ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ ПО МАТЕМАТИКЕ по теме «Простейшие текстовые задачи: проценты»

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ ПО МАТЕМАТИКЕ по теме «Простейшие текстовые задачи: проценты» Выполнила:  Щапова Елена Николаевна Учитель высшей квалификационной категории Чингисской   средней   общеобразовательной   школы Ордынского района Новосибирской области Введение. Слово процент от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста».  Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими  соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти». Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги,  которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим  народам Европы. Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их  применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах,  статистике, науке и технике. Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу). Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных  расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква  t превратилась в наклонную черту (/), возник современный символ для обозначения процента. В  школьном учебнике  «Математика, 5»,авторов  Н.Я. Виленкина и др. дана еще одна любопытная  версия возникновения знака %.[1] Там, в частности, говорится, что этот знак произошел в  результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 г. в Париже была опубликована  книга­руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %. Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического  приложения процентных расчетов расширяется. Вопросы инфляции, повышение цен, рост  стоимости акций, снижение покупательской способности касаются каждого человека в нашем  обществе. Планирование семейного бюджета, выгодного вложения денег в банки, невозможны без  умения производить несложные процентные вычисления. Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в развитии практических  способностей, а также умение решать экономические задачи. Обдуманное изучение процентов  может способствовать развитию таких навыков как экономичность, расчетливость. В вариантах вступительных экзаменов встречаются задачи на проценты, и эти задачи часто  вызывают затруднения у школьников. Причина в том, что тема "Проценты" изучается в младших 5­ 6  классах, причем непродолжительно, закрепляется в 7 классе при решении задач на повторение, а  в старших классах к этой теме совсем не возвращаются.    Объектом Изучая эту тему по сборникам для поступающих в вузы, я  пришла к мнению, что многие задачи  авторы сборников предлагают решать с использованием специальных формул, которых в школьных  учебниках 5­6 классов, когда и изучаются эти темы, нет.    Предмет исследования смеси и сплавы с преимущественным использованием основных правил действия с десятичными и  обыкновенными  дробями.    Цель работы. Составить практическое пособие по решению задач на проценты для школьников.    Задачи исследования:1) Изучить исторический и теоретический материал по интересующему  вопросу. 2) Систематизировать задачи на проценты по типам. 3) Составить практические  рекомендации по решению задач на проценты. 4) Выявить практическое применение таких задач.5).  Определить план дальнейшей работы над темой.    Практическая значимость работы.  Данное пособие по решению задач на проценты будет  интересно не только школьникам 5­6 класса, которым интересна математика. Здесь найдут много  полезного и выпускники школ, и абитуриенты при подготовке к выпускным и вступительным  экзаменам.      исследования является изучение различных типов задач по теме «Проценты».  : решение задач  на проценты и процентное содержание, концентрацию, Глава 1. Основные типы задач по теме «Проценты». В данной главе приводятся  примеры задач, которые решаются с применением определения, что  такое один процент, как выразить  дробь в процентах и правилам нахождения части (дроби) от  числа, и числа по значению его части (дроби), т.е. это те темы и задачи, которые рассматриваются в  школе.   Обращаем  внимание, что существуют и другие способы решения простейших задач на проценты,  например, составляют пропорции на каждом шаге, но в этом случае решение становится на  несколько шагов длиннее.  Мы же  видим свою  задачу в нахождении более быстрых способов  решения таких задач, в связи с тем, что  в настоящее время редкий тест   по математике для  абитуриентов, обходится без задач, в которых     не упоминались бы проценты.    1.1. Решение задач на применение основных понятий о процентах. Сотая часть метра ­ это сантиметр, сотая часть рубля – копейка, сотая часть центнера ­ килограмм.  Люди давно замети, что сотые доли величин удобны в тактической деятельности. Потому для них  было придумано специальное название – процент. Значит одна копейка – один процент от одного  рубля, а один сантиметр – один процент от одного метра.  Один процент – это одна сотая доля числа. Математическими знаками один процент записывается  так: 1%.  Определение одного процента можно записать равенством:                   1     %  =  0,01 а   5%=0,05,  23%=0,23, 130%=1,3  и т. д  Как найти 1% от числа? Раз 1% это одна сотая часть, надо число разделить на 100. Деление на 100  можно заменить умножением на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1% от данного числа, нужно умножить  его на 0,01. А если нужно найти 5% от числа, то умножаем данное число на 0,05 и т.д.  Пример. Найти: 25% от 120.  Решение: 1) 25% = 0,25; 2) 120 . 0,25 = 30.  Ответ: 30.  Правило 1. Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной  дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь   Пример. Токарь вытачивал за час 40 деталей. Применив резец из более прочной стали, он стал  вытачивать на 10 деталей в час больше. На сколько процентов повысилась производительность  труда токаря?  Решение: Чтобы решить эту задачу, надо узнать, сколько, процентов составляют 10 деталей от 40.  Для этого найдем сначала, какую часть составляет число 10 от числа 40. Мы знаем, что нужно  разделить 10 на 40. Получится 0,25. А теперь запишем в процентах – 25%. Получаем ответ:  производительность труда токаря повысилась на 25%. Правило 2. Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от  другого, нужно разделить  первое число на второе и полученную дробь записать в виде процентов.    Пример.  При плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66 автомобилей. На сколько процентов завод выполнил план? Решение:     66:60=1,1   ­ такую часть составляют изготовленные автомобили от количества  автомобилей по плану, запишем в процентах  ­ 110% Ответ: 110% Пример.  1. На сколько процентов 10 больше 6?      2. На сколько процентов 6 меньше 10?              Решение: 1. ((10 ­ 6).100%)/6 = 66 2/3 % 2. ((10 ­ 6).100%)/10 = 40% Ответ: 66 2/3 %,  40 %. Пример.  Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в  куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди? Решение:  1)       6+ 34 =40 (кг)      масса всего сплава. 2)       = 85%     сплава составляет медь. Ответ. 85%. Пример. Что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на 25%, а потом понизить на  25%? Решение:  Пусть цена товара х тенге, тогда после повышения товар стоит 125% прежней цены, т.е.    1,25х; а после понижения на 25% , его стоимость составляет 75% или 0, 75 от повышенной цены,  т.е. 0,75 *1,25х= 0,9375х, тогда цена товара понизилась на  6, 25 %, т.к. х ­ 0,9375х = 0,0625х ;          0,0625х/х . 100% = 6,25% Ответ: первоначальная цена товара снизилась на 6,25%. Правило 3. Чтобы найти процентное отношение двух чисел А и В, надо  отношение этих чисел  умножить на 100%, то есть вычислить (а/в)*100%.  Пример.  Найти число, если 15% его равны 30. Решение: 1) 15% = 0,15; 2) 30 : 0,15 = 200. или:   х ­ данное число;    0,15.х = 300;     х = 200. Ответ: 200. Пример. Из хлопка­сырца  получается 24% волокна. Сколько надо взять хлопка­сырца, чтобы  получить 480кг волокна.? Решение.  Запишем 24% десятичной дробью 0,24 и получим задачу о нахождении числа по  известной ему части (дроби).  480 : 0,24= 2000 кг = 2 т Ответ: 2 т Пример. Сколько кг белых грибов надо собрать для получения 1 кг сушеных, если при обработке  свежих грибов остается 50% их массы, а при сушке остается 10% массы обработанных  грибов? Решение. 1кг сушеных грибов – это 10% или 0, 01 часть обработанных, т.е. 1 кг : 0,1=10 кг  обработанных грибов, что составляет 50% или 0,5 собранных грибов, т.е. 10 кг : 0,05=20 кг Ответ: 20 кг Пример. Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих  грибов из 22 кг свежих? Решение: 1) 22 . 0,1 = 2,2 (кг) ­ грибов по массе в свежих грибах; (0,1 это 10% сухого вещества) 2) 2,2 : 0,88 = 2,5 (кг) ­ сухих грибов, получаемых из свежих (количество сухого вещества не  изменилось, но изменилось его процентное содержание в грибах и теперь 2,2 кг это 88% или 0,88  сухих грибов).             Ответ: 2,5 кг.  Правило 4. Чтобы найти число по данным его процентам, надо выразить проценты в виде дроби, а  затем значение процентов  разделить на эту дробь. 1.2. Решение задач на понятия "процентное содержание", "концентрация", "%­й раствор".  Процентное содержание. Процентный раствор. Пример.  Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%.              Решение.        10 . 0,15 = 1,5 (кг) соли.              Ответ: 1,5 кг. Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют %­м раствором,  например, 15%­й раствор соли.  Пример. Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?  Решение: Процентное содержание вещества в сплаве ­ это часть, которую составляет вес данного  вещества от веса всего сплава.  10 + 15 = 25 (кг) ­ сплав; 2) 10/25 . 100% = 40% ­ процентное содержание олова в сплаве; 3) 15/25 . 100% = 60% ­ процентное содержание цинка в сплаве; Ответ: 40%, 60%. Концентрация. Если концентрация вещества в соединении по массе составляет р%, то это означает, что масса  этого вещества составляет р% от массы всего соединения.  Пример. Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Это означает, что чистого серебра в  сплаве 261 г.  Решение. 300 . 0,87 = 261 (г).  В этом примере концентрация вещества выражена в процентах.  Отношения объема чистой компоненты в растворе ко всему объему смеси называется объемной  концентрацией этой компоненты.  Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна 1.  Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится по формуле:       К=р/100%  к ­ концентрация вещества;   р ­ процентное содержание вещества (в процентах).  Пример.  Имеется 2 сплава, в одном из которых, содержится 40%, а в другом 20% серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав,  содержащий 32% серебра?  Решение:   Пусть к 20 кг первого сплава нужно добавить х кг второго сплава. Тогда получим (20 +  х) кг нового сплава. В 20 кг первого сплава содержится 0,4 . 20 = 8 (кг) серебра, в х кг второго  сплава содержится 0,2х кг серебра, а в (20+х) кг нового сплава содержится 0,32 . (20+х) кг серебра.  Составим уравнение:  8 + 0,2х = 0,32 . (20 +х);          х = 13 1/3.  Ответ:    13 1/3 кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав,  содержащий 32% серебра.  Пример.  К 15 л 10%­ного раствора соли добавили 5%­ный раствор соли и получили 8%­ный  раствор. Какое количество литров 5%­ного раствора добавили?   Решение. Пусть добавили х л 5%­ного раствора соли. Тогда нового раствора стало (15 + х) л, в  котором содержаться 0,8 . (15 + х) л соли. В 15 л 10%­ного раствора содержится 15 . 0,1 = 1,5 (л)  соли, в х л 5%­ного раствора содержится 0,05х (л) соли.  Составим уравнение. 1,5 + 0,05х = 0,08 . (15 + х); х = 10.            Ответ: добавили 10 л 5%­ного раствора 1.3.    Решение задач с использованием понятия коэффициента увеличения.. Чтобы увеличить положительное число а на р процентов, следует умножить  число а на  коэффициент увеличения  к=(1+0,01р).  Чтобы уменьшить положительное число а на р процентов, следует умножить число а на  коэффициент уменьшения к= (1­0,01р).  Пример.  Вклад, вложенный в сбербанк два года назад, достиг суммы, равной 13125 тенге. Каков  был первоначальный вклад при 25% годовых?              Решение. Если а (тенге) – размер первоначального вклада, то в конце первого года вклад  составит 1,25а а в конце второго года размер вклада составит 1,25 *1,25а. Решая уравнение 1,25*  1,25а=13125, находим а=8400.             Ответ: 8400 тенге. Пример. В феврале цена на нефть увеличилась на 12% по сравнению с январской. В марте цена  нефти упала на 25%. На сколько процентов мартовская цена изменилась  по сравнению с  январской?  Решение. Если х – январская цена нефти, то февральская цена нефти равна   (1 +0,01*12)х = 1,12х. Чтобы вычислить мартовскую цену у на нефть, следует умножить  февральскую цену 1,12х на (1­0,01*25)=0,75, т.е. у=0,75 1,12х=0,84х , мартовская цена отличается  от январской на (0,84х)/х100 –100=84­100= ­16(%), т.е. цена упала на 16 %              Ответ: цена упала на 16%. Правило 5. Чтобы найти, на сколько % положительное число у отличается от положительного  числа а , следует  вычислить, сколько % у составляет от а, а затем от полученного числа отнять  100%.    Глава 2.  Разные задачи на проценты ( с решениями). В данной главе рассматривается  выборка задач из различных источников, которые охватывают весь теоретический материал, который излагался выше, предлагаем свои решения. Отметим, что  предложенный способ решения не является единственным. 2.1 Тестовые задания на проценты. Задача 1.Товар стоил тысячу тенге. Продавец поднял цену на 10%, а через месяц снизил её на  10%.Сколько стал стоить товар? Решение.  Пусть товар стоил 1000тенге, после повышения цены на 10% он стал стоить 1,1*1000  тенге. После понижения этой цены на 10%, он стал стоить 0,9*1,1*1000=990 тенге. Ответ. 990 тенге. Задача 2.Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влажность 99%. Когда грибы подсушили,  влажность снизилась до 98%. Какой стала масса этих грибов после подсушивания?      Решение.  Так как влажность грибов составляет 99%,  это означает, что на так называемое  «сухое вещество приходится 1% грибов, т.е 1 кг, после сушки влажность составляет 98%, т.е. на  «сухое вещество» приходится 2%, т.е 1кг это 0,02 подсушенных  грибов,  1 кг : 0,02=50 кг. Ответ. 50 кг.   Задача 3. Цена входного билета на стадион была 1800 тенге. После снижения входной платы число  зрителей увеличилось на 50% , а выручка выросла на 25% .Сколько стал стоить  билет после  снижения?        Решение. Пусть зрителей, до понижения цены, на стадион приходило А чел. и выручка  составляла 1,8А руб. После понижения цены, цена 1800*р, зрителей стало 1,5А, выручка  составляет 1800*р*1,5*А тенге. С другой стороны, выручка повысилась на 25%, т.е. составляет  1,25*1800А. Получаем 1800*р*1,5*А=1,25*1800А., откуда р=12,5/15, тогда билет стоит  1800*12,5/15=1500 тенге . Ответ.  1500 тенге Задача 4. По дороге идут два туриста. Первый из них делает  шаги  на 10% короче и в то же время  на 10% чаще, чем второй. Кто из туристов идет быстрее и почему?        Решение.  Пусть второй турист делает а шагов, каждый из которых равен в, тогда ав это длина  пройденного пути. А первый турист тогда прошел1,1*а*0,9*в=0,99*ав, что меньше ав. Ответ. Второй турист идет быстрее. Задача 5.Цену за товар уменьшили на 10%, а затем еще на 10%. Стоит ли он дешевле, если цену  сразу снизить на 20%?      Решение. Если товар стоил А тенге, после двух понижений он стал стоить 0,9*0,9*А=0,81А. А  цену товара сразу понизить на 20%, то он станет стоить 0,8*А , что дешевле. Ответ. Да.  Задача 6. Числитель дроби увеличили на 20%. На сколько процентов надо          уменьшить её  знаменатель, чтобы в итоге дробь возросла вдвое?        Решение.  Пусть   данная дробь,   новая дробь.  , откуда К=0,6, что означает, что знаменатель  нужно уменьшить на 40% Ответ. 40%  Задача 7. Матроскин продает молоко через магазин и хочет получать за   него 25 тенге  за литр.  Магазин удерживает 20% стоимости проданного товара. По какой цене будет продаваться молоко в магазине?  Решение.  Пусть молоко продает магазин по А тенге, тогда после удержания 20% стоимости  товара, Матроскину остается 0,8*А=25, откуда А=31, 25 тенге. Ответ. 31, 25 тенге. Задача 8. Один покупатель купил 25% имевшегося куска полотна, второй покупатель 30%  остатка, а третий ­ 40%  нового остатка. Сколько (в процентах) полотна осталось непроданным?        Решение. Пусть полотна было р .  Первый купил 0,25р,, осталось (1­0,25)р полотна, второй  покупатель купил 0,3*0,75р=0,225р, осталось 0,75р –0,225р=0,525р, третий купил  0,4*0,525р=0,21р, осталось 0,525р­0,21р=0,315р, что составляет 31,5% от р. Ответ.  31,5%   Задача 9.Бригада косарей в первый день скосила половину луга и еще 2 га,  а во второй день 25%  оставшейся части и последние 6 га. Найти площадь луга.      Решение.  6 га составляют 75% или0,75=3/4 от оставшейся части после 1 дня работы, т.е.6:  0,75=6 га 8+2=10 га  ­ это половина луга, весь луг 20 га Ответ. 20 га        Задача 10.Как изменится в процентах площадь  прямоугольника,  если его длина увеличится на  30%, а ширина уменьшится на 30%?        Решение.  АВ­ площадь исходного прямоугольника, 1,3*А*0,7*В=0,91АВ – площадь нового  прямоугольника, что составляет 91% исходного. Ответ. Уменьшится  на 9% Задача 11. В драматическом кружке число мальчиков составляет   80%  от числа девочек. Сколько  процентов составляет число девочек в этом кружке от числа мальчиков? Решение. Девочек А чел, мальчиков 0,8*А, девочки составляют от мальчиков А/(0,8А)= 1,25, т.е.  125 % от числа мальчиков Ответ. 125%             Задача 12. В бассейн проведена труба. Вследствие засорения её приток воды уменьшился на  60%. На сколько  процентов  вследствие этого увеличится время, необходимое для заполнения  бассейна  Решение. Пусть Х – объем воды, который должен поступить за время Т при притоке А в ед  времени., т.е. Х=АТ. Так как приток уменьшился на 60%, т.е. стал составлять 0,4А, тогда время  стало ТК. Получим АТ=0,4А*КТ, откуда К = 2,5, что составляет 250% от времени, необходимого  на заполнение бассейна до засорения, т.е. время увеличилось на 150% Ответ.  150% Задача 13.5 литров сливок с содержанием жира 35% смешали с 4 литрами 20%­ных сливок и к  смеси добавили 1 литр чистой  воды. Какой  жирности получилась смесь?      Решение.  0,35*5+0,2*4=р*(5+4+1), откуда р=0,255, что составляет 25,5% Ответ. 25,5% Задача 14. В каких пропорциях нужно смешать раствор 50%­й и 70%­й кислоты, чтобы получить раствор 65%­й кислоты? Решение: арифметический (старинный) способ решения Нарисуем схему                ­                       50                                                      5 65 :               ­                        70                                                     15 Для получения 65%­й кислоты нужно взять 50% и 70%­й кислоты в отношении 5:15 = 1:3 Заключение.  Данное практическое пособие позволит развить и закрепить навыки решения задач по теме:  «Проценты» у учащихся 5­6 классов, может быть интересно учащимся, увлеченным математикой, а  также полезно выпускникам школ и абитуриентам при подготовке к экзаменам. В дальнейшем на  факультативных и кружковых занятиях возможны изучение вопроса применения процентов в  экономике, в банковском деле.