Курсовая работа по алгебре на тему "Гиперболические функции"

2 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВЫСШЕГО  ОБРАЗОВАНИЯ Институт физико­математического образования Кафедра алгебры и методики обучения математике Гиперболические функции Курсовая работа Выполнила студентка 3512з группы Латкина Наталья Сергеевна ____________________________ __ (подпись)                               Научный руководитель: Малинина Г.М..__________________ (подпись) Работа защищена «____» __________________ 2018г. Оценка ________________________ Председатель ГАК ______________ (подпись) Барнаул 2018 3 Оглавление     Введение………………………………………………………..………………….3      Глава 1 Гиперболические функции  их свойства и применение……….……....5 1.1Понятие гиперболические функции. Гиперболический синус его     свойства и применение…………………………………………………………...5     1.2Определение гиперболического косинуса и его важнейшие свойства…..11     1.3Определение гиперболического тангенса его свойства и график………..14     1.4 Определение гиперболического котангенса и его свойства……………...18     1.5 Применение гиперболических функций при вычислении интегралов….20    Заключение……………………………………………………………………….23    Список литературы………………………………………………………………..25 4 Введение Первое появление гиперболических функций историки обнаружили в трудах английского математика Абрахама де Муавра (1707­ 1722). Независимое   открытие   и   дальнейшее   исследование   свойств гиперболических   функций   было   проведено   Иоганном   Ламбертом   (1768), который   установил   широкий   параллелизм   формул   обычной   и гиперболической   тригонометрии.   Н.   И.   Лобачевский   впоследствии использовал   этот   параллелизм,   пытаясь   доказать   непротиворечивость неевклидовой геометрии, в которой обычная тригонометрия заменяется на гиперболическую.  Современное определение и обстоятельное их исследование выполнил Винсент Риккати в 1757 году («Opusculorum», том I), он же предложил их обозначения: sh, ch. Риккати исходил из рассмотрения единичной гиперболы          Винсент Риккати (итал. Vincenzo de Riccati; 11 января 1707, Кастель­ Франко — 17 января 1775, Тревизо) — итальянский математик, иностранный почётный   член   Петербургской   Академии   Наук   с     17   января   1760   года. Известен   как   создатель   гиперболических   функций.   Отец   Винсента   Якопо Франческо Риккати (в честь которого названо уравнение Риккати) был одним из   крупных   итальянских   математиков   того   времени.   Винсент   Риккати унаследовал интересы отца в области дифференциальных уравнений, которые естественно возникали при решении геометрических задач. Это привело его к изучению   конических   сечений   в   декартовых   координатах   и   к заинтересованности в изучении гиперболы. Современная математика рассматривает гиперболические функции, как пары   экспоненциальной   функции,   но   Риккати   исследовал   их   свойства, 5 используя только геометрические свойства гиперболы х² — y² =1 или 2xy =1. Он   использовал   геометрические   методы,   хотя   он   был   знаком   с   работами Эйлера, предшествовавших выходу книги Риккати. Над   гиперболическими   функциями   Риккати   работал   вместе   с Джироламо Саладини. Риккати не только рассмотрел эти новые функции, но и   на   основе   связанных   с   ними   интегральных   формул   и   с   помощью геометрических   методов   получил   интегральную   формулу   для тригонометрических функций. Его книга «Institutiones» признана как первый обширный трактат по интегральному исчислению. Работы Эйлера и Ламберта изданы   позже.   Саладини   и   Риккати   также   рассматривали   другие геометрические   проблемы,   в   том   числе   трактрису,   строфоиду.   Риккати применял   для   гиперболических   функций   обозначения   и   в   дальнейшем   в обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой.  Для достижения цели необходимо решить следующие задачи: 1.Изучить   литературу   и   раскрыть   понятие   о   гиперболических функциях. 2.Рассмотреть   все     виды   функций     изучить   их   основные   свойства   и графики. 3.   Рассмотреть   использование   гиперболических   функций   при интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений. 4.Научиться   применять   гиперболические   функции   при   вычислении интегралов. 6 Глава 1 Гиперболические функции их свойства и применение 1.1 Понятие гиперболические   функции.   Гиперболический синус его свойства и применение» Определение:  Гипербол ческие   ф нкции   —   семейство   элементарных   функций, ии уи выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.     Гиперболические функции задаются следующими формулами:  гиперболический синус:       гиперболический косинус:      гиперболический тангенс:       гиперболический котангенс:       Ввиду соотношения   =1  гиперболические функции   дают   параметрическое   представление   гиперболы  x2  −   y2  =   1 (x=cht,y=sht).  При этом аргумент  t = 2S, где S — площадь криволинейного треугольника,  взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси OX, и «−» в противоположном   случае.   Это   определение   аналогично   определению тригонометрических   функций   через   единичную   окружность,   которое   тоже можно построить подобным образом 7 Основные свойства гиперболического синуса. Определение  Гиперболическим синусом называется  ;      ­∞