Исследовательская работа по математике: "Cказочные герои в стране математики"

Министерство образования Тверской области Муниципальное образовательное учреждение “Кувшиновская средняя общеобразовательная школа №1” Исследовательская работа по математике на тему: “Cказочные герои в стране математики (задачи на проценты)” Автор проекта: Никифоров Антон Романович Ученик   10  класса Руководитель проекта: Малышева Любовь Николаевна, учитель математики  МОУ «Кувшиновская СОШ №1» 1 Кувшиново 2015 год Содержание   1. Введение  2. История возникновения процентов  3. Три типа  задач на проценты  4. Практическая часть. Сборник задач для учащихся 5 класса    «Сказочные герои  в  задачах  на проценты»     5. Анкетирование   6. Выводы  7. Использованная литература  3 5 8 9 24 25 26 2 1. Введение «Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки  и даже не может обнаружить своего невежества» Роджер Бэкон   Проценты   ­   одно   из   математических   понятий,   которые   часто   встречаются   в повседневной жизни. Так, мы часто  читаем или слышим, что, например, в выборах приняли участие   54,5%   избирателей,   рейтинг   победителя   хит­парада   равен   85%,   промышленное производство сократилось на 10,2% ,уровень инфляции составляет 8%в год, банк начисляет 12% годовых, молоко содержит 3,2% жира и т.д.                         Проценты   в   мире   появились   из   практической   необходимости,   при   решении определенных задач. Первая потребность процентов была экономическая, но после проценты стали  широко применяться в различных отраслях и науках (математика, химия, физика и т д.),  и в наше время проценты приобрели широкое распространение. Поэтому надо отметить важность процентов в нашей жизни. Сейчас  проценты проникли, практически, во все отрасли знаний.  Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в развитии практических   способностей,   а   также   умение   решать   экономические   задачи.   Обдуманное изучение   процентов   может   способствовать   развитию   таких   навыков   как   экономичность, расчетливость,   умение   оперативно   решать   поставленные   задачи   –   это   динамическая характеристика   практического   интеллекта,   проявляется   в   количестве   времени,   которое проходит с момента возникновения задачи до ее практического решения. Вопросы, связанные с процентами, позволяют сделать курс практически ­ ориентированным, показать учащимся, что приобретаемые ими математические знания применяются в повседневной жизни.   Задачи на части и проценты часто вызывают затруднения у учащихся. Причина такой ситуации, на мой   взгляд,   в   том,   что   тема   «Проценты»   изучается   в   школьном   курсе   рано   в   5   классе, изучается   непродолжительно   и,   наконец,   к   задачам   на   части   и   проценты   возвращаются   в старших классах на ЕГЭ. Часто учителя физики и химии жалуются на неумение детей решать 3 задачи на проценты.  Поэтому  нужно в первую очередь  заинтересовать младших школьников. А для этого мне пришла мысль, что    начинать учить   решать такие задачи, использовав их возрастные особенности, а именно, любовь к   героям сказок. В ходе работы над проектом я провел много бесед  с младшими  ребятами, вместе обсуждали составленные  мною задачи. Некоторые   из   них   предложили   мне   помощь   в   составлении   такого   задачника.   Ребята нарисовали к моим задачам рисунки. Из­за ограниченности в количестве страниц я поместил в работу не все составленные задачи.     В  будущем мне хотелось бы продолжить работу над проектом, составив задачник для учащихся средней и старшей школы с экономическим содержанием. Гипотеза   проекта    –   разработать     дополнительные   приемы   заинтересованности   изучения процентов в школе для младших школьников, чтобы они в полной мере понимали и усваивали такую тему как проценты.  Область исследования: математика Объект исследования:  проценты,  задачи на  проценты как средство познавательного  интереса к изучаемому предмету Предмет исследования:  история процентов, решение задач на проценты Цель работы: разработать задачник по решению задач на проценты с целью изучения,  закрепления материала, вызвать повышенный интерес к предмету через задачи, связанные с  героями сказок Задачи:  изучить историю возникновения  процентов, рассмотреть типы задач на проценты,  придумать  задачи и создать мультимедийную презентацию для задачника, провести  анкетирование учащихся 5­6 классов для выяснения путей  повышения интереса      к  предмету Методы исследования:  сбор и систематизация информации по теме, беседы и  анкетирование учащихся 5­6 классов, самостоятельное составление задач, связанных с идеей  проекта Практическая значимость: задачник по математике «Сказочные герои в стране математики» может быть использован учителями математики для изучения процентов в 5­6 классах. На  основе данной работы можно создавать свои задачники. Продукт работы:  power­point­презентация работы на школьной конференции проектно­ исследовательских работ, проведено анкетирование среди учащихся 5 классов по  целесообразности создания такого  задачника 4 2. История возникновения процентов         Люди давно заметили, что сотые доли величин удобны в практической деятельности. Для них было придумано специальное название.          Процент – это сотая часть любой величины: пути, массы, площади, количества объёма и т.л. Действительно, сотая часть метра – сантиметр, сотая часть центнера – килограмм, сотая часть рубля – копейка.          Слово «процент» от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». С помощью процентов можно выразить отношение между двумя величинами: частью 5 и целым.  Например, можно узнать в процентах количество выполненной работы, пройденного пути, почитанных страниц книги, сахара в варенье, соли в морской воде. Удобно то, что мы имеем дело не с дробями, а с целыми числами, хотя речь идёт о той же величине. Например,  Атмосфера   Земли   –   хорошо   знакомый   нам   воздух   представляет   собой   смесь   газов:   0,78 составляет азот, около 0,21 – кислород, 0,01 – другие газы. Атмосфера   Земли   –   хорошо   знакомый   нам   воздух   представляет   собой   смесь   газов:   78% составляет азот, около 21% – кислород, 1% – другие газы. Таким образом, проценты дают возможность сравнивать между собой части целого, упрощают расчеты и поэтому очень распространены.                      Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими   соображениями,   родилась   еще   в   древности   у   вавилонян.   Это     дает возможность   упрощать расчеты и   легко сравнивать части между   собой и с целыми. Идея выражения  частей целого постоянно в  одних  и  тех  же   долях   вызванная  практическими соображениями,  родилась еще  в  древности у  вавилонян, которые  пользовались  шестидесятеричными дробями. Уже  в клинописных  табличках вавилонян содержатся задачи на   расчет процентов. До   нас   дошли составленные  вавилонянами    таблицы   процентов, которые  позволяли быстро  определить сумму процентных  денег. Были  известны проценты  и  в  Индии. Индийские  математики вычисляли проценты, применяя так  называемое   тройное  правило, т.е.  пользуясь  пропорцией.                   Денежные расчеты с процентами были   особенно распространены в древнем Риме. Римляне   называли   процентами   деньги,   которые   платил   должник   заимодавцу   за   каждую сотню. Они брали с должника лихву ( деньги сверх того, что брали в долг). При этом  говорили: « На каждые 100 сестерциев долга заплатишь 16 сестерциев лихвы». Так как слово «на сто» по латыни звучит «про центум», то сотую часть и стали называть процентом. Даже римский  сенат вынужден  был  установить максимально допустимый  процент, взимаемый  с должника, так  как  некоторые заимодавцы усердствовали в  получении процентных  денег. От римлян  проценты  перешли к  другим  народам.  6 В Европе проценты появились на 1000 лет позже. Их ввел бельгийский ученый Симон Стевин, который в1584 году впервые опубликовал таблицы процентов     Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто   рублей.   Они   применялись   только   в   торговых   и   денежных   сделках.   Затем   область   их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).    Есть 2 версии появления знака процента: ­ Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный символ для обозначения процента.       ­  В 1685 году в Париже была напечатана книга – руководство по коммерческой  7 арифметике,   где   по   ошибке   наборщик   вместо  cto  набрал  %.   После   этой   ошибки   многие математики также стали употреблять знак  %  для обозначения процентов, и постепенно он получил всеобщее признание. • СОТАЯ ЧАСТЬ ЧИСЛА    ­   1% • ДЕСЯТАЯ ЧАСТЬ ЧИСЛА ­ 10% • ПЯТАЯ ЧАСТЬ ЧИСЛА ­  20% • ЧЕТВЁРТАЯ ЧАСТЬ ЧИСЛА ­ 25% • ПОЛОВИНА  ­ 50% • ТРИ ЧЕТВЕРТИ ЧИСЛА ­  75% Чтобы количество процентов выразить в виде десятичной дроби, надо это число разделить на  100  или умножить на 0,01. Например: 125%= 125:100=1,25  или 125%=125 * 0,01= 1,25 Чтобы записать дробь в виде процентов, надо умножить её на 100%. Например, 0,7 = 0,7 *  100% = 70%,  0,45 = 0,45 * 100% = 45% 3. Три типа задач на проценты 3.1 Нахождение процентов от числа Чтобы найти проценты от числа, нужно сначала найти один процент, а потом умножить  полученное число на количество процентов. 8 Например: В огороде росло 800 овощей, из них 30% ­ помидоры. Сколько помидоров росло в  огороде? 1) Находим 1%:   800:100=8  2) Умножаем на полученное число на 30 % : 8х30=240 Ответ: В огороде росло 240 помидоров. 3.2. Нахождение числа по его проценту Чтобы найти  число по его  проценту, нужно сначала найти один процент, а потом умножить  полученное число на 100 процентов. Например: В огороде росло 240 помидоров, что составляет 30% всех посаженных овощей.  Сколько овощей  росло в огороде? 3) Находим 1%:   240 : 30 = 8 4) Умножаем на 100 процентов полученное число: 8х100=800 Ответ: В огороде росло 800 овощей 3.3.  Нахождение процентного отношения чисел Чтобы найти процентное отношение чисел надо отношение этих чисел умножить на 100%. Например: В огороде росло 800 овощей, из них  помидоров было 240. Сколько % помидоров    росло в огороде? 5) Находим отношение чисел: 240 : 800=0, 3 6) Умножаем на 100 процентов полученное число:  0,3х100=3­ Ответ: помидоры составляли 30% всех овощей 4. Практическая часть Сборник задач для учащихся 5 класса «Сказочные герои  в  задачах  на проценты» Нахождение процентов от числа   Задача 1. 9 Вини­ Пух пошел в лес за медом.  Он набрал 4,2 кг меда. По дороге домой Вини съел 30% меда. Сколько килограммов меда съел Вини­Пух? Решение 4,2 : 100 х 30 = 1,26 ( кг)                                 Задача 2. У Буратино было 20 сольдо, из которых 40% он потратил на азбуку. Сколь сольдо Буратино потратил на азбуку? 20 : 100 х 40 = 8 ( с)  Задача 3  Королевич Елисей во время поисков невесты совершил 150 выстрелов.    Из  них  только 28 % стрел попали в мишень. Сколько стрел достигли цели? Решение 150 : 100 х 28 = 42 ( в. ) Задача 4 10 Кролик посадил у себя в саду 250 луковиц тюльпанов красного цвета. Но 8% тюльпанов выросло желтыми. Сколь тюльпанов оказались  желтыми? 250  : 100 х 8 = 20 ( т)  Задача 5 За три дня Чебурашка с друзьями посадили 400 кг картофеля. В первый день они посадили 40% , во второй – 20% всего картофеля. Сколько кг картофеля посадили в третий день? Решение 100 – (40+30) = 30 ( %) 400 : 100 х 30 = 120 ( кг)  Задача 6 Незнайка хочет построить башню высотой 145 см. Он уже выстроил 40% башни. Сколько сантиметров ему осталось построить? 145 : 100 х 40 = 58 ( см ) 145 – 58 = 87 ( см)  11 Задача 7 У Джека Воробья в команде 200 пиратов.   30 % из них одноглазые. Сколько     одноглазых пиратов в команде Джека? 200 : 100 х 30 = 60(п)  Задача 8 От острова Буяна до царства Салтана 200 км. Купцы проплыли 42% пути. Сколько км им осталось проплыть? Решение 100­ 42 = 58 (%) 200 : 100 х  58 = 116 ( км)   Задача 9 Караван Али­Бабы вез 1500 м ткани. Ткань нового образца составляла 45%. Сколь ткани нового образца вез караван? 1500 : 100 х 45 = 675 (м) 12 Задача 10 У волшебника Сулеймана 3000 сосудов, наполненных зельем разных цветов. Синего цвета в сосудах составляет 42%. Сколько сосудов наполнили синим зельем? 3000 : 100 х 42 = 1260 ( с) Задача 11 У Василисы Прекрасной в лесу было 200 друзей­зверей. Птицы составляли 35%. Сколько птиц дружило с Василисой? Решение 200 : 100 х 35 = 70 (п)  Задача 12 Незнайке   на   день   рождения   принесли   10   конфет..   26%   он   отдал   Гуньке,   14%   доктору Пилюлькину, а остальные оставил себе. Сколько конфет Незнайка оставил себе? 100 – ( 26+ 14) = 60 % 1 : 10 х 60 = 6 ( к)  13 Задача 13 Во дворец на бал царь пригласил  200 гостей. Среди приглашенных 65% были принцессы, остальные принцы. Сколько на бал прибыло принцев? 200 : 200 х 65 = 130 ( п) 200 – 130 = 70 (п) Задача 14 Змей Горыныч летел   лесом в 300 га. И случайно сжег 25% площади леса. Сколько га леса сжег Горыныч?» Решение 300 : 100 х 25 = 75 ( га) 14 Нахождение числа по его проценту Задача 15 Карлсон   взял   у   Малыша   немного   варенья.   Дома   он   сразу   же   съел       150   г   варенья,   что составило 60% всей покупки. Сколько килограммов варенья взял  Карлсон у Малыша? Решение 150 : 60 х 100 = 250 ( г)      Задача 16 Вини Пух пошел на день рождение к Пятачку. Он решил подарить имениннику горшочек  варенья, но по дороге съел 15%, что составило 300 граммов. Сколько граммов варенья было в  горшочке? Решение 300 : 15 х 100 = 2000 (г) = 2кг Задача 17 Гена и Чебурашка собирали металлолом. Чебурашка собрал 3,5 кг, что составляет 28%  собранного вместе. Сколько килограммов собрали Гена с Чебурашкой ? Решение 15 3,5 : 28 х 100 = 12, 5 ( кг)  Задача 18 Бояре угостили белочку орехами. Они дали ей 25 орехов, их которых 32% составлял орех­ фундук. Сколько фундука дали бояре белочке? Решение 25 : 100 х 32 = 8 ( о)  Задача 19 На базаре Али­Баба продал 30м ткани, что составило 60 % от всего рулона. Сколько меторов  ткани в рулоне? 30 : 60 х 100 = 50 ( м)  Задача 20 Князь Гвидон на радостях раздал жителям королевства 12 мешков золота, что составляет 30  % всей казны. Сколько всего в казне Гвидона мешков с золотом? Решение 16 12 : 30 х 100 = 40 (м)  Задача 21 Гена подарил на день рождения Чебурашке цветы. Чебурашка поставил в вазу 9 цветов что  составляет 20% всех. Сколько всего цветов подарил Гена Чебурашке? Решение 9 : 20 х 100 = 45 (ц) Задача 22 Старуха послала старика к золотой рыбке за исполнением ее желаний. Рыбка обещала  исполнить только 27 желаний, что составило 45% всех. Сколько желаний было у старухи? Решение 27 : 45 х 100 = 60 (ж)  Задача 23 Золотая рыбка проплыла 850 км, что составило 75 % всего пути . Сколько всего километров  предстоит проплыть  рыбке ? 17 Решение 850 :75 х 100 = 1133 (км.)  Задача 24 Подружилась лиса с журавлём и решила его угостить сметаной. Журавль съел 1 литр  сметаны , что составило 20 %всей сметаны лисы. Сколько сметаны было в кувшине у лисы?   1 : 20 х 100 = 5 (л) Решение Задача 25 Три поросенка весь день собирали сено. За ужином они съели 5 кг сена, что составляет 50%  всего cобранного. Сколь сена собрали поросята? Решение 5 : 50 х 100 = 10 ( кг)  Задача 26 18 Мальвина  проводила уроки с Буратино. На математику они потратили 20 минут, что  составило 40% всех уроков. Сколько времени занимались Мальвина с Буратино? Решение 20 : 40 х 100 = 50 ( мин) Нахождение процентного отношения чисел Задача 27 Чиполлино имеет огород площадью 56 кв.метров. Из них 14 кв.метров засажено цветами. Сколько процентов огорода засажено цветами? Решение 14 : 56 х 100 = 25 ( %)             Задача 28 Царевна   испекла     для   семи   богатырей   50   пирожков.   15   пирожков   было   с   мясом.   Какой процент составляли остальные пирожки? 50­15= 35(п) 35 : 50 х 100 =  70 % 19 Задача 29 В пещере сорока разбойников   было 400 золотых монет. Пока разбойники спали Али­Баба вынес 150. Сколько процентов золотых монет вынес Али­ Баба? 150 : 400 х100 = 37, 5%  Задача 30 Кот Матроскин надоил 60 литров молока. Из 30 литров он заквасил сметаны.. Какой процент молока  заквасил  Матроскин ? Решение 30 : 60 х 100 = 50 (%)          Задача 31 Фрекенбок испекла плюшки. Карлсон съел 15 штук, что составило 60 % всех плюшек.  Сколько плюшек испекла Фрекенбок? Решение 20 15 : 60 х 100 = 25 ( п)  Задача 32 Кот в сапогах отправился в замок к Людоеду. Расстояние между замком людоеда и замком  короля 5 км. Кот в сапогах прошёл 3, 8 км. пути, а затем остановился отдохнуть. Какой  процент пути прошёл кот? Решение 3,8 : 5 х 100 =  76 ( %) Задача 33 Золушка приехала на бал во дворец, куда были приглашены дамы с кавалерами. Дам было на  16 больше. Сколько процентов составляли дамы, ели кавалеров там было 24? Решение 24+16+ 24 = 64 ( ч) 40 : 64 х 100 = 62, 5%  Задача 34 21 В кругосветной регате яхта Беда участвовала  два дня.  В первый день она проплыла 150 км,  во второй на 100 км меньше. Какой  процент пути яхта проплыла в первый день?  (150 – 100) + 50 = 200 ( км) 150 : 200 х 100 = 75%  Задача 35 Иванушка­дурачок пошел охранять 30 га поля, засеянного пшеницей. Ночью по полю скакала  кобылица и вытоптала 6 га. Сколько процентов поля вытоптала кобылица? Решение 6 : 30 х 100 = 20 (%) Задача 36 Иван­царевич, прыгая по болоту, насчитал 13 светло­зеленых и 12 темно­зеленых лягушек.  Сколько процентов составляли лягушки темно­ зеленые? 12 : 25  х 100 = 48%  22 Задача 37 На поле  в 20 га Чиполлино и  Вишеньки посадили 6 га цветов. Сколь процентов поля заняли  посаженные цветы? Решение 6 : 20 х 100 = 30% Задача 38 В подвале у Бабы Яги стояло 300 банок со снадобьями. 9 банок она отдала Кощею  Бессмертному. Сколько процентов банок отдала Кощею? Решение 9 : 300 х 100 = 40 (%) Задачи на проценты Задача 39 Дом трёх медведей был площадью 50 кв.м. Спальная комната Михаила Потаповича 30% всей площади. У Марьи Потаповны комната 20 % всей площади , а комната Мишутки была 5 кв.м. Какова площадь гостиной ? Решение 1) 50 : 100 х 30 = 15 ( кв.м ) комната М.П 2) 50 : 100 х 20 = 10 ( кв.м ) комната М.П 23 3) 50 – ( 15 + 10 + 5 ) = 20 ( кв.м )  Задача 40  На столе в  день рождения Малыша  Карлсон увидел пончики. До прихода гостей   Карлсон  съел 50% , а затем 40% остатка. После этого осталось всего 3 пончика. Сколько пончиков  было у Малыша? 100­ 40= 60 ( %) 3 : 60 х 100= 5 ( п) 100­50=50 (%) 5 : 50 х 100 = 10 ( п)  Задача 41 Руслан схватил бороду  Черномора  и отрубил 82% бороды. Сколько метров длина бороды  карлика, если 5% от оставшейся части равно 2 м ? Решение 2 : 5 х 100 = 40 (м) 100 – 82 = 18 ( %) 40 : 18 х 100 = 220 ( м)  Задача 42 Прежде, чем поймать золотую рыбку,  старик ждал 2 часа. Сначала он выловил тину, затем  пришел невод с травой морской. Когда прошло еще 15% времени, что составило 3 часа,  старик наконец поймал золотую рыбку. Сколько процентов времени ждал старик, пока ему не  попалась тина? Сколько всего ждал старик? Решение 24 3: 15 х 100 = 20 ( ч)  2 : 20 х 100 = 10 (%) Задача 43 Семь богатырей несли гроб с мертвой царевной. Они шли по болотам 20% всего пути, по лесу  прошли 5 км, что составило 10% пути по болотам. Каков весь пройденный путь? 5 : 10 х 100= 50 ( км) 50 : 20 х 100 = 250 (км) Задача 44 У царя Дадона в казне хранилось золото. На  строительство замка  он потратил 23%, на пир  2% золота, и у него осталось 6000 золотых монет. Сколь золотых монет было в казне у  Дадона? 100 – ( 23+5)= 75% 6000: 75 х 100 = 8000 ( м)  5. Анкетирование      Я провел  анкетирование среди учащихся 5 классов: «Помогают ли изучить тему   и   вызывают   ли   повышенный   интерес   к   изучению   математики   задачи   с содержанием   сказочных   героев?»,   «Хотели   бы   они   сами   придумывать   такие 25 задачи?».   В   результате   опроса   88%   ответили   «да»,   12%   ­   никак   не отреагировали.   Однако,   после   презентации   моего   проекта   все   100   % заинтересовались   и   захотели   вместе   продолжить   работу   над   составлением сборника   задач.   Также   было   проведено   анкетирование   учителей   математики: «Поможет   ли   вам   в   работе   такой   сборник?».   Все   учителя   ответили положительно и даже обещали сотрудничать в продолжении проекта, предложив своим ребятам придумать свои задачи.    26 6. Выводы   Тема: «Проценты» ­ одна из самых нужных и важных тем не только в  математике, но и других науках, широко используется в повседневной жизни. В  школьных учебниках мало практических задач на проценты. А ведь они сейчас  включены в задания ГИА и ЕГЭ. Поэтому мне захотелось помочь учителям и  ребятам в изучении данной темы. Я надеюсь продолжить работу над этой темой,  разработать уже задачи для учащихся старших классов, связанные с  экономикой, химией. Самое главное я считаю, что своей работой я  заинтересовал и учащихся нашей школы, и учителей. Ведь придумывая  самостоятельно задачи, ребята будут развивать в себе еще логическое мышление и творческие способности. 27 Список используемой литературы 1. Едуш О.Ю. Математика, 5 класс. Подсказки на каждый день, / Едуш О.Ю.,  2. Угроватова Т.Ю., М: Владос, 1998, 128 с. 3. Леонович А.А. Я познаю мир. Математика, энциклопедия для детей, М: АСТ   ­ ЛТД, 1998, 560 с. 4. Совайленко В.К. и др. Математика . Учебник для 5 класса, Р: Феникс, 1998,  448 с. 5. Энциклопедия для детей. Т.11.Математика М: Аванта+, 1998, 688с. Интернет­источники: www.intv.ru www   .  proatom    .  ru www.netal.ru www.planeta co.ru www.bookin.org.ru www.matema.ucoz.ru 28