Контрольная работа по тригонометрии с разбором заданий

Разбор заданий контрольной работы

Основная часть

Вычислить 2arcsin⁡(− 3 2 3 3 3 3 3 2 2 3 2 )+arccos⁡( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 )

Решение:
2arcsin⁡(− 3 2 3 3 3 3 3 2 2 3 2 )+arccos⁡( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 )=−2𝑎𝑎𝑟𝑟𝑐𝑐𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 3 2 3 3 3 3 3 2 2 3 2 + 𝜋 4 𝜋𝜋 𝜋 4 4 𝜋 4 =−2∗ 𝜋 3 𝜋𝜋 𝜋 3 3 𝜋 3 + 𝜋 4 𝜋𝜋 𝜋 4 4 𝜋 4 = −8𝜋+3𝜋 12 −8𝜋𝜋+3𝜋𝜋 −8𝜋+3𝜋 12 12 −8𝜋+3𝜋 12 =− 5𝜋 12 5𝜋𝜋 5𝜋 12 12 5𝜋 12

Необходимые знания:
arcsin −𝑎 arcsin arcsin −𝑎 −𝑎 −𝑎𝑎 −𝑎 arcsin −𝑎 =−𝑎𝑎𝑟𝑟𝑐𝑐𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝑎𝑎
arccos −𝑎 arccos arccos −𝑎 −𝑎 −𝑎𝑎 −𝑎 arccos −𝑎 =𝜋𝜋−𝑎𝑎𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝑎𝑎
arctg −𝑎 arctg arctg −𝑎 −𝑎 −𝑎𝑎 −𝑎 arctg −𝑎 =− arctg 𝑎 arctg arctg 𝑎 𝑎𝑎 arctg 𝑎
arcctg −𝑎 arcctg arcctg −𝑎 −𝑎 −𝑎𝑎 −𝑎 arcctg −𝑎 =𝜋𝜋−𝑎𝑎𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡𝑔𝑔𝑎𝑎
𝑎𝑎𝑟𝑟𝑐𝑐𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝑎𝑎=𝑡𝑡, если 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝑡𝑡=𝑎𝑎;−1≤ 𝑎𝑎≤1; − 𝜋 2 𝜋𝜋 𝜋 2 2 𝜋 2 ≤𝑡𝑡≤ 𝜋 2 𝜋𝜋 𝜋 2 2 𝜋 2
𝑎𝑎𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝑎𝑎=𝑡𝑡, если 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝑡𝑡=𝑎𝑎;−1≤ 𝑎𝑎≤1; 0≤𝑡𝑡≤𝜋𝜋
𝑎𝑎𝑟𝑟𝑐𝑐𝑡𝑡𝑔𝑔𝑎𝑎=𝑡𝑡, если 𝑡𝑡𝑔𝑔𝑡𝑡=𝑎𝑎;𝑎𝑎∈𝑅𝑅; − 𝜋 2 𝜋𝜋 𝜋 2 2 𝜋 2 <𝑡𝑡< 𝜋 2 𝜋𝜋 𝜋 2 2 𝜋 2
𝑎𝑎𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡𝑔𝑔𝑎𝑎=𝑡𝑡, если 𝑐𝑐𝑡𝑡𝑔𝑔𝑡𝑡=𝑎𝑎;𝑎𝑎∈𝑅𝑅; 0<𝑡𝑡<𝜋𝜋

Упростить tg 𝑥− 𝜋 4 tg tg 𝑥− 𝜋 4 𝑥− 𝜋 4 𝑥𝑥− 𝜋 4 𝜋𝜋 𝜋 4 4 𝜋 4 𝑥− 𝜋 4 tg 𝑥− 𝜋 4 − tg 𝑥+ 𝜋 4 tg tg 𝑥+ 𝜋 4 𝑥+ 𝜋 4 𝑥𝑥+ 𝜋 4 𝜋𝜋 𝜋 4 4 𝜋 4 𝑥+ 𝜋 4 tg 𝑥+ 𝜋 4 Решение:  tg 𝑥− 𝜋 4 tg tg 𝑥− 𝜋 4 𝑥− 𝜋 4 𝑥𝑥− 𝜋 4 𝜋𝜋 𝜋 4 4 𝜋 4 𝑥− 𝜋 4 tg 𝑥− 𝜋 4 − tg 𝑥+ 𝜋 4 = 𝑡𝑔𝑥−𝑡𝑔 𝜋 4 1+𝑡𝑔𝑥𝑡𝑔 𝜋 4 − 𝑡𝑔𝑥+𝑡𝑔 𝜋 4 1−𝑡𝑔𝑥𝑡𝑔 𝜋 4 = 𝑡𝑔𝑥−1 1+𝑡𝑔𝑥 − 𝑡𝑔𝑥+1 1−𝑡𝑔𝑥 tg tg 𝑥+ 𝜋 4 = 𝑡𝑔𝑥−𝑡𝑔 𝜋 4 1+𝑡𝑔𝑥𝑡𝑔 𝜋 4 − 𝑡𝑔𝑥+𝑡𝑔 𝜋 4 1−𝑡𝑔𝑥𝑡𝑔 𝜋 4 = 𝑡𝑔𝑥−1 1+𝑡𝑔𝑥 − 𝑡𝑔𝑥+1 1−𝑡𝑔𝑥 𝑥+ 𝜋 4 𝑥𝑥+ 𝜋 4 𝜋𝜋 𝜋 4 4 𝜋 4 𝑥+ 𝜋 4 = 𝑡𝑔𝑥−𝑡𝑔 𝜋 4 1+𝑡𝑔𝑥𝑡𝑔 𝜋 4 𝑡𝑡𝑔𝑔𝑥𝑥−𝑡𝑡𝑔𝑔 𝜋 4 𝜋𝜋 𝜋 4 4 𝜋 4 𝑡𝑔𝑥−𝑡𝑔 𝜋 4 1+𝑡𝑔𝑥𝑡𝑔 𝜋 4 1+𝑡𝑡𝑔𝑔𝑥𝑥𝑡𝑡𝑔𝑔 𝜋 4 𝜋𝜋 𝜋 4 4 𝜋 4 𝑡𝑔𝑥−𝑡𝑔 𝜋 4 1+𝑡𝑔𝑥𝑡𝑔 𝜋 4 − 𝑡𝑔𝑥+𝑡𝑔 𝜋 4 1−𝑡𝑔𝑥𝑡𝑔 𝜋 4 𝑡𝑡𝑔𝑔𝑥𝑥+𝑡𝑡𝑔𝑔 𝜋 4 𝜋𝜋 𝜋 4 4 𝜋 4 𝑡𝑔𝑥+𝑡𝑔 𝜋 4 1−𝑡𝑔𝑥𝑡𝑔 𝜋 4 1−𝑡𝑡𝑔𝑔𝑥𝑥𝑡𝑡𝑔𝑔 𝜋 4 𝜋𝜋 𝜋 4 4 𝜋 4 𝑡𝑔𝑥+𝑡𝑔 𝜋 4 1−𝑡𝑔𝑥𝑡𝑔 𝜋 4 = 𝑡𝑔𝑥−1 1+𝑡𝑔𝑥 𝑡𝑡𝑔𝑔𝑥𝑥−1 𝑡𝑔𝑥−1 1+𝑡𝑔𝑥 1+𝑡𝑡𝑔𝑔𝑥𝑥 𝑡𝑔𝑥−1 1+𝑡𝑔𝑥 − 𝑡𝑔𝑥+1 1−𝑡𝑔𝑥 𝑡𝑡𝑔𝑔𝑥𝑥+1 𝑡𝑔𝑥+1 1−𝑡𝑔𝑥 1−𝑡𝑡𝑔𝑔𝑥𝑥 𝑡𝑔𝑥+1 1−𝑡𝑔𝑥 tg 𝑥+ 𝜋 4 = 𝑡𝑔𝑥−𝑡𝑔 𝜋 4 1+𝑡𝑔𝑥𝑡𝑔 𝜋 4 − 𝑡𝑔𝑥+𝑡𝑔 𝜋 4 1−𝑡𝑔𝑥𝑡𝑔 𝜋 4 = 𝑡𝑔𝑥−1 1+𝑡𝑔𝑥 − 𝑡𝑔𝑥+1 1−𝑡𝑔𝑥 Приведем к общему знаменателю (𝑡𝑔𝑥−1)(1−𝑡𝑔𝑥) (1+𝑡𝑔𝑥)(1−𝑡𝑔𝑥) (𝑡𝑡𝑔𝑔𝑥𝑥−1)(1−𝑡𝑡𝑔𝑔𝑥𝑥) (𝑡𝑔𝑥−1)(1−𝑡𝑔𝑥) (1+𝑡𝑔𝑥)(1−𝑡𝑔𝑥) (1+𝑡𝑡𝑔𝑔𝑥𝑥)(1−𝑡𝑡𝑔𝑔𝑥𝑥) (𝑡𝑔𝑥−1)(1−𝑡𝑔𝑥) (1+𝑡𝑔𝑥)(1−𝑡𝑔𝑥) − 𝑡𝑔𝑥+1 2 1+𝑡𝑔𝑥 1−𝑡𝑔𝑥 𝑡𝑔𝑥+1 2 𝑡𝑔𝑥+1 𝑡𝑡𝑔𝑔𝑥𝑥+1 𝑡𝑔𝑥+1 𝑡𝑔𝑥+1 2 2 𝑡𝑔𝑥+1 2 𝑡𝑔𝑥+1 2 1+𝑡𝑔𝑥 1−𝑡𝑔𝑥 1+𝑡𝑔𝑥 1+𝑡𝑡𝑔𝑔𝑥𝑥 1+𝑡𝑔𝑥 1−𝑡𝑔𝑥 1−𝑡𝑡𝑔𝑔𝑥𝑥 1−𝑡𝑔𝑥 𝑡𝑔𝑥+1 2 1+𝑡𝑔𝑥 1−𝑡𝑔𝑥 = 𝑡𝑔𝑥− 𝑡𝑔 2 𝑥−1+𝑡𝑔𝑥− 𝑡𝑔 2 𝑥+2𝑡𝑔𝑥+1 1− 𝑡𝑔 2 𝑥 𝑡𝑡𝑔𝑔𝑥𝑥− 𝑡𝑔 2 𝑡𝑡𝑔𝑔 𝑡𝑔 2 2 𝑡𝑔 2 𝑥𝑥−1+𝑡𝑡𝑔𝑔𝑥𝑥− 𝑡𝑔 2 𝑥+2𝑡𝑔𝑥+1 𝑡𝑔 2 𝑡𝑡𝑔𝑔 𝑡𝑔 2 2 𝑡𝑔 2 𝑥𝑥+2𝑡𝑡𝑔𝑔𝑥𝑥+1 𝑡𝑔 2 𝑥+2𝑡𝑔𝑥+1 𝑡𝑔𝑥− 𝑡𝑔 2 𝑥−1+𝑡𝑔𝑥− 𝑡𝑔 2 𝑥+2𝑡𝑔𝑥+1 1− 𝑡𝑔 2 𝑥 1− 𝑡𝑔 2 𝑡𝑡𝑔𝑔 𝑡𝑔 2 2 𝑡𝑔 2 𝑥𝑥 𝑡𝑔𝑥− 𝑡𝑔 2 𝑥−1+𝑡𝑔𝑥− 𝑡𝑔 2 𝑥+2𝑡𝑔𝑥+1 1− 𝑡𝑔 2 𝑥 = −2 𝑡𝑔 2 𝑥−2 1− 𝑡𝑔 2 𝑥 −2 𝑡𝑔 2 𝑡𝑡𝑔𝑔 𝑡𝑔 2 2 𝑡𝑔 2 𝑥𝑥−2 −2 𝑡𝑔 2 𝑥−2 1− 𝑡𝑔 2 𝑥 1− 𝑡𝑔 2 𝑡𝑡𝑔𝑔 𝑡𝑔 2 2 𝑡𝑔 2 𝑥𝑥 −2 𝑡𝑔 2 𝑥−2 1− 𝑡𝑔 2 𝑥 = −2( 𝑡𝑔 2 𝑥+1) 1− 𝑡𝑔 2 𝑥 −2( 𝑡𝑔 2 𝑡𝑡𝑔𝑔 𝑡𝑔 2 2 𝑡𝑔 2 𝑥𝑥+1) −2( 𝑡𝑔 2 𝑥+1) 1− 𝑡𝑔 2 𝑥 1− 𝑡𝑔 2 𝑡𝑡𝑔𝑔 𝑡𝑔 2 2 𝑡𝑔 2 𝑥𝑥 −2( 𝑡𝑔 2 𝑥+1) 1− 𝑡𝑔 2 𝑥 = −2( 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 ) 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 −2( 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 2 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 ) −2( 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 ) 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 2 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 −2( 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 ) 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = −2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 −2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 −2 −2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑥 −2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 −2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠2𝑥𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 −2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = −2 𝑐𝑜𝑠2𝑥 −2 −2 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠2𝑥𝑥 −2 𝑐𝑜𝑠2𝑥

Необходимые знания: формулы tg 𝑥±𝑦 tg tg 𝑥±𝑦 𝑥±𝑦 𝑥𝑥±𝑦𝑦 𝑥±𝑦 tg 𝑥±𝑦 , sin 𝑥±𝑦 sin sin 𝑥±𝑦 𝑥±𝑦 𝑥𝑥±𝑦𝑦 𝑥±𝑦 sin 𝑥±𝑦 , 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠2𝑥𝑥, 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛2𝑥𝑥
Основные тригонометрические тождества, представления 1 в различном виде,
значения 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝑥𝑥, 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝑥𝑥, 𝑡𝑡𝑔𝑔𝑥𝑥, 𝑐𝑐𝑡𝑡𝑔𝑔𝑥𝑥 для различных углов

Вычислить 2𝑡𝑡𝑔𝑔𝑥𝑥, если sin 𝑥=− 15 17 sin sin 𝑥=− 15 17 𝑥𝑥=− 15 17 15 15 17 17 15 17 sin 𝑥=− 15 17 ;𝑥𝑥∈(𝜋𝜋; 3𝜋 2 3𝜋𝜋 3𝜋 2 2 3𝜋 2 )

Воспользуемся тождеством 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑥+ 𝑠𝑖𝑛 2 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 2 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥𝑥=1
𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝑥𝑥=± 1− 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 1− 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 1− 𝑠𝑖𝑛 2 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 2 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥𝑥 1− 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥
так как 𝑥𝑥∈ 𝜋; 3𝜋 2 𝜋𝜋; 3𝜋 2 3𝜋𝜋 3𝜋 2 2 3𝜋 2 𝜋; 3𝜋 2 , 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 четверть, то 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝑥𝑥<0
𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝑥𝑥=− 1− 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 1− 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 1− 𝑠𝑖𝑛 2 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 2 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥𝑥 1− 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 =− 1−(− 15 17 ) 2 1−(− 15 17 ) 2 1−(− 15 17 ) 2 15 17 15 15 17 17 15 17 ) 15 17 ) 2 2 15 17 ) 2 1−(− 15 17 ) 2 =− 289 289 − 225 289 289 289 − 225 289 289 289 289 289 289 289 289 289 − 225 289 225 225 289 289 225 289 289 289 − 225 289 =− 64 289 64 289 64 289 64 64 289 289 64 289 64 289 =− 8 17 8 8 17 17 8 17
𝑡𝑡𝑔𝑔𝑥𝑥= 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝑥𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 =− 15 17 15 15 17 17 15 17 : − 8 17 − 8 17 8 8 17 17 8 17 − 8 17 = 15 8 15 15 8 8 15 8
2𝑡𝑔𝑥= 15 4 =3,75

Необходимые знания: основное тригонометрическое тождество, знаки тригонометрических функций в четвертях, могут понадобиться различные формулы в зависимости от сложности задания.

Решить уравнение 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑥+ 𝑠𝑖𝑛 2 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 2 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥𝑥=1 Решение: В таких уравнениях чаще всего можно представить 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑥 через 𝑠𝑖𝑛 2 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 2 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥𝑥, 𝑠𝑖𝑛 2 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 2 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥𝑥 через 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑥 или представить 1 через основное тригонометрическое тождество.2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑥+ 𝑠𝑖𝑛 2 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 2 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥𝑥= 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑥+ 𝑠𝑖𝑛 2 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 2 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑥=0𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝑥𝑥=0 (частный случай)𝑥𝑥= 𝜋 2 𝜋𝜋 𝜋 2 2 𝜋 2 +𝜋𝜋𝑘𝑘, 𝑘𝑘∈𝑍𝑍

Необходимые знания: взаимосвязь синуса и косинуса, частные случаи в решении простейших тригонометрических уравнений

Решить уравнение 4 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑥−4 sin 𝑥− 3𝜋 2 sin sin 𝑥− 3𝜋 2 𝑥− 3𝜋 2 𝑥𝑥− 3𝜋 2 3𝜋𝜋 3𝜋 2 2 3𝜋 2 𝑥− 3𝜋 2 sin 𝑥− 3𝜋 2 +1=0Решение: применим формулу приведенияУгол находится во II четверти, sin 𝛼>0 sin sin 𝛼>0 𝛼𝛼>0 sin 𝛼>0 Т.к. выражается через 3𝜋 2 3𝜋𝜋 3𝜋 2 2 3𝜋 2 , то sin 𝛼→ cos 𝛼 sin sin 𝛼→ cos 𝛼 𝛼𝛼→ cos 𝛼 cos cos 𝛼 𝛼𝛼 cos 𝛼 sin 𝛼→ cos 𝛼 4 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑥−4𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝑥𝑥+1=0 (2𝑐𝑜𝑠𝑥−1) 2 (2𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝑥𝑥−1) (2𝑐𝑜𝑠𝑥−1) 2 2 (2𝑐𝑜𝑠𝑥−1) 2 =02𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝑥𝑥−1=02𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝑥𝑥=1𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝑥𝑥= 1 2 1 1 2 2 1 2 𝑥𝑥=± 𝜋 3 𝜋𝜋 𝜋 3 3 𝜋 3 +2𝜋𝜋𝑘𝑘, 𝑘𝑘∈𝑍𝑍

Необходимые знания: формулы приведения, формулы решения простейших тригонометрических уравнений

Докажите тождество 2𝑠𝑖𝑛𝑥−2𝑠𝑖𝑛2𝑥 2𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑠𝑖𝑛2𝑥 2𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝑥𝑥−2𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛2𝑥𝑥 2𝑠𝑖𝑛𝑥−2𝑠𝑖𝑛2𝑥 2𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑠𝑖𝑛2𝑥 2𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝑥𝑥+𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛2𝑥𝑥 2𝑠𝑖𝑛𝑥−2𝑠𝑖𝑛2𝑥 2𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 𝑡𝑔 2 𝑡𝑡𝑔𝑔 𝑡𝑔 2 2 𝑡𝑔 2 𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥 2 2 𝑥 2 Решение:

Что и требовалось доказать.

Необходимые знания: формулы двойного аргумента, формулы понижения степени

Вычислить 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛3𝑥𝑥+𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝑥𝑥, если 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝑥𝑥= 4 5 4 4 5 5 4 5 , x∈ 0; 𝜋 2 0; 𝜋 2 𝜋𝜋 𝜋 2 2 𝜋 2 0; 𝜋 2 Решение:*Заметка от автора: в этом задании можно применить формулу тройного аргумента, если не помните формулу суммы синусов, но в заданиях вида 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛5𝑥𝑥+𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝑥𝑥 это станет сверхтяжелой задачей, поэтому:Применим формулу суммы синусов

Найдем 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝑥𝑥

𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝑥𝑥=± 1− 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 1− 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 1− 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑥 1− 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
так как 𝑥𝑥∈ 0; 𝜋 2 0; 𝜋 2 𝜋𝜋 𝜋 2 2 𝜋 2 0; 𝜋 2 , 𝐼𝐼 четверть, то 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝑥𝑥>0
𝑠𝑖𝑛𝑥= 1− 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1−( 4 5 ) 2 = 25 25 − 16 25 = 9 25 = 3 5

Значит, 4𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝑥𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑥=4× 3 5 3 3 5 5 3 5 × ( 4 5 ) 2 ( 4 5 4 4 5 5 4 5 ) ( 4 5 ) 2 2 ( 4 5 ) 2 =1,536

Необходимые знания: формулы 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝛼𝛼±𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝛽𝛽;𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝛼𝛼±𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝛽𝛽
для более сложных заданий нужно уметь оценить получающуюся полусумму для правильной группировки слагаемых (задания вида 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛2𝑥𝑥+𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛4𝑥𝑥+𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛6𝑥𝑥+𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛8𝑥𝑥)

Решить уравнение 3 3 3 3 𝑠𝑖𝑛 2 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 2 2 𝑠𝑖𝑛 2 2𝑥𝑥−2𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛4𝑥𝑥+ 3 3 3 3 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥𝑥=0

Решение:*Заметка от автора: конечно же можно увидеть, что есть аргументы 2х и 4х, а значит есть возможность применить формулу двойного аргумента и наше уравнение примет вид 𝑎𝑎 𝑠𝑖𝑛 2 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑠𝑖𝑛 2 2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥𝑥+𝑏𝑏𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝑥𝑥𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝑥𝑥+𝑐𝑐 𝑐𝑜𝑠 2 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 𝑐𝑜𝑠 2 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑥=0. Это однородное тригонометрическое уравнение II степени, такие уравнения решаются делением на 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙𝒙, ведь в данном случае он не будет равен нулю. Однако здесь лучше заметить, что коэффициенты перед квадратами косинуса и синуса одинаковы, а значит:

𝑥𝑥= 𝜋 12 𝜋𝜋 𝜋 12 12 𝜋 12 + 𝜋 2 𝜋𝜋 𝜋 2 2 𝜋 2 𝑘𝑘, 𝑘𝑘∈Z

𝑥𝑥= 𝜋 6 𝜋𝜋 𝜋 6 6 𝜋 6 + 𝜋 2 𝜋𝜋 𝜋 2 2 𝜋 2 𝑘𝑘, 𝑘𝑘∈Z

Необходимые знания: методы решения тригонометрических уравнений (в частности, однородных), формулы двойного аргумента, основное тригонометрическое тождество

Решить уравнение 3 3 3 3 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛2𝑥𝑥+𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠2𝑥𝑥= 3 3 3 3

Решение:*Заметка от автора: помним, что 𝑎𝑎𝑠𝑠𝑖𝑖𝑛𝑛𝑥𝑥+𝑏𝑏𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝑥𝑥=0 – однородное уравнение I степени и решается при помощи деления на 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝑥𝑥, он не будет равен нулю, поэтому ничего страшного не случится. НО! В данном случае у нас уравнение вида 𝒂𝒂𝒔𝒔𝒊𝒊𝒏𝒏𝒙𝒙+𝒃𝒃𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒙𝒙=𝒄𝒄
Такие уравнение решаются при помощи метода введения вспомогательного аргумента или универсальной тригонометрической подстановкой.
Применим метод введения вспомогательного аргумента.
Поделим обе части уравнения на 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 𝒂 𝟐 𝒂𝒂 𝒂 𝟐 𝟐𝟐 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 𝒃𝒃 𝒃 𝟐 𝟐𝟐 𝒃 𝟐 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐

Заметим, что это можно переписать в виде

cos 2𝑥− 𝜋 3 cos cos 2𝑥− 𝜋 3 2𝑥− 𝜋 3 2𝑥𝑥− 𝜋 3 𝜋𝜋 𝜋 3 3 𝜋 3 2𝑥− 𝜋 3 cos 2𝑥− 𝜋 3 = 3 2 3 3 3 3 3 2 2 3 2

Необходимые знания: методы решения уравнений, формулы sin 𝛼±𝛽 sin sin 𝛼±𝛽 𝛼±𝛽 𝛼𝛼±𝛽𝛽 𝛼±𝛽 sin 𝛼±𝛽 ;cos⁡(𝛼𝛼±𝛽𝛽)

Решить уравнение sin 2𝜋+𝑥 sin sin 2𝜋+𝑥 2𝜋+𝑥 2𝜋𝜋+𝑥𝑥 2𝜋+𝑥 sin 2𝜋+𝑥 =sin⁡( 𝜋 2 𝜋𝜋 𝜋 2 2 𝜋 2 +𝑥𝑥), найти корни, принадлежащие промежутку ( 3𝜋 2 3𝜋𝜋 3𝜋 2 2 3𝜋 2 ;3𝜋𝜋)

Решение: применим формулы приведения

Видим однородное уравнение I степени, поделим на 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠𝑥𝑥

Отберем корни, принадлежащие промежутку ( 3𝜋 2 3𝜋𝜋 3𝜋 2 2 3𝜋 2 ;3𝜋𝜋) при помощи единичной окружности

Необходимые знания: формулы приведения, методы решения триг. уравнений, отбор корней