подготовке к ЕГЭ. Материал систематизирован, легко просматривается, отбирается, копируется и используется на разных этапах урока в любом классе.
 
Степень разработанности материала. Материал апробирован, адаптирован, удобен для использования.
Прогнозируемый результат. Пособие несомненно, вызовет интерес у учащихся и послужит мотивацией для использования их при самостоятельном решении задач как на уроках геометрии.
В электронном пособии представлены материалы разных категорий:
- определения по теме,
- самостоятельно разработанные учителем рисунки,
- имеющиеся в литературе, но адаптированные правила,
- таблицы нахождения сторон многогранников и вычислений геометрических величин.
Результативность. Использование электронного пособия повышает познавательную активность учащихся, способствует их мотивации к познанию нового, развивает творчество и влияет на качество образовательного процесса.
Эффективность. Материалы пособия могут быть использованы на уроках геометрии 10 - 11 классов, поэтому полученные результаты оправдывают затраченные ресурсы.
 
Практическая ценность электронного пособия. Пособие может быть использовано как учителем, так и учащимися не только в классе, но и дома.
Возможность тиражирования. Все материалы электронного пособия могут копироваться, использоваться как демонстрационный материал, могут изменяться, дополняться и т.д.

2011 год

Многогранником называется ограниченное тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников.
Виды многогранников:
1 Платоновы тела
2 Архимедовы тела
3 Тела Кеплера-Пуансо

Многогранник называется правильным, если:
он выпуклый,
все его грани равные друг другу правильные многоугольники
в каждой его вершине сходится одинаковое число граней.
По-другому правильные многогранники называются Платоновы тела.

Каждая грань многогранника – правильный треугольник.
Это многогранник называется правильный тетраэдр.

Элементы симметрии:

Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии
Радиус описанной сферы:


Радиус вписанной сферы:


Площадь поверхности:


Объем тетраэдра:

Каждая грань многогранника – квадрат.
Этот многогранник называется правильный гексаэдр или куб.

Куб имеет центр симметрии - центр куба, 9 осей
симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Радиус описанной сферы:


Радиус вписанной сферы:


Площадь поверхности куба:

 
Объем куба:

V =a3

Каждая грань многогранника – правильный треугольник.
Этот многогранник называется правильный октаэдр.

Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.
Радиус описанной сферы:


Радиус вписанной сферы:


Площадь поверхности:


Объем октаэдра:

Каждая грань многогранника – правильный пятиугольник.
Этот многогранник называется правильный додекаэдр.

Додекаэдр имеет центр симметрии - центр додекаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Радиус описанной сферы:

Радиус вписанной сферы:

Площадь поверхности:

Объем додекаэдра:

Каждая грань многогранника – правильный треугольник.

Этот многогранник называется правильный икосаэдр.

Икосаэдр имеет центр симметрии - центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.
Радиус описанной сферы:

Радиус вписанной сферы:

Площадь поверхности:

Объем икосаэдра:

Если считать центры граней тетраэдра вершинами нового многогранника, то вновь получим тетраэдр.

Центры граней куба образуют октаэдр.

Центры граней октаэдра образуют куб

Центры граней додекаэдра образуют икосаэдр

Центры граней икосаэдра образуют додекаэдр

Архимедовы тела

Из правильных многогранников (Платоновы тела) можно получить так называемые полуправильные многогранники, или Архимедовы тела. Гранями их являются также правильные, но разноимённые многоугольники.

Открытие тринадцати полуправильных многогранников приписывается Архимеду, впервые перечислившего их в недошедшей до нас работе.

Относительно недавно (в конце 50-х - начале 60-х годов XX века) несколько математиков практически одновременно, независимо друг от друга указали на существование еще одного, ранее неизвестного полуправильного выпуклого многогранника - псевдоромбокубоктаэдра. Однако не все специалисты согласны с причислением этого многогранника к архимедовым телам.

Тела Архимеда получаются из правильных многогранников с помощью операции (усечения), то есть отсечения углов плоскостями, и они тоже являются выпуклыми многогранниками. А продолжение их граней и рёбер позволяет получить звёздчатые многогранники, которые являются не выпуклыми. Их ещё называют телами Кеплера-Пуансо.

Было предложение Кеплера рассматривать невыпуклые многогранники со звёздчатыми гранями, подобными пентаграмме и последовавшее за этим открытие двух правильных невыпуклых однородных многогранников - малого звездчатого додекаэдра и большого звездчатого додекаэдра. Поэтому эта группа многогранников носит название тела Кеплера - Пуансо.

Он был открыт Леонардо Да Винчи, затем спустя почти 100 лет переоткрыт Иоганном Кеплером и назван им (звезда восьмиугольная). У октаэдра есть только одна звездчатая форма. Её можно рассматривать как соединение двух тетраэдров.

Икосаэдр имеет 20 граней. Если каждую из них продолжить неограниченно, то тело будет окружено великим многообразием отсеков-частей пространства, ограниченных плоскостями граней. Все звёздчатые формы икосаэдра можно получить добавлением к исходному телу таких отсеков. Не считая самого икосаэдра, продолжения его граней отделяют от пространства 20+30+60+120+20+60+12+30+60+60 отсеков десяти различных форм и размеров. Большой икосаэдр состоит из всех этих кусков, за исключением последних шестидесяти.

Икосододекаэдр имеет 32 грани, из которых 12 являются правильными пятиугольными гранями, а остальные 20 – правильные треугольники. Что касается вопроса о том, могут ли получившиеся многогранники оказаться правильными, то на него давно получен ответ. Великий математик Каши ещё в 1811 году доказал, что список правильных многогранников исчерпывается пятью Платоновыми телами вкупе с четырьмя многогранниками Кеплера - Пуансо.

Вклад Кеплера (1571-1630гг) в теорию многогранника – это, во-первых, восстановление математического содержания утерянного трактата Архимеда о полуправильных выпуклых однородных многогранниках. Весьма оригинальна космологическая гипотеза Кеплера, в которой он попытался связать некоторые свойства Солнечной системы со свойствами правильных многогранников.