Геометрическая вероятность.

ПРОЕКТ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, 9 КЛАСС.

ОСНОВНОЙ ВОПРОС: • КАК СВЯЗАНО ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИ С ГЕОМЕТРИЕЙ? ЗАДАЧИ: ГИПОТЕЗУ. ВЕРОЯТНОСТИ. • 1. ПРОВЕСТИ СЕРИЮ ОПЫТОВ. 2. СФОРМУЛИРОВАТЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ 3. ИЗУЧИТЬ ЛИТЕРАТУРУ ПО ДАННОМУ ВОПРОСУ. 4. СДЕЛАТЬ ВЫВОДЫ. ПОДТВЕРДИТЬ ИЛИ ОПРОВЕРГНУТЬ 5. СОСТАВИТЬ ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

СЕРИЯ ОПЫТОВ. СЕРИЯ ОПЫТОВ, ПРИВОДЯЩИХ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ВЕРОЯТНОСТИ ИЗ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СООБРАЖЕНИЙ.

ОПЫТ 1. ВЫБЕРЕМ НА ГЕОГРАФИЧЕСКОЙ КАРТЕ МИРА ПОКАЖЕМ УКАЗКОЙ). КАКОВА ВЕРОЯТНОСТЬ, ЧТО ЭТА ТОЧКА СЛУЧАЙНУЮ ТОЧКУ (НАПРИМЕР, ЗАЖМУРИМ ГЛАЗА И ОКАЖЕТСЯ В РОССИИ? ЧИСЛО ИСХОДОВ БЕСКОНЕЧНО. ВЕРОЯТНОСТЬ БУДЕТ ЗАВИСЕТЬ ОТ РАЗМЕРА КАРТЫ (МАСШТАБА).

ОТНОШЕНИЕ ЭТИХ ПЛОЩАДЕЙ И ДАСТ ИСКОМУЮ ВЕРОЯТНОСТЬ.?)()()(SASAP ГИПОТЕЗА: ОЧЕВИДНО, ДЛЯ ОТВЕТА НА ВОПРОС НУЖНО ЗНАТЬ, КАКУЮ ЧАСТЬ ВСЕЙ КАРТЫ ЗАНИМАЕТ РОССИЯ. ТОЧНЕЕ, КАКУЮ ЧАСТЬ ВСЕЙ ПЛОЩАДИ КАРТЫ СОСТАВЛЯЕТ РОССИЯ. ОКАЖЕТСЯ В РОССИИ? ОПЫТ 1. ВЫБЕРЕМ НА ГЕОГРАФИЧЕСКОЙ КАРТЕ МИРА ПОКАЖЕМ УКАЗКОЙ). КАКОВА ВЕРОЯТНОСТЬ, ЧТО ЭТА ТОЧКА СЛУЧАЙНУЮ ТОЧКУ (НАПРИМЕР, ЗАЖМУРИМ ГЛАЗА И

ОБЩИЙ СЛУЧАЙ: В НЕКОТОРОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ  СЛУЧАЙНО ВЫБИРАЕТСЯ ТОЧКА. КАКОВА ВЕРОЯТНОСТЬ, ЧТО ТОЧКА ПОПАДЕТ В ОБЛАСТЬ А? НА ПРЯМУЮ L? L А  AP ) (  AS ) (  S ( ) )( LS  ;0 )( LP  0  ( ) S  0

)()()(SASAP)()()(;)()()(LALAPVAVAP ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ ЕСЛИ ПРЕДПОЛОЖИТЬ, ЧТО ПОПАДАНИЕ В ЛЮБУЮ ТОЧКУ ОБЛАСТИ  РАВНОВОЗМОЖНО, ТО ВЕРОЯТНОСТЬ ПОПАДАНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ТОЧКИ В ЗАДАННОЕ МНОЖЕСТВО А БУДЕТ РАВНА ОТНОШЕНИЮ ПЛОЩАДЕЙ: ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЕСЛИ А ИМЕЕТ НУЛЕВУЮ ПЛОЩАДЬ, ТО ВЕРОЯТНОСТЬ ПОПАДАНИЯ В А РАВНА НУЛЮ. МОЖНО ОПРЕДЕЛИТЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКУЮ ВЕРОЯТНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ И НА ПРЯМОЙ:

ОПЫТ 2. В КВАДРАТ СО СТОРОНОЙ 4 СМ «БРОСАЮТ» ТОЧКУ. КАКОВА ВЕРОЯТНОСТЬ, ЧТО РАССТОЯНИЕ ОТ ЭТОЙ ТОЧКИ ДО БЛИЖАЙШЕЙ СТОРОНЫ КВАДРАТА БУДЕТ МЕНЬШЕ 1 СМ? ЗНАЧИТ, 75,0431612)(AP ЗАКРАСИМ В КВАДРАТЕ МНОЖЕСТВО ТОЧЕК, УДАЛЕННЫХ ОТ БЛИЖАЙШЕЙ СТОРОНЫ МЕНЬШЕ, ЧЕМ НА 1 СМ. ПЛОЩАДЬ ЗАКРАШЕННОЙ ЧАСТИ КВАДРАТА 16СМ2 – 4СМ2 = 12СМ2.

ОПЫТ 3. НА ТЕТРАДНЫЙ ЛИСТ В ЛИНЕЙКУ НАУДАЧУ БРОСАЕТСЯ МОНЕТА. КАКОВА ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО МОНЕТА ПЕРЕСЕКЛА ДВЕ ЛИНИИ? 1 рубль ЧИСЛО ИСХОДОВ ЗАВИСИТ ОТ РАЗМЕРОВ МОНЕТЫ, РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ ЛИНИЯМИ.

ОПЫТ 4. В ЦЕНТРЕ ВЕРТУШКИ ЗАКРЕПЛЕНА СТРЕЛКА, СЛУЧАЙНОМ ПОЛОЖЕНИИ. С КАКОЙ ВЕРОЯТНОСТЬЮ СТРЕЛКА КОТОРАЯ РАСКРУЧИВАЕТСЯ И ОСТАНАВЛИВАЕТСЯ В ВЕРТУШКИ ОСТАНОВИТСЯ НА ЗЕЛЕНОМ СЕКТОРЕ? И РАЗДЕЛИТЬ ЕЕ НА ПЛОЩАДЬ ВСЕГО КРУГА:25,041)(;)(;4)(22 APRSRAS ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЭТОЙ ЗАДАЧИ МОЖНО ВЫЧИСЛИТЬ ПЛОЩАДЬ ЗЕЛЕННЫХ СЕКТОРОВ

ВЫВОД. • ИЗУЧИВ ЛИТЕРАТУРУ, МЫ ПРИШЛИ К ВЫВОДУ, ЧТО НАШЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ ВЕРНО, Т. Е. ДАЛИ ВЕРНОЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.

РЕШЕНИЕ ТРЕНИРОВОЧНЫХ ЗАДАЧ. ЗАДАЧИ 1 – 3.

ЗАДАЧА №1. ДАНО: АВ=12СМ, АМ=2СМ, МС=4СМ. НА ОТРЕЗКЕ АВ СЛУЧАЙНЫМ ОБРАЗОМ ОТМЕЧАЕТСЯ ТОЧКА Х. КАКОВА ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО ТОЧКА Х ПОПАДЕТ НА РЕШЕНИЕ. 1) A={ТОЧКА Х ПОПАДАЕТ НА ОТРЕЗОК АМ}, АМ=2СМ, АВ=12СМ, 2) В ={ТОЧКА Х ПОПАДАЕТ НА ОТРЕЗОК АС}, АС=2СМ+4СМ=6СМ, 3) С ={ТОЧКА Х ПОПАДАЕТ НА ОТРЕЗОК МС}, МС=4СМ, АВ=12СМ, ОТРЕЗОК: 1) АМ; 2) АС; 3)МС; 4) МВ; 5) АВ? 61122)(ABAMAP А       М                С                          В21126)(ABACBP31124)(ABMCCP651210)(ABMBDP1)(ABABAP 2СМ=10СМ, 4) D={ТОЧКА Х ПОПАДАЕТ НА ОТРЕЗОК МВ}, МВ=12СМ– 5) Е={ТОЧКА Х ПОПАДАЕТ НА ОТРЕЗОК АВ},

ЗАДАЧА №2. ОКОННАЯ РЕШЕТКА СОСТОИТ ИЗ КЛЕТОК СО СТОРОНОЙ 20СМ. КАКОВА ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО ПОПАВШИЙ В ОКНО МЯЧ, ПРОЛЕТИТ ЧЕРЕЗ РЕШЕТКУ, НЕ ЗАДЕВ ЕЕ, ЕСЛИ РАДИУС МЯЧА РАВЕН: А) РЕШЕНИЕ. А)   R  2 a S S мяча кв  2 см ( ( 400 10СМ, Б) 5СМ?  2 100  2 20 100 400 ) 2 ) см  4  S мяча S кв AP ) (   79,0  ( 2 см ) S S Б) мяча  кв AP ) ( 2 25 )    5 2 ( 400 см  25 400 16   20,0

ЗАДАЧА №3. ОКОННАЯ РЕШЕТКА СОСТОИТ ИЗ КЛЕТОК СО СТОРОНОЙ 20СМ. В РЕШЕТКУ 100 РАЗ БРОСИЛИ НАУГАД ОДИН И ТОТ ЖЕ МЯЧ. В 50 СЛУЧАЯХ ОН ПРОЛЕТЕЛ ЧЕРЕЗ РЕШЕТКУ НЕ ЗАДЕВ ЕЕ. ОЦЕНИТЕ ПРИБЛИЖЕННО РАДИУС МЯЧА. РЕШЕНИЕ.  ) AP  ( ) AP (  N A N S мяча S кв 1 2  50 100  R 400  2 2  R 400  R 2 R   1 2 400 200   2 10 200     2  (5,4 ) см

ИТОГ. ВОПРОСЫ. ЗАДАЧА.

ВОПРОСЫ: 1. ЧТО ТАКОЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ? КАКОВЫ ФОРМУЛЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ВЕРОЯТНОСТИ (НА ПЛОСКОСТИ, НА ПРЯМОЙ, В ПРОСТРАНСТВЕ)? 2. МОЖНО ЛИ ВЫЧИСЛИТЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ ДЛЯ ОПЫТА, ИСХОДЫ КОТОРОГО НЕ ЯВЛЯЮТСЯ РАВНОВОЗМОЖНЫМИ?

ЗАДАЧА. ВНУТРИ КВАДРАТА СО СТОРОНОЙ 10СМ ВЫДЕЛЕН КРУГ РАДИУСОМ 2СМ. СЛУЧАЙНЫМ ОБРАЗОМ ВНУТРИ КВАДРАТА ОТМЕЧАЕТСЯ ТОЧКА. КАКОВА ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО, ЧТО ОНА ПОПАДЕТ В ВЫДЕЛЕННЫЙ КРУГ? А                       