Интересные квадраты

Дата создания:9.01.2016 г.

-рассказать об истории развития магических квадратов, -рассмотреть свойства магических квадратов , умение их составлять, - осветить актуальность магических квадратов в мире, в котором мы живём.

” Подобно тому как в истинно художественном произведении находишь тем больше новых привлекательных сторон, 4 3 8 9 5 1 2 7 6 чем больше в него вглядываешься так и в произведении математического искусства-волшебном квадрате немало красивых свойств.” Б. А. КОРДЕМСКИЙ

 Магический, или волшебный квадрат — это квадратная таблица , заполненная n² числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим. Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n².

 Каждый элемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит n² клеток и называется квадратом n-го порядка. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7- го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет. В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры и операционного исчисления.

Полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени Известно, что магических квадратов 2х2 не существует. Магических квадратов 3х3 – один – остальные такие квадраты получаются из него поворотами и симметриями. Расположить натуральные числа от 1 до 9 в магический квадрат 3х3 можно 8 различными способами. Магических квадратов 4х4 уже более 800, а количество магических квадратов 5х5 близко к четверти миллиона.

Придуманы волшебные квадраты впервые, по- видимому, китайцами, так как самое раннее упоминание о них встречались в китайской книге, написанной за 4000- 5000 лет до н. э. 4 9 2 3 5 7 8 1 6 Старейший в мире волшебный квадрат это квадрат китайцев .На рисунке чёрными кружками в этом квадрате изображены чётные (женственные) числа, белыми-нечётные (мужественные) числа.

Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы, и эти знаки известны под названием ло-шу

Латинские квадраты Латинским квадратом называется квадрат n*n клеток, в которых написаны числа от 1, до n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу. 1 2 3 2 3 1 3 1 2

. В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в  Японии, где в 16 в. магическим квадратам была посвящена  обширная литература. Европейцев с магическими квадратами  строки указывают год создания картины­1514.  познакомил в 15 в. византийский писатель Э.Мосхопулос.  Первым квадратом, придуманным европейцем, считается  квадрат А.Дюрера, изображенный на его знаменитой гравюре  Меланхолия I. Любопытно, что два числа в середине нижней

7 2 16 9 12 13 3 6 1 8 10 15 14 11 5 4 Самый ранний уникальный магический квадрат, обнаруженный в надписи XI века в индийском городе Кхаджурахо был 4х4. И поэтому рассмотрим свойства волшебного квадрата именно такого размера, как 4х4.

 Суммы чисел в  Сумма чисел, расположенных по углам нашего волшебного квадрата, равна 34, т. е. тому же числу, что и сумма чисел вдоль каждого ряда квадрата 6 1 12 7 8 13 2 14 15 4 9 11 10 5 16 3 каждом из маленьких квадратов (в 4 клетки), примыкающих к вершинам данного квадрата, и в таком же центральном квадрате тоже 14 15 4 одинаковы и каждая из них равна 34: 9 7 1+14+12+7=34  11+13+2+8=34  10+5+3+16=34 11 10 5 1 2 6 1 1 2 8 1 3 6 3

 В каждой строке есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых 15, и ещё пара тоже рядом стоящих чисел, сумма которых 19. 6 1 12 7 8 13 2 14 15 4 9 11 10 5 16 3  Подсчитаем теперь сумму квадратов чисел отдельно в двух крайних строках и двух средних: 1 2 +14 2+15 2+4 2 =438  и  13 2+2 2+3 2+16 2=438    12 2+7 2+6 2+9 2=310     и   8 2+11 2+10 2+5 2=310      Как видите получились попарно равные суммы! 14 15 4 9 11 10 5 16 1 12 7 8 13 2 6 3

1 2 + 12 2+ 8 2+ 13 2 = 378  и  4 2+ 9 2+ 5 2+ 16 2= 378  14 2+ 7 2+ 11 2+ 2 2=  370   и   15 2+ 6 2+ 10 2+ 3 2= 370       Суммы квадратов чисел двух крайних столбцов равны между собой и суммы квадратов чисел двух средних столбцов тоже одинаковы 6 1 12 7 8 13 2 14 15 4 9 11 10 5 16 3  Если в данный квадрат вписать ещё один квадрат с вершинами в серединах сторон данного квадрата, то следует ожидать следующее: 1 1 4 7 6 9 1 5 4 1 2 8 1 1 5 1 0

12 14 5 3 28 15 9 Сумма чисел, расположенных вдоль одной пары противоположных сторон вписанного квадрата, равна сумме чисел, расположенных вдоль другой пары противоположных его сторон и каждая из этих сумм равна опять-таки числу 34: 1 13 6 7 11 10 4 16 12+14+3+5=15+9+8+2

 Ещё интереснее то, что равны между собой даже суммы квадратов и суммы кубов этих чисел:   • 1 2 2 + 1 4 2 + 3 2 + 5 2 = 1 5 2 + 9 2 + 8 2 + 2 2   • 3 3 + 5 3 + 1 2 3 + 1 4 3 = 1 5 3 + 9 3 + 8 3 + 2 3   1 14 15 4 6 12 7 8 13 2 9 11 10 5 16 3 •При обмене местами отдельных  строк или столбцов волшебного  квадрата некоторые из  вышеперечисленных его свойств  могут исчезнуть, но могут и все  сохраниться и даже появиться  новые. Например, поменяем местами  1 и 2 строку данного квадрата. 1 1 4 7 1 2 8 1 1 1 2 1 5 6 1 0 3 4 9 5 1 6 12 7 1 8 13 2 9 14 15 4 11 10 5 16 3

 Суммы чисел вдоль строк и столбцов, конечно, не изменились, но суммы чисел по диагоналям стали иными, не равными 34. волшебный квадрат потерял часть своих основных свойств, стал «неполным волшебным квадратом».  Продолжая обменивать местами строки и столбцы квадрата, мы будем получать всё новые и новые волшебные квадраты из 16 чисел. Некоторые из них будут обладать основными свойствами. 12 1 8 13 7 14 11 2 6 15 10 3 9 4 5 16 12 7 6 9 1 14 15 4 8 11 10 513 2 3 16

Как самому составить  волшебный квадрат?  Расположить в шестнадцати клетках все целые числа от 1 до 16 по порядку а б в г 3 7 4 2 1 8 6 5 10 11 12 9 13 14 15 16 1 2 3 4  Порядок следования чисел в строках «в» и «г» изменить на обратный и обменять местами строки «б» и «в»: а 1 4 12 9 б 5 8 в 16 13 г 1 2 3 4 2 11 6 15 3 10 7 14

 Порядок следования чисел во 2 и 3 столбцах изменить на обратный: а б в г 7 1 15 14 4 12 6 9 5 11 10 8 16 2 13 1 2 3 4 3  Порядок следования чисел в строках «в» и «г» изменить на обратный: а 15 б 6 в 10 3 г 1 4 12 9 8 5 13 16 1 2 3 4 14 7 11 2

 Волшебный квадрат готов! Можете проверить. Каждая из интересующих нас сумм равна 34 ( это число называется константой волшебного квадрата).

Актуальность ВОЛШЕБНЫХ квадратов в мире, в котором мы живем -Насколько интересны ВОЛШЕБНЫЕ квадраты в мире, в котором мы живем? -Мы провели небольшое исследование.

 Для этого сделали опрос среди учащихся 2 – 6 классов. Участие приняли 60 человек.  Результат представляем в виде круговой диаграммы. ВЫВОД:магические квадраты в среде детей популярны... 1 6 % 18% 66%

Для родителей учеников приготовили экспресс- анкету  1)ваш ребенок увлекается магическими квадратами а)да,б)нет),в)иногда,  2)часто оказываете помощь при выполнении домашнего задания  а)да, б)нет),в)иногда,  3)успеваемость вашего ребенка  а)отличная,  б) хорошая,в)удовлетворительная.

Выясняем интересный факт:при решении задач меньше обращаются за помощью те,кто увлечен магическими квадратами. У этих же ребят и успеваемость лучше по сравнению с теми,кто к квадратам волшебным равнодушен. Делаем собственный вывод: В начальных и средних классах очень интересно ребятам решать и составлять магические квадраты. Это помогает в дальнейшем хорошо решать задачи и разбираться в

А что ответило взрослое население? Действительно, сейчас идет волна нового увлечения игрой СУДОКУ. В основном потому, что по своей сути - это интереснейшая головоломка. Постараемся рассказать о судоку. Судоку — это головоломка-пазл с числами, ставшая в последнее время очень популярной. В переводе с японского "су" — "цифра", "доку" — "стоящая отдельно". Иногда судоку называют «магическим квадратом». Игровое поле представляет собой квадрат размером 9x9, разделённый на меньшие квадраты со стороной в 3 клетки. Таким образом, всё игровое поле состоит из 81 клетки. В некоторых из них уже в начале игры стоят числа (от 1 до 9). В зависимости от того, сколько клеток уже заполнены, конкретную судоку можно отнести к лёгким или сложным.

 Продолжим дальше. В чём ещё актуальность волшебных квадратов в современном мире? Обратимся к Интернету. Выясняем, что существует нумерологический анализатор «Пифагор». В чем его суть? Это мощная система анализа магического квадрата Пифагора и нумерологической карты, позволяющая проанализировать и понять характер, поведение и мотивацию не только себя, любимого, но и других людей. При помощи анализатора "Пифагор" можно хорошо подготовиться к предстоящей встрече еще до визуального контакта с человеком. Например, после знакомства в сети

 В современном мире с помощью нумерологической программы "Пифагор" преподаватели смогут быстрее понять склонности ученика к тому или иному предмету, лучше преподнести материал во время индивидуальных занятий. Психоаналитики смогут быстрее найти проблемные вопросы клиентов. Персоналу отдела кадров программа поможет быстрее разобрать полученные резюме и выделить самых перспективных претендентов.

Продолжая поиски опять-таки в интернете, поражаемся размаху использования магических квадратов.  Теперь же они - элементы прогресса нанотехнологии.  Недавно в Интернете появилась интересная информация : фирма "Тошиба" , разрабатывая качественные телевизионные экраны, пришла к выводу, что цветовые ячейки выгодно компоновать по принципу магических квадратов. В этом случае резко повышаются как четкость изображений , так и цветовые переходы. Идеальные магические квадраты имеют в два раза больше цепей ячеек, дающих магическую сумму. Следовательно, и качество изображений экрана телевизора должно еще более улучшиться.

4 3 8 9 5 1 2 7 6 В своей презентации мы рассмотрели вопросы, связанные с магическими квадратами. Нам нравилось и нравится составлять волшебные квадраты и думаем, что будем и в дальнейшем совершенствовать свои знания в этом направлении.

Литература 1) Кордемский Б.А. Математическая смекалка. — ГИФМЛ, 1958. — 576 с. 2) Савин А. П., Я познаю мир.- АСТ, 2004.-475,(5) 3)http://www.stereo.ru/whatishat/php?artikle id=254 4) http://narod/ru/disk/2927154000/Магия с. _чисел_и_слов%20 2 7 6 4 3 8 9 5 1