Формулы тригонометрии

Раздел

Тригонометрия

Школа:

ЦПР

Развитие навыков математического моделирования у учащихся через использование детальных инструкций

Дата:

ФИО учителя:

Класс: 9

Количество присутствующих:

отсутствующих:

Тема урока

Формулы тригонометрии

Цели обучения, которые достигаются на данном  уроке (ссылка на учебную программу)

9.2.4.7

выводить и применять формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение и произведение в сумму или разность;

Цели урока

выводить и применять формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение и произведение в сумму или разность;

Критерии оценивания

выводит и применяет формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение и произведение в сумму или разность;

Языковые цели

Предметная лексика и терминология: 

Синус угла, косинус угла, тангенс угла, котангенс угла

Серия полезных фраз для составления диалога:

как нам найти угол …

как найти синус, косинус, тангенс, котангенс угла …

определение тригонометрических функций

Привитие ценностей

Академическая честность: уважение идей и мыслей других людей, заключающееся в соблюдении принципов академической честности

Формирование ценностей: патриотизм; уважение; забота; сплоченность; ответственность; честность; трудолюбие.

Межпредметные связи

Геометрический смысл тригонометрических функций

Навыки использования ИКТ

Предварительные знания

Определение тригонометрических функций

Основные формулы тригонометрии

Ход урока

Запланированные этапы урока

Запланированная деятельность на уроке

Ресурсы

Начало урока

5 мин

I.                    Организационный момент/

Приветствие.

Создание эмоционально-дружеской среды. 

В начале урока сделать акценты на:

- концентрацию внимания учащихся

- совместно с учащимися определить цели урока/ЦО

- ознакомить с правилами хода урока

- проверка домашнего задания

- если не выполнили некоторые задания, рассмотреть выполнить на уроке

Середина урока

10 мин

10 минут

10 минут

10 минут

10 минут

10 минут

10 минут

10 минут

1) Объясним первую формулу:

                                  x + y            x – y
sin x + sin y = 2 sin ———  cos ———
                                     2                  2

Она поучена из формул синуса сложения и разности аргументов:

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α – β) = sin α cos β – sin β cos α.

Сложим две формулы:

sin (α + β) + sin (α – β) = sin α cos β + sin β cos α + sin α cos β – sin β cos α = 2 sin α cos β.

Таким образом,

sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β.

К этой формуле вернемся в конце наших вычислений.

Теперь введем новые переменные:

вместо α + β напишем х,

вместо α – β напишем у.

Тогда:

sin х + sin у = 2 sin α cos β.

В то же время, введя новую переменную, мы получили систему уравнений. Решим ее методом алгебраического сложения:

│α + β = х
│α – β = у

│α + β + α – β = х + у
│α + β – α + β = х – у

│2α = х + у
│2β = х – у

│         х + у
│α = ———
│           2
│
│          х – у
│ β = ———
│            2

Вернемся к полученной нами сумме двух формул сложения аргументов: sin х + sin у = 2 sin α cos β. Осталось подставить в них полученные значения α и β, чтобы в итоге получить нашу формулу:

                                   x + y             x – y
sin x + sin y = 2 sin ———  cos ———
                                     2                  2

Вторую формулу ученики доказывают сами в тетрадях

2) Вторая формула из таблицы логически вытекает из первой и доказывается просто.

Вспомним свойство нечетности синуса: sin (–y) = –sin y.

Из этого следует, что sin x – sin y = sin x + (–sin y). Следовательно:

                                      x + (–y)             x – (–y)                х – у           х + у
sin x + (–sin y) = 2 sin ————  cos ———— = 2 sin ——— cos ———.
                                            2                      2                         2                 2

Таким образом:

                                   x – y             x + y
sin x – sin y = 2 sin ———  cos ———
                                     2                  2

 3-4 ФОРМУЛУ доказывают в тетрадях

Учитель выводит к доске 2 учеников на доказательство

Аналогично преобразуются в произведение суммы косинусов.

Преобразуем еще суммы тангенсов и котангенсов. Порядок прост: представляем тангенсы и котангенсы как

отношение синусов и косинусов, находим для полученных дробей общий знаменатель и применяем формулы

сложения. То есть совершаем всего три действия:

                      sin x          sin y            sin x cos y + cos x sin y              sin (x + y)
tg x + tg y = ——— + ———  =  ————————————  =  ——————
                      cos x         cos y                   cos x cos y                            cos x cos y

                         cos x         cos y             cos x sin y + sin x cos y               sin (x + y)

ctg x + ctg y = ——— + ———  =  ————————————  =  ——————
                         sin x         sin y                      sin x sin y                             sin x sin y     

Преобразование разностей в произведение осуществляется таким же образом.
Остальные формулы, приведенные в таблице, тоже тесно связаны с другими формулами тригонометрии.

Попробуйте вычислить их самостоятельно

4. Закрепление изученного.

 К доске выводить по 1 ученику, учитель помогает, делает подсказки

Пример 1. Упростить выражение

sin 60º + sin 30º.

Решение.

                                          60º + 30º            60º – 30º
sin 60º + sin 30º = 2 sin ————— cos ————— = 2 sin 45º cos 15º =
                                               2                        2

          √2
= 2 · —— cos 15º = √2 cos 15º.
           2

Ответ: sin 60º + sin 30º = √2 cos 15º.

Пример 2. Упростить выражение

sin 60º – sin 30º.

Решение.

                                          45º – 15º            45º + 15º  
sin 45º – sin 15º = 2 sin ————— cos ————— = 2 sin 15º cos 30º =
                                               2                        2

                        √3
= 2 sin 15º · —— = √3 sin 15º.
                         2

Ответ: sin 45º – sin 15º = √3 sin 15º.

Ученикам показать на доске общие формулы

·         Практическая часть

·         Решать задания с раздаточного материала

·         Решать в группе по 2 ученика

1-2 задачу сверять с соседом по парте

Решать 3-4 задачу по 2 примера

сверять с соседом по парте

Решать 5-6 задачу по 2 примера

Решать самостоятельно в тетрадях

Учитель сверяет ответы со всеми, приходят к итогу

Решать 7-8 задачу по 2 примера

Решать самостоятельно в тетрадях

Учитель сверяет ответы со всеми, приходят к итогу

Раздаточный материал

Раздаточный материал

Конец урока

5 минут

IV. Подведение итога туров

Время урока подходит к концу. Ребята, давайте вспомним, какова была цель нашего занятия. Как вы думаете, мы достигли этой цели?

Выдать карточки с вопросами, ученики пишут ответы

Рефлексия:

- что узнал, чему научился

- что осталось непонятным

- над чем необходимо работать

Домашние задание

Остальные задачи по 1 примеру

Раздаточный материал

Дифференциация – каким образом Вы планируете оказать больше поддержки? Какие задачи Вы планируете поставить перед более способными учащимися?

Оценивание – как Вы планируете проверить уровень усвоения материала учащимися?

Здоровье и соблюдение техники безопасности

Дифференциация может быть выражена в подборе заданий, в ожидаемом результате от конкретного ученика, в оказании индивидуальной поддержки учащемуся, в подборе учебного материала и ресурсов с учетом индивидуальных способностей учащихся (Теория множественного интеллекта по Гарднеру).

Дифференциация может быть использована на любом этапе урока с учетом рационального использования времени.

Используйте данный раздел для записи методов, которые Вы будете использовать для оценивания того, чему учащиеся научились во время урока.

Здоровьесберегающие технологии.

Используемые физминутки и активные виды деятельности.

Пункты, применяемые из Правил техникибезопасности на данном уроке.

Рефлексия по уроку

Были ли цели урока/цели обучения реалистичными?

Все ли учащиеся достигли ЦО?

Если нет, то почему?

Правильно ли проведена дифференциация на уроке?

Выдержаны ли были временные этапы урока?

Какие отступления были от плана урока и почему?

Используйте данный раздел для размышлений об уроке. Ответьте на самые важные вопросы о Вашем уроке из левой колонки. 

Общая оценка

Какие два аспекта урока прошли хорошо (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?

1:

2:

Что могло бы способствовать улучшению урока (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?

1:

2:

Что я выявил(а) за время урока о классе или достижениях/трудностях отдельных учеников, на что необходимо обратить внимание на последующих уроках?