Конспект урока Угол между векторами. Скалярное произведение векторов

  • docx
  • 04.06.2021
Публикация в СМИ для учителей

Публикация в СМИ для учителей

Бесплатное участие. Свидетельство СМИ сразу.
Мгновенные 10 документов в портфолио.

Иконка файла материала Урок 139-140 Скалярное произведение векторов.docx

КГУ «Индустриально-технологический колледж»

Поурочный план № 139-140

(для организаций технического и профессионального, послесреднего образования)

Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.

 (тема занятия)

Наименование дисциплины: Математика
Подготовил педагог: Тихоненко С.А.
Дата урока: 12.04.2021 года

 

1. Общие сведения

1.1 Курс, группы: первый, 9СЛ20, 9МК20, 9ОП20

1.2 Тип занятия: комбинированный/ дистанционный

1.3 Межпредметные связи: физика, черчение.

 

2. Цели, задачи:

Образовательная – ввести понятие угла между векторами, ввести понятие “скалярное произведение векторов”, его свойств и формировать умение применять скалярное произведение векторов при решении геометрических задач;

Развивающая – способствовать формированию умения определять угол между векторами, научить применять формулу для нахождения скалярного произведения векторов, способствовать развитию математического кругозора и логического мышления;

Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к теме “векторы”, воспитывать чувство коллективизма, самоконтроля, ответственности.

2.2  Результаты обучения:

1) Усвоить определение вектора и действий с векторами в пространстве.

2.3 Критерии оценки:

1) Находит скалярное произведение векторов.

3. Оснащение занятия

3.1 Учебно-методическое оснащение: дидактические материалы, справочно-инструктивные таблицы, карточки с заданиями, оценочные листы.

Справочная литература: А.Е.Әбылқасымова, В.Е. Корчевский, З.Ә. Жумагулова,  Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 классов  естественно- математического направления обшеобразовательных школ.1-2 часть.  Алматы: Мектеп, 2019г.

 3.2 Техническое оснащение, материалы, ИКТ: мультимедийный проектор, ноутбук, экран.

 

 

    4. Ход занятия

 

Заплани-

рованные этапы урока, время

Деятельность, запланированная на уроке

 

Ресурсы

 

 

Начало урока

Орг. момент.

 

 

Проверка домашнего задания.

Вопросы для повторения

Повторение

1.                 Вектор – направленный отрезок, имеющий начало и конец.

2.                 Нулевой вектор – вектор, начало и конец которого совпадают.

3.         Длина вектора  – длина отрезка AB.

4.                 Длина нулевого вектора – ноль.

5.                 Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой.

6.                 Сонаправленные векторы – коллинеарные векторы, направленные в одну сторону.

7.                 Противоположно направленные векторы – коллинеарные векторы, направленные в разные стороны.

8.                 Если . Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть координаты начала.

9.         Если

10.             Если

11.             Векторы можно складывать, вычитать, умножать на число. В результате этих действий получим вектор.

12.             Складывать векторы мы можем по правилу треугольника и параллелограмма.

13.             При умножении вектора на число, получаем вектор коллинеарный исходному.

 

Презентация

 

Середина урока

https://drive.google.com/file/d/1SpAuXqH38NmLBI6T8KP_uBqVQhuR2PID/view?usp=sharing

 

http://school-collection.edu.ru/catalog/res/3208b518-f002-4c6a-a8ce-210e81e71261/view/

 

Скалярное произведение векторов

Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Формула вычисления скалярного произведения векторов по определению: https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5723/20190417115102/OEBPS/objects/c_geom_11_2_1/9e2014e4-7c05-477c-ab57-6970fa2ae6e8.png

Формула вычисления скалярного произведения векторов через координаты: https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5723/20190417115102/OEBPS/objects/c_geom_11_2_1/3f66d75d-1de9-4f63-bb22-862b4c86e5a6.png

Угол между векторами

Если векторы не являются сонаправленными, то лучи ОА и ОB образуют угол АОВ.

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5723/20190417115102/OEBPS/objects/c_geom_11_2_1/2aaad6a2-e73d-46d7-a9a8-8c3178e6ae91.gifhttps://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5723/20190417115102/OEBPS/objects/c_geom_11_2_1/6d9a587d-06e5-493b-a569-36422c57a058.gif

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5723/20190417115102/OEBPS/objects/c_geom_11_2_1/87871d56-52f2-47cb-b159-8c8836ebffb1.gif

Определение: Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Скалярное произведение векторов:

Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Запишем формулу:

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5723/20190417115102/OEBPS/objects/c_geom_11_2_1/f158cba2-9f52-434d-b441-cf69a461f4c7.gif

Доказательство утверждений:

Утверждение1. Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Утверждение2. Скалярный квадрат вектора https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5723/20190417115102/OEBPS/objects/c_geom_11_2_1/636b4350-7f17-45bb-9976-6e21050fae60.jpeg равен квадрату его длины. https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5723/20190417115102/OEBPS/objects/c_geom_11_2_1/63be352e-14d3-47e4-946b-5570b8f66876.jpeg

Формула скалярного произведения двух векторов https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5723/20190417115102/OEBPS/objects/c_geom_11_2_1/7de6ead2-8b47-49e6-b610-b9730ff317f9.jpeg и https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5723/20190417115102/OEBPS/objects/c_geom_11_2_1/4d6c5456-690b-4275-b3b8-ec3443995af7.jpeg

Через их координаты https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5723/20190417115102/OEBPS/objects/c_geom_11_2_1/3b42c0ec-8207-494b-bb6d-0ba250e04c7b.jpeg

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

 https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5723/20190417115102/OEBPS/objects/c_geom_11_2_1/7ff340aa-d5ee-4efc-a300-2c1bf69f78df.pnghttps://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5723/20190417115102/OEBPS/objects/c_geom_11_2_1/4d56727a-6990-459b-868e-00757a8c939f.jpeg

Угол между векторами.

Косинус угла между векторами пространства https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5723/20190417115102/OEBPS/objects/c_geom_11_2_1/97efa2e8-893d-436c-b346-2589b9d5efb0.gif , заданными в ортонормированном базисе https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5723/20190417115102/OEBPS/objects/c_geom_11_2_1/8cadf6dd-05e6-483a-bf33-d3a34cd92beb.gif , выражается формулой
https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5723/20190417115102/OEBPS/objects/c_geom_11_2_1/e1c31e6a-f8d4-43ee-b4ab-c291f4cc472b.gif

Сформулируем основные свойства скалярного произведения векторов.

Для любых векторов https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5723/20190417115102/OEBPS/objects/c_geom_11_2_1/93645260-c9de-4b1b-952b-da3299448618.jpeg и любого числа k справедливы равенства:

1) https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5723/20190417115102/OEBPS/objects/c_geom_11_2_1/f33320dd-1e4f-4935-8926-2083a13ff4b7.jpeg причем https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5723/20190417115102/OEBPS/objects/c_geom_11_2_1/d90ab68c-5367-4087-b6b9-944faaac6327.jpeg при https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5723/20190417115102/OEBPS/objects/c_geom_11_2_1/eacfe8ff-91fb-4d4b-90c9-20263c0f1f07.jpeg

2) https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5723/20190417115102/OEBPS/objects/c_geom_11_2_1/2676adce-7eb4-4f16-b12b-90acfe2fcca5.jpeg  (переместительный закон).

3) https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5723/20190417115102/OEBPS/objects/c_geom_11_2_1/5bbae2cb-5478-4010-b55e-ae2c97f6c065.jpeg  (распределительный закон).

4) https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5723/20190417115102/OEBPS/objects/c_geom_11_2_1/70064240-6184-4b6f-9469-69883d1885a7.jpeg (сочетательный закон).

Вычисление углов между прямыми и плоскостями.

Угол между двумя прямыми (пересекающимися или скрещивающимися), если известны координаты направляющих векторов.

https://resh.edu.ru/uploads/lesson_extract/5723/20190417115102/OEBPS/objects/c_geom_11_2_1/9bff92e3-ff60-4762-9413-22aec8bc4b44.jpeg

1)       

Ссылка 1, 2

Презентация к уроку.

 

Закрепление.

2)      Решение задач.

 

1.       

Дано:

,

α=60°

Найти:

Решение:

Ответ: 6

2.       

Дано:

,

α=135°

Найти:

1)  

2)  

Ответ: -14

3.       

Дано:

α=9

Найти:

1)  

2)  

3)   .

: 0

 

 

1)      Вывод:

№ задачи

Величина угла

Скалярное произведение

1

60° острый

6>0 положительно

2

135° тупой

-14<0 отрицательно

3

90° прямой

0=0 равно нулю

·         Если угол между векторами острый, то скалярное произведение положительно;

·         Если угол между векторами тупой, то скалярное произведение отрицательно;

·         Если угол между векторами прямой, то скалярное произведение равно нулю.

 

Решение задач (продолжение):

4.       

Дано:

,

α=30°

Найти:

Решение:

Ответ:

5.       

Дано:

,

α=180°

Найти:

1)  

2)  

Ответ:

6.       

Дано:

Найти:

1)  

 

2)   .

: 100

 

 

1)      Свойства скалярного произведения.

1.      Скалярное произведение ненулевого вектора на себя – число положительное; скалярное произведение нулевого вектора на себя – ноль;

Подпись преподавателя________________________


Скачано с www.znanio.ru