Конспект урока Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Заплани-

рованные этапы урока, время

Деятельность, запланированная на уроке

Ресурсы

Начало урока

Орг. момент.

Проверка домашнего задания.

Прежде чем дать определение нового вида дифференциального уравнения, разберем  подробно его название:

1)дифференциальное уравнение (по определению) обязательно содержит производные или дифференциалы искомой функции;

2)уравнение второго порядка содержит производную, наивысший порядок которой равен 2;

3)это – уравнение линейное относительно искомой функции, ее производных, т. е. содержит их в первой степени;

4) это – уравнение с постоянными коэффициентами; значит, коэффициенты при функции, ее производных  являются постоянными величинами.

Учитывая все это, можно сказать, что рассматриваемое уравнение содержит в первой степени и коэффициенты при них - постоянные величины.

Презентация

Середина урока

https://drive.google.com/file/d/1SpAuXqH38NmLBI6T8KP_uBqVQhuR2PID/view?usp=sharing

http://school-collection.edu.ru/catalog/res/3208b518-f002-4c6a-a8ce-210e81e71261/view/

Определение: Линейным  однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида 

где  - постоянные величины. 

Формула (А) может быть записана и так:

                                    (B)

Для отыскания общего решения данного уравнения составляется характеристическое уравнение:

Это уравнение получается  из первоначального уравнения путем замены производных искомой функции, соответствующими степенями и сама функция заменяется единицей. Тогда общее решение дифференциального уравнения строится в зависимости от характера корней:

 Возможны три случая:

 I случай: и - действительные корни и различные, тогда общее решение примет вид:

                                                  (1)

 II случай:-действительные и равные, тогда общее решение

примет вид:

                                                                         (2)

III случай: и - комплексные числа, а именно  тогда общее решение имеет вид:

             (3)

                  Решение задач.

Найти общее решение следующих дифференциальных уравнений.

Пример 1. 

(Решаю и объясняю,  потом на экране высвечивается полное оформление)

 Решение:

Составим характеристическое уравнение:

Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(1), имеет вид:

  Ответ: 

 Пример 2.   

(Студент вычисляет корни характеристического уравнения, сообща приходим к общему решению)

 Решение:

Составим характеристическое уравнение:

Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(2), имеет вид:

   Ответ: 

Пример 3.   .

(Решаю и объясняю,)

 Решение:

Составим характеристическое уравнение:

Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(3), имеет вид:

Ответ: 

Пример 4 . 

Решение:

Составим характеристическое уравнение:

Это третий случай, где

Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(3), имеет вид:

Ответ:

Пример5.Найти частное решение дифференциального уравнения , если у(0)=1 и .

Решение:

Составим характеристическое уравнение:

Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(2), имеет вид:

Так как заданы начальные условия, то:

 Чтобы найти значение , дифференцируем общее решение.

Таким образом, искомое частное решение имеет вид

Ответ:

Ссылка 1, 2

Презентация к уроку.

Закрепление.

Тест  

1.Термин «дифференциальное уравнение» ввел:

А) Г. Лейбниц(17 век);

Б) Ж.Лагранж(18 век);

В) П.Лаплас(18 век);

Г) Л.Эйлер(18век).

2. Определите порядок дифференциального уравнения:

А) первого порядка;

Б) второго порядка;

В) третьего порядка;

Г) четвертого поря

3. К какому типу относятся дифференциальные уравнения?

А) линейное дифференциальное уравнение первого порядка;

Б) уравнение Бернулли;

В) первого порядка с разделяющимися переменными

Г) неполное  уравнение второго порядка.

4.Вычислите производную функции: .

А)

Б)

В)

Г)

5.В каком из двух дифференциальных  уравнении можно найти частное решение:

1. при х=-2;

2.

А) в первом и во втором;

 Б) в первом;

 В) во втором;

 Г) нет правильного ответа.

Решить уравнения:

1)     

2)     

Презентация

Конец урока

Рефлексия

Слайд

Домашнее задание:

1.      Написать конспект.

2.      Ответить на вопросы теста.

3.      Решить уравнения:

Карточка-задание

№

Выполненное задание:

Баллы

1.       

Составить конспект.

20

2.       

Ответить на вопросы теста.

40

3.       

Решить уравнения.

40