Конспект урока по геометрии "Вписанная окружность", 8 класс

Урок  геометрии в 8 классе

Тема: "Вписанная окружность"

 

Учитель:  Шкрабак Е.А.

Тип урока: урок изучения нового материала

Цель урока:

- ввести понятие вписанная окружность

- рассмотреть доказательство теоремы о вписанной окружности

- закрепить новый материал на примере решения задач.

Задачи:

образовательные:

- сформировать умение применять теорему о вписанной окружности к решению задач;

- создать условия для введения понятий вписанной и описанной окружностей, сформулировать и доказать теорему об окружности, вписанной в треугольник.

 -  обеспечить усвоение обучающимися понятия вписанная окружность;

- сформировать умение применять теорему о вписанной окружности к решению задач.

Выполнить тест на проверку.

развивающие:

- развивать  умений учебно-познавательной деятельности,  умение анализировать, выделять главное  в изучаемом материале, обобщать  и систематизировать полученные знания;

- работать с чертежами, развивать  гибкость  мыслительных процессов,  развивать математическую речь.

- устанавливать связь изучаемого материала с жизнью, развивать познавательный интерес.

воспитательные:

- сформировать мотивацию учебной деятельности;

- воспитывать дисциплинированность, самостоятельность, аккуратность;

- сформировать значимое представление геометрии в жизни.

- воспитать   инициативность, самостоятельность, способность к творческой деятельности.

Планируемые образовательные  результаты:

предметные – знать определение и свойства вписанной окружности,

знать доказательство теоремы об окружности, вписанной в треугольник,

уметь применять полученные знания к решению задач;

метапредметные – уметь представлять конкретное содержание и сообщить его в письменной и устной форме, выделять и формулировать проблему, строить логические цепи рассуждений;

личностные – формирование положительного отношения к учению, формирование навыков работы по алгоритму, формирование навыков самоанализа и самоконтроля

Основные термины, понятия: окружность, касательная, вписанные и описанные фигуры, биссектриса, равноудаленная точка, перпендикуляр.

Оборудование ПК, проектор, электронная презентация, чертежные инструмент.

 

Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная, работа в парах.

Метод обучения: лекция, практические задания.

Учебник: Геометрия7-9, Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов  М.: «Просвещение».

 

План урока.

1.Организационный  момент. Формирование  темы урока.

2. Актуализация знаний.

3. Изучение нового материала.

4. Закрепление изученного материала.

5.Рефлексия. Подведение итогов урока.

5. Домашнее задание.

 

Ход урока.

1. Организационные  моменты. Формирование темы урока.

Здравствуйте, ребята! Для подготовки учащихся к восприятию нового материала предлагаю решить задачу  по готовому  чертежу:

 

Слайд 1.

        Задача 1

АВ-касательные , В и С – т. касания,

ÐВАС=56^о, ОС=4 см

Найти: ÐОАВ, ОВ.

Решают задачи в тетради и  один  ученик у доски

 

- Ответ : ÐОАВ=56^о:2= 28^о

                ОВ=ОС=4 см.

 

2. Актуализация знаний учащихся.

Повторить теоретический материал: окружность, касательная, вписанные и описанные фигуры, биссектриса, равноудаленная точка, перпендикуляр.

 

Продолжаем решать  задачу  по готовому  чертежу  (дать учащимся 2-3 минуты на обдумывание, а далее обсудить возможные варианты решений)   

Слайд 2.      Задача 2.

        

АВ,ВС,АС – касательные, ÐВОС=120^о, ÐАВО=25^о, ÐАОС=115^о

Найти углы ∆АОВ

- Ответ: ÐАОВ= 360^о-120^о-115^о=125^о,ÐВАО=180^о-25^о-125^о=30^о.

 

3. Изучение нового материала.

Вводим понятие окружности, вписанной в многоугольник.                       

Слайд 3.

На доске демонстрация чертежей (презентация, чертеж мелом, интерактивная доска).

Рассмотреть примеры на доске, ответить на вопросы :

-  в Задаче 2 (см. выше) какой будет являться окружность? (Вписанной)  

- Можно ли вписать окружность в многоугольник? (да)

- Как располагается окружность относительно сторон  многоугольника?

 (стороны многоугольника являются касательными к окружности)).

 

 

 

Слайд 4.     

 

Определение: Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.

- Откройте учебник на странице 181 и запишите определение вписанной в многоугольник окружности.

Слайд 5.

Как построить вписанную окружность в заданный треугольник?

Для этого необходимо знать теорему о вписанной  в треугольник

окружности и ее доказательство.

 

Теорема: В любой треугольник можно вписать окружность.

Вопрос: Как построить вписанную окружность в заданный треугольник? Для этого докажем теорему.

Слайд 6.

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство:

Рассмотрим произвольный треугольника АВС. Проведем биссектрисы углов ∆. Они пересекутся в точке О. Проведем из точки О перпендикуляры ОК, ОL и ОМ. Т.к. точка О равноудалена от сторон треугольника АВС, то ОК=ОМ=ОL.

Скажите, что из этого следует?

(ОК, ОМ и ОL являются радиусами окружности; треугольники АКО и АМО - прямоугольные, АО- общая сторона, углы КАО и МАО равны т.к. АО биссектриса)

Видим, что треугольники КАО и МАО равны, почему? Верно, окружность проходит через точки К, L, М, а стороны треугольника касаются окружности в этих точках (т.к. они перпендикулярны к радиусам ОК, ОL, ОМ). Значит окружность с центром в точке О является вписанной в треугольник АВС. Теорема доказана.

Слайд 7

Замечание 1.

В треугольник можно вписать только одну окружность.

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

Замечание 2.

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

Замечание 3.

Площадь треугольника равна произведению

 его полупериметра на радиус вписанной в

него окружности.

 

Теперь рассмотрим какими  свойствами обладает окружность, вписанная в треугольник.

4. Закрепление изученного материала.

- Закрепим полученные знания на примере решения задач:

Слайд 8.

Задача .

Окружность, вписанная в треугольник АВС,

 касается его сторон в точках Н, М, Т.

Найти периметр треугольника АВС,

если АМ =5м, СН = 3м, ВТ =6м.

Решаем самостоятельно. По окончанию решения разбираем задачу и записываем на доске.

Решение

-Отрезки касательных к  окружности, проведенные из одной точки, равны. Поэтому АТ=АМ=5м, СМ=СН=3м, ВН=ВТ=6м. Следовательно Р_АВС=АМ+МС+СН+ВН+АТ+ВТ= 2*(АМ+СМ+ВТ) =28м.

Ответ: 28 м.

 

у доски работает один ученик, остальные в тетрадях.

 

Слайд 9.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

Указание к задаче: в данной задаче радиус вписанной окружности лучше находить, используя формулу S=1/2 Pr. Сначала найдите площадь треугольника по формуле S=1/2 ha или по формуле Герона (стр. 130), найдите периметр треугольника и вычислите радиус r=S/(1/2 P) или r=2S/P.

Ответ: r=3 см.

Слайд 10.

 

 

Ученики решают самостоятельно (учитель контролирует работу учащихся, которым требуется помощь и консультирует остальных):

Решение: Т.к. АВ, ВС, АС- касательные, К, N, D- точки касания, то АК=АD, СD=CN, BK=BN.

Т.к. АВ=ВС, то СN=CD=3см, следовательно

Р_АВС= 3*4+4*2=20 см.

Ответ: Р=20 см

Оценивается решение задачи по критериям:

Слайд 11.

«5»- задача решена правильно, имеется чертеж, в логических рассуждениях и  обоснованиях нет пробелов и ошибок, нет ошибок в математических расчетах.

«4» - задача решена правильно, но допущено 1-2 негрубые ошибки.

«3»- допущено1 грубая и 3-4 негрубые ошибки

«2» - допущено 2 и более грубых ошибок.

 

Итог урока: После решения задач учитель задает классу вопросы (участвует весь класс).

Пройти интерактивный тест :

Слайд 11.

Вопросы:

1)    Периметр треугольника равен 36, а радиус вписанной окружности равен 7. Найдите площадь этого треугольника. (Ответ: 126)

2)    Площадь треугольника равна 132, а радиус вписанной окружности равен 6. Найдите периметр этого треугольника. (Ответ: 44)

3)    Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 13, основание равно 24. Найдите радиус вписанной окружности. (Ответ: 2,4)

 

Мы отлично поработали.

1)    Подведем итоги, что нового мы узнали на уроке?

(что такое вписанная окружность, доказали теорему, свойства вписанной окружности)

2)     Чему научились на уроке? (применять новые знания к решению задач)

      Учитель выставляет и комментирует оценки за урок.

Рефлексия

 

5. Домашнее задание:  № 690, № 693, п.77 (читать)