Исследовательский проект по математике «Загадки таблице умножения»

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 10»

Исследовательскийпроект по математике

«Загадки таблице умножения»

                      Автор работы: Устинова Кристина

                       ученица 8 «А» класса

 Руководитель: Казанова Надежда Сергеевна,

учитель математики

г. Кыштым

2021 г.

Содержание

Введение………………………………………………………………………………………... 3

Глава I. Теоретические аспекты таблицы умножения.………………………………………..5

1.1.            История происхождения таблицы умножения………………………………………...4

1.2.            Виды таблиц …….….…………………………………………………………………....5

1.3.            Как умножают в Индии………………………………………………………………....6

1.4.            Как умножают в Китае………………………………………………………………….6

1.5.            Применение таблицы умножения в жизни человека…………………………………6

Глава II. Исследование знаний таблицы умножения………………………………………....8

2.1.Результаты анкетирования: ………………………………………………………………...8

2.2.Результаты письменной проверки знаний таблицы умножения………………………....9

2.3.Секреты таблицы умножения……………………………………………………………....9

Заключение …………………………………………………………………...........................14

Список литературы…………………………………………………………………………..15

2

Введение

Каждый сталкивался в детстве с необходимостью учить таблицу умножения. У многих при этом возникали сложности, так как приходилось в буквальном смысле зубрить, запоминать набор непонятных цифр.

Современные дети находятся в еще более сложной ситуации, они не понимают в чем смысл запоминания большого количества цифр, когда есть калькулятор или компьютер.

 Актуальность проектной работы: Каждому из нас в начальной школе приходилось учить таблицу умножения. Но не многие знают её в совершенстве. Возникают трудности в  заучивании таблицы, многие просто зубрят, не могут бегло и быстро применять. Особенно современным детям тяжело она дается, т.к. есть калькуляторы, различные гаджеты, на которых легко и быстро можно посчитать. И дети не понимают, зачем вообще ее запоминать?! Если ученик не сможет усвоить таблицу умножения сразу, то в будущем он может столкнуться с определенными сложностями в среднем и старшем звене. Это может привести  к ошибке в экзамене.

Цель: выявление секретов таблицы умножения для быстрого запоминания.

Задачи:

·         Изучить историю возникновения таблицы умножения;

·         Рассказать о лёгких способах заучивания таблицы умножения;

·         Провести анкетирование среди 2-х классов;

·         Узнать виды таблиц.

Методы исследования:

·         Сбор информации;

·         Обработка, анализ научных источников;

Предметами исследования: будут цифры, числа, их зависимость с древних времён.

3

Глава I. Теоретические аспекты таблицы умножения

1.1.          История происхождения таблицы умножения

Привычная для нас таблица умножения — это 8 столбцов с последовательными примерами на задней обложке тетради.

Таблицу умножения также называют «Таблицей Пифагора», особенно когда она представлена в виде квадрата, стороны которого — множители, а в ячейках стоит их произведение. Именно так принято считать в европейской культуре. При этом существует очень интересный факт: не обнаружено ни одного письменного свидетельства тому, что именно Пифагору принадлежит авторство таблицы. Существуют только косвенные доказательства. Последователь его учения — НикомахГерасский, который жил на рубеже I и II веков нашей эры, записал таблицу в привычном нам виде в своем сочинении «Введение в арифметику». Именно он утверждал, что авторство принадлежит древнегреческому ученому Пифагору.

Лишь в 493 году появился новый вариант, предложенный ученым ВикториемАквитанским: он записал таблицу из 98 столбцов, которая представляла в римских числах результат перемножения чисел от 2 до 50. А в 1820-м году шотландский физик и профессор математики Джон Лесли в своей книге «Философия арифметики» опубликовал таблицу умножения до 99. Он же стал тем, кто начал давать своим ученикам рекомендации заучить ее.

Известно, что впервые таблица умножения была введена в школах в средневековой Англии. Выглядела она как система перемножения чисел до 12. В Англии до сих пор сохранился именно такой средневековый вариант по той причине, что в жизни англичан часто приходится умножать именно на 12: в измерительной системе 1 фунт равен 12 дюймам, а ранее в денежном обращении 1 шиллинг был равен 12 пенсам.

Таким образом, мы видим, что таблица не во всех странах одинакова. Например, в Индии, она включает в себя числа до 20-ти.

Мнения ученых по поводу авторства таблицы умножения разделились. И многие считают, что Пифагор не может быть ее создателем, ведь существуют факты, подтверждающие другое ее происхождение.

Таблица умножения, она же таблица Пифагора,- таблица, где строки и столбцы озаглавлены множителями, а в ячейках таблицы находится их произведение.

Недавно при раскопках здания, в городе Нара, древней столице Японии, археологами была найдена деревянная табличка с фрагментом таблицы умножения. Из всех табличек, обнаруженных в Японии, найденная - самая древняя.

4

Каким же образом жители Страны восходящего солнца впервые узнали о существовании этой математической «запоминалочки»?

Судя по тому, что иероглифы, которыми записаны цифры напоминают китайское письмо, скорее всего, она была просто скопирована из китайского учебника арифметики того времени. А откуда она взялась в Китае? Не исключено, что именно там ее впервые и придумали.

Эту версию подтверждает находка, сделанная китайскими археологами на юге страны. Там была обнаружена дощечка, содержащая фрагмент таблицы умножения, возраст которой ученые оценили 2700-3000 лет.

На основании этой находки ученые Китая предложили гипотезу, согласно которой впервые таблица умножения была составлена в Древнем Китае, а потом вместе с караванами, идущими по Великому шелковому пути, проникла в Индию, а оттуда в страны Передней Азии и в Европу. Однако этой версии противоречат многие находки, сделанные раннее. Например, в Индии в свое время были обнаружены более древние варианты таблицы умножения, возраст которых оценивается в 3000-3200 лет.

Пожалуй, самые старые в мире таблицы умножения были найдены при раскопках городов Древней Месопотамии. Они были нанесены с помощью клинописи на глиняные таблички, возраст которых составляет 5000 лет. Так что, скорее всего, таблица умножения появилась где-то в тех краях.Хотя не исключено также и то, что данная система устного счета появилась независимо в разных местах.

1.2 Виды таблиц

Таблица Кэли

Таблица Кэли — в общей алгебре, таблица, которая описывает структуру конечных алгебраических систем с одной бинарной операцией. Названа в честь английского математика Артура Кэли. Имеет важное значение в дискретной математике, в частности, в теории групп, в которой в качестве операций рассматриваются умножение и сложение. Таблица позволяет определить, является ли группа абелевой, найти центр группы и обратные элементы по отношению к другим элементам в этой группе.

В высшей алгебре таблицы Кэли могут также использоваться для определения бинарных операций в полях, кольцах и других алгебраических структурах. Также они удобны при проведении действий в данных структурах.

Таблица Пифагора

5

Итак, узнать имя гениального математика, который первым додумался записать результаты умножения в виде таблицы, скорее всего не удастся.

Просто потому, что это пришло в голову сразу нескольким людям. В европейской культуре авторство таблицы умножения приписывается знаменитому греческому математику Пифагору (570-490 годы до н.э.).

Впервые в школьную программу она была введена в Англии в конце Средних веков. Это была таблица умножения до 12, которую, кстати, юные британцы проходят и по сей день. А в Индии ученики до сих пор зубрят исходный вариант таблицы –до 20.

1.3Как умножают в Индии

Рабочая тетрадь по-индийски

Если присмотреться - понятно, что в клеточках тот же наш столбик, только то, что у нас "в уме" - записывается рядом, через косую черту. Не запутаешься.

В примере справа аналогия еще более очевидна, кст израильские школьники умножают именно так -строчки в обратно порядке по сравнению с нашим способом(и то что "в уме" тоже записывают явно, дополнительной строкой).

Индийская система - похоже, что самая удобная, в итоговой табличке между косыми направляющими числа группируются по разрядам и удобно складываются все разом - десятки с десятками, сотни с сотнями, ничего не потеряется при переходе через разряд.

1.4Как умножают в Китае

К примеру возьмем 15x43 рисуем косые линии, а точнее 1 линию отступаем от нее не более сантиметра и рисуем 5 таких линий .....после рисуем другую линию, что пересекается с теми и рисуем таких 4 линии и отступив рисуем 3. Теперь мы с левого верхнего угла считаем, сколько получилось пересечений у нас получается 4, теперь берем нижний правый угол и делаем тоже самое и у нас получается 15, у нас ещё остались верхний правый угол и нижний левый их складываем ну точнее точки пересечения и у нас получается 23. Получается у нас есть числа 4, 23, 15 сложение будет показано на практике, как и сам этот способ.

1.5Применение таблицы умножения в жизни человека

6

Таблица умножения нужна всем, каждый человек в своей жизни пользуется таблицей умножения, часто даже не замечая этого. В некоторых ситуациях приходится не только умножать, но и пользоваться обратным действием- делением.

Вот несколько примеров тех жизненных ситуаций, где человек использует таблицу умножения:

1.В изучении многих школьных предметов (математика, геометрия, алгебра, физика, химия, черчение и др.)

2.В профессиональной деятельности (инженер, плотник, столяр, продавец, учитель, строитель и т.д.)

3. В быту:

·         определение площадей комнат в квартире

·         расчет материалов для ремонта стен, потолков, полов (количество необходимого количества обоев, краски)

·         оплата коммунальных услуг

·         расчет стоимости покупки в магазине и т.д.

·         оценить финансовое состояние своих возможностей

7

Глава II. Исследование знаний таблицы умножения

Вопросы анкетирования:

1.Необходимо ли современному человеку хорошо знать таблицу умножения

а) да б) нет

2.Испытывали ли Вы трудности при заучивании таблицы умножения?

а) да б) нет

3.Знаете ли Вы способы эффективного заучивания таблицы умножения?

а) да б) нет

4.Таблица умножения на какую цифру Вам давалась труднее всего?

а) на 2 б) на 3 в) на 4 г) на 5 д) на 6 е) на 7 ж) на 8 з) на 9

5) Самостоятельная работа по таблице умножения (10 примеров)

Чтобы выяснить, какой способ выбрали наши одноклассники для заучивания таблицы, мы провели анкетирование учеников 3 «В» класса (27 человека) по теме «Знаешь ли ты таблицу умножения?»

2.1 Результаты анкетирования:

1. На вопрос «Необходимо ли современному человеку хорошо знать таблицу умножения?» ответили:

·         да – 25 чел. (96 %),

·         нет – 2 чел. (4 %).

2. На вопрос «Испытывал ли ты сложности при запоминании таблицы умножения?» ответили:

·         да – 15 чел. (58 %)

·         нет – 12 чел. (42%)

3.  На вопрос «Знаете ли вы способы заучивании таблицы умножения?»ответили:

·         да – 11 чел. (40%)

·         нет – 16 чел.(60%)

8

       4.  На вопрос «Таблица умножения на какие цифру вам давалась труднее всего?» ответили:

- на 2 – 2 чел.

- на 3 – 7 чел.

- на 4 – 4 чел.

- на 5 – 6 чел.

- на 6 – 11 чел.

- на 7 – 10 чел.

- на 8 – 14 чел.

- на 9 – 10 чел.

Выводы:

1.      Почти все участники анкетирования считают, что современному человеку нужно хорошо знать таблицу умножения.

2.      Большинство наших одноклассников испытывали сложности при её запоминании.

3.      Основным способом запоминания таблицы умножения является «зубрёжка».

4.      Сложнее всего было выучить таблицу на 6 и 8.

2.2 Результаты письменной проверки знаний таблицы умножения.

Чтобы узнать, насколько хорошо ребята усвоили таблицу умножения, была проведена письменная проверка знаний.

Выполнили:

·     без ошибок – 19 чел.

Допустили:

·     1 – 3 ошибки – 4 чел.

·     4 – 6 ошибок – 2 чел.

·     7 – 10 ошибок – 2 чел.

Таким образом, глядя на результаты письменной проверки, можно сделать вывод, что метод «зубрёжки» не все могут его усвоить при заучивании таблицы умножения. Поэтому мы решили изучить различные способы запоминания таблицы умножения и познакомить их с одноклассниками. А также самостоятельно изготовить игры для лёгкого запоминания таблицы.

2.3 Секреты таблицы умножения

9

При виде таблицы умножения, этой большой сетки 10 на 10 с многочисленными числами становится не по себе при мысли, что её всю надо выучить наизусть. Существует ли единственно верный ответ на вопрос «Как правильно учить таблицу умножения?».

Таблица умножения (таблица Пифагора) - это своеобразный калькулятор, по которому можно легко научиться считать. Цифры из верхней строки умножаются на цифры из левого столбика, результатом умножения является число на их пересечении.

·         Маленькие хитрости.

Зная некоторые свойства, можно легко запомнить таблицу умножения.

1. Переместительное свойство умножения.

От перестановки множителей произведение не меняется.

5х4=20

4х5=20

2. Умножение на 0.

Все примеры на 0 равны 0.

3. Умножение на 1 и 10.

1х1 – это значит, нужно единицу взять один раз. Получим 1х1=1.

1х2 – это значит, нужно единицу взять два раза. Получим 1х2-2. И т.д.

Аналогично, для числа 10.

10х1 – это значит, нужно десятку взять один раз. Получим 10х1=10.

10х2 – это значит, нужно десятку взять два раза. Получим 10х2=20. И т.д.

4. Умножение на 2.

Умножить число на 2 – это значит удвоить, то есть сложить с самим собой: 5х2=5+5=10 или 9х2=9+9=18.

5.Умножение на 4.

Этот процесс связан с предыдущим, так как 4=2х2, а 8=4х2=2х2х2. Это значит, чтобы умножить число на 4, нужно сначала это число удвоить, а потом результат еще раз удвоить.

Например, 6х4=(6х2)х2=12х2=24

6. Умножение на 5.

Все примеры на 5 оканчиваются на 5 или 0.

Учитывая, что 10=5х2, легко умножать число сначала на 10, а потом делить

на 2.

Пример: 6х5=(6х10):2=30

Сначала посчитаем 6х10=60, а затем результат разделим на два: 60:2=30. Значит, 6х5=30.

10

7. Умножение на 9.

Здесь учитываем то, что 9=10-1.

Поэтому, чтобы умножить число на 9, достаточно к числу приписать справа 0 и вычесть само это число.

Пример: 8х9=80-8=72.

·         Можно выучить таблицу на пальцах.

Умножение на 6,7,8,9:

- Для этого руки положим на край стола.

- Пронумеруем мысленно пальцы на обеих руках от 5 до 9, начиная с большого пальца и заканчивая мизинцем.

- Умножим, например, 7 х 8. Сомкнём 7-ой и 8-ой пальцы .

- Нижние пальцы спустим со стола, в сумме они дадут нам десятки.

- Пальцы, находящиеся на столе, необходимы для получения единиц. Количество пальцев левой руки умножаем на количество пальцев правой руки и получаем единицы.

- При соединении десятков и единиц получаем ответ (Приложение 4)

Известен ещё один способ умножения на число 9 на пальцах.

Положите обе руки на стол и пронумеруйте пальцы (можно приложить на лист бумаги и подписать сверху). Как умножить 3 на 9, например? Загибаем на левой руке третий палец и смотрим, что получилось. Два пальца слева – это 2 десятка, 7 пальцев справа от загнутого – это 7 единиц. Итого – 27! (Приложение 4)

·         Литературный способ

Лучше усвоить таблицу умножения помогут стихи. Способ отлично подходит тем школьникам, которые их легко запоминают. Стихи можно придумывать самим или находить их в интернете.

Для запоминания таблицы умножения на 3 можно выучить стихи                  М. Казариной или А.Усачева (Приложение 5).

Например:3х2=6

Что трижды два равно ШЕСТИ,

Ответ в шпаргалке подглядим!

А трижды три, решим и сами,

Равно ШЕСТЕРКЕ ВВЕРХ НОГАМИ.

11

В стихах может не быть смысла, они могут быть какими угодно глупыми, их основная цель заключается в упрощении процесса запоминания.         

Например:

Сколько стоит апельсин?

Семь на три – двадцать один.

Устаем мы забывать,

Пятью девять — сорок пять.

Можно придумывать двустишия и четверостишия, основное условие- они не должны содержать сложных слов.

Вряд ли выучить наизусть все сто четверостиший проще, чем запомнить примеры, но в особо «безнадежных» случаях стихи могут пригодиться, даже просто картинка в книжке может помочь вспомнить нужные ответы.

Помогут разнообразить процесс заучивания таблицы также математические сказки (Приложение 6).

·         Музыкальный способ.

Для тех, кто любит петь, существует песенно-игровая методика обучения: поём и решаем.

• Игры

В Интернете мы искали способы умножения и наткнулись на игры, которые помогают повторить и запомнить.

Сегодня в детских магазинах можно найти множество игр, направленных на изучение таблицы умножения: карточки, плакаты, счетный материал, лото.

Ребятам нравится заниматься с такими пособиями, ведь это игра, но игра очень нужная, так они тренируют логическое мышление, память и внимание.

Мы самостоятельно создали несколько настольных игр и предложили их одноклассникам. (Приложение 7)

Компьютерные приложения и интерактивные игры (тренажеры)– хорошие помощники в запоминании таблицы умножения.

Многие из представленных здесь способов изучения и запоминания таблицы были предложены обучающимся 2 класса. Для того, чтобы понять, насколько эффективны были эти способы, мы провели контрольную проверку знаний таблицы умножения.

Выполнили:

·     без ошибок – 6 чел.

12

Допустили:

·     1 – 3 ошибки – 9 чел.

·     4 – 6 ошибок – 2 чел.

·     7 – 10 ошибок – 1 чел.

·     более 10 ошибок – 2 чел.

Таким образом, мы видим положительные результаты, доказывающие эффективность данных способов запоминания.

13

Заключение

Главным результатом своей работы я считаю, что таблица умножения является не просто перечислением произведений натуральных чисел, она обладает массой интереснейших свойств, которые мне очень хотелось бы рассмотреть.

В результате исследовательской работы я познакомилась с историей появления таблицы умножения. Я поняла, что без знания таблицы умножения учиться в школе невозможно. Знание таблицы умножения пригодится всем кто учится и работает.

В результате исследовательской работы можно сделать вывод:

·         Учить таблицу умножения, зная её хитрости и секреты, интересно и просто.

·         В ходе эксперимента были получены положительные результаты, доказывающие эффективность предложенных способов заучивания таблицы умножения.

Исходя из всего этого, можно смело сказать, что наша поставленная гипотеза доказана. И для каждого человека найдётся свой способ запоминания таблицы умножения, которые можно выучить весело и интересно, без зубрёжки.

14

Список литература

1. Г.И. Глейзер. История математики, М.: Просвещение, 1982. - 240 с.
2. Толковый математический словарь. Стр.137/Москва.1989г.
3. И. Я. Депман. История арифметики. Москва. 2007г.
4. Ф.Ф. Нагибин. Математическая шкатулка. Москва. 2003г.
5. В.Г. Мантуленко. Кроссворды для школьников/Математика. Ярославль.1998г.
6. В.В. Кривоногов. Нестандартные задания по математике. Москва.2002.
7. Интернет-ресурсы.

15

Скачано с www.znanio.ru