Формирование навыков устных вычислений на уроках математики

Составитель:Забожанская Елена Петровна, учитель математики
МАОУ «СОШ № 44» им.Г.Я.Грицая
г. Миасса

Основные умения и навыки, которые необходимо сформировать у учащихся при выполнении устного счета:

запоминание чисел;
безошибочное применение таблиц сложения и умножения натуральных чисел;
использование особенностей некоторых чисел;
применение свойств действий над числами.

Чтобы овладеть умениями устного счета учащемуся достаточно уметь:

складывать и умножать однозначные числа;
складывать многозначные числа;
вычитать многозначные числа;
складывать несколько чисел;
делить на однозначное или двузначное число;
производить действия с дробными числами.

Формы восприятия устного счета:

Зрительный (таблицы, плакаты, записи на доске).
Слуховой (читается учителем, учеником).
Комбинированный.

Критерии вычислительных навыков:

ПРАВИЛЬНОСТЬ
ОСОЗНАННОСТЬ
РАЦИОНАЛЬНОСТЬ
ОБОБЩЕННОСТЬ
АВТОМАТИЗМ
ПРОЧНОСТЬ

Правильность – ученик правильно находит результат арифметического действия над данными числами, т. е. правильно выбирает и выполняет операции, составляющие прием.

Осознанность – ученик осознает, на основе каких знаний выбраны операции и установлен порядок их выполнения. Осознанность проявляется в том, что ученик в любой момент может объяснить, как он решал пример и почему можно так решать.

Рациональность – ученик, сообразуясь с конкретными условиями, выбирает для данного случая более рациональный прием, т. е. выбирает те из возможных операции, выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату арифметического действия.

Обобщенность – ученик может применить прием вычисления к большему числу случаев, т. е. он способен перенести прием вычисления на новые случаи.

Автоматизм (свернутость) – ученик выделяет и выполняет операции быстро и в свернутом виде, но всегда может вернуться к объяснению выбора системы операции.

Прочность – ученик сохраняет сформированные вычислительные навыки на длительное время.

Русский способ умножения, или способ изменения сомножителей

Если один сомножитель увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз, то произведение не измениться.
43 ∙ 16 = 86∙ 8 = 172∙ 4 = 344∙ 2 =
688 ∙ 1 = 688
23 ∙ 27 = 69 ∙ 9 = 207 ∙ 3 = 621 ∙ 1 = 621
125 ∙ 24 = 500 ∙ 6 = 1500 ∙ 2 = 3000 ∙ 1 = 3000

Умножение по способу Гаусса

Известный математик Гаусс заметил, что всякое умножение двух целых чисел можно привести к умножению одного из них на 5, 2 и 1 или на круглые числа, записанные только этими цифрами ( и нулем ), путем замены другого сомножителя суммой или разностью соответствующим образом подобранных чисел

Пример 1.
89 ∙ 27.
Представим число 27 в виде суммы трех чисел (20 + 5 + 2) получим 89∙ 27 =89 ∙ (20 + 5 + 2)= 1780 + 445 + 178 =2403
Пример 2.
53∙ 89 = 53∙ (100 – 10 - 1) = 5300 – 530 – 53 = 4770 – 53 = 4717

Умножение на 101

Чтобы умножить двузначное число на 101 , надо мысленно приписать к данному числу ( справа или слева) еще раз само это число.
58 ∙ 101 = 5858 , так как 58 ∙ 101 = 58 ∙ 100 + 58 ∙ 1 = 5800 + 58 = =5858

Умножение на 11 , когда сумма двух радом стоящих цифр множимого меньше десятки

25 ∙ 11 При умножении первая цифра множимого будет первой цифрой произведения (2); вторая цифра множимого будет последней цифрой произведения (5); средняя цифра произведения равна сумме цифр множимого (2 + 5 = 7).
25 ∙ 11 = 275

354 ∙ 11
Крайние цифры множимого будут крайними цифрами произведения. Первая средняя цифра произведения равняется сумме первой и второй цифр множимого (3 + 5 = 8); вторая средняя цифра произведения равна сумме второй и третьей цифр множимого
(5 + 4 = 9)
354 ∙ 11 = 3894

4327 ∙ 11
4 - первая цифра произведения.
4 + 3 = 7 -вторая цифра произведения. 3 + 2 = 5 -третья цифра произведения. 2 + 7 = 9 - четвертая цифра произведения.
7 - последняя цифра произведения. Следовательно, 4327 ∙ 11 = 47597

Умножение на 11 , когда сумма двух радом стоящих цифр множимого равна 10 или больше.

Когда при умножении любого числа на 11 сумма двух рядом стоящих цифр множимого равна десяти или больше десяти, то первую цифру полученной суммы прибавляем к следующей, старшей цифре множимого; причем сложение цифр надо производить только с конца.

68 ∙ 11
8 - последняя цифра произведения.
8 + 6 = 14
4 –вторая цифра произведения 1 в уме; 6 да 1 в уме , будет 7 - первая цифра произведения.
68 ∙ 11 = 748

587 ∙ 11
7 – последняя цифра произведения
7 + 8 = 15 – 5 вторая цифра, считая
с конца ; один в уме.
8 + 5 да один в уме, будет 14 (4 третья цифра с конца ; 1 в уме) 5 да 1 в уме, будет 6 –первая цифра произведения.
587 ∙ 11 = 6457

Умножение на 111

Справа налево нужно последовательно записать: последнюю цифру первого множителя (т.е. цифру из разряда единиц), сумму цифр первого множителя, снова сумму его цифр и, наконец, его первую цифру. Если сумма цифр двузначного числа больше 9, то записываем цифру единиц каждой суммы, а к следующему прибавляем 1.
Примеры: 35*111=3885
43*111=4773
93*111=10323

Умножение на число вида аа. (на 22, 33, …, 99)

Умножить данное число сначала на а, потом на 11
Примеры.
24∙22=24∙2∙11=48∙11=528
23∙33=23∙3∙11=69∙11=759

Умножение на 1,5, на 1,25, на 2,5, на 3/4

Чтобы устно умножить число на 1,5, прибавляют к множимому его половину. Например: 34·1,5=34+17=51, 23·1,5=23+11,5=34,5.

Чтобы устно умножить число на 1,25, прибавляют к множимому его четверть. Например: 48·1,25=48+12=60, 58·1,25=58+14,5=72,5.

Чтобы устно умножить число на 2,5, к удвоенному числу прибавляют половину множимого. Например: 18·2,5=36+9=45, 39·2,5=78+19,5=97,5. Другой способ состоит в умножении на 5 и делении пополам: 18·2,5=90:2=45.

Чтобы устно умножить число на 3/4 (то есть чтобы найти три четверти этого числа), умножают число на 1,5 и делят пополам. Например: 30*3/4=(30*1,5):2=22,5. Видоизменение способа состоит в том, что от множимого отнимают его четверть или к половине множимого прибавляют половину этой половины.

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5

Умножьте первую цифру числа на саму себя плюс единица и добавьте в конце 25 :
45x45=4x(4 +1)_25=2025

35*35 = 12 25 3*4=1245*45 = 20 25 4*5=2055*55 = 30 25 5*6=3065*65 = 42 25 6*7=4275*75 = 56 25 7*8=5685*85 = 72 25 8*9=7295*95 = 90 25 9*10=90

37

Умножение на 5, 25, 125

Разделить число соответственно на 2, 4, 8 и результат умножить на 10, 100, 1000.
Примеры.
46∙5=46:2∙10=230
48∙25=48:4∙100=1200
32∙125=32:8∙1000=4000

Если множитель не делится нацело на 2, 4 или на 8, то деление производится с остатком. Затем умножают соответственно на 10, 100, 1000, а остаток – на 5, 25 или 125.
Примеры.
53∙5=26∙10+1∙5=265 (53:2=26 и 1 в остатке)
43∙25=10∙100+3∙25=1075 (43:4=10 и 3 в остатке)
66∙125=8∙1000+2∙25=8250 (66:8=8 и 2 в остатке)

Деление на 5, 25, 125

Умножить соответственно число на 2, 4, 8 и разделить на 10, 100, 1000.
Примеры.
220:5=220∙2:10=44
1300:25=1300∙4:100=52
9250:125=9250∙8:1000=74
Иногда удобно менять порядок действий, выполняя сначала деление на 10, 100, 100, а потом умножение.

Умножение на 9, 99, 999

К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель.
286∙9=2860-286=2574
23∙99=2300-23=2277
18∙999=18000-18=17982

Умножение чисел, у которых число десятков одинаково, а сумма единиц равна 10

Число десятков любого множителя умножить на число, которое на 1больше, затем перемножить отдельно единицы этих чисел и наконец, к первому результату справа приписать второй.
13*17 =221
а) 1 *(1 +1) =2 пишем 2
б) 3*7 =21, припишем справа21
204*206=42024
а) 20*(20+1)= 420
б) 6*4= 24 приписываем справа24

Умножение методом Ферроля.

Для получения единиц произведения перемножают единицы множителей, для получения десятков умножают десятки одного на единицы другого множителя и наоборот и результаты складываются, для получения сотен перемножаются десятки. Пример: 37*48=1776
а) 8*7=56 (пишем 6, помним 5)
б) 8*3+4*7+5=57 (пишем 7, помним 5)
в) 4*3+5=17 (пишем 17)

Анализ результатов ГИА, ЕГЭ прошлых лет, этого года, показывает пробелы в преподавании математики в целом, а в частности в среднем звене. У учащихся имеются пробелы в знаниях и умениях базового уровня 5-9 классов, а иногда и начального звена, например, незнание таблицы умножения.

Какие проблемы возникают при подготовке к ЕГЭ и ГИА?

-проблема несформированности вычислительных навыков. Результаты экзамена показывают, что большинство допускаемых ошибок – вычислительные;
-сохраняется тенденция отрабатывать навыки решения стандартных заданий, в то время как формированию умений применять знания для решения математических и практических задач уделяется недостаточно внимания;
-на низком уровне сформированы умения строить и исследовать простейшие математические модели - решать текстовые задачи;

Какие проблемы возникают при подготовке к ЕГЭ и ГИА?

-типичными при выполнении заданий базового уровня являются ошибки, связанные с незнанием свойств степеней, квадратного корня; с неумением использовать стандартные методы решения простейших уравнений и неравенств (6-9 кл);
-с введением в содержание КИМов заданий геометрического характера, проблемным является низкий уровень геометрической подготовки выпускников;
-новые задания на теорию вероятности в 9 классе показывают недостаточную готовность детей по этому разделу;
-низкая мотивация учащихся и их неуверенность в имеющихся знаниях.