Курсовая работа по теории вероятностей.

Курсовая работа по теории вероятностей и математической статистике слушателя курса МА-3 Носковой Анны Юрьевны руководитель курса Высоцкий Иван Ростиславович Тема: «Пересечение и объединение вероятностей событий» Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по иному. Приведём примеры случайных событий: бросаются игральные кости, бросается монета, проводится стрельба по мишени и т.д. Все приведённые примеры можно рассматривать под одним и тем же углом зрения: случайные вариации, неодинаковые результаты ряда опытов, основные условия которых остаются неизменными. Совершенно очевидно, что в природе нет ни одного физического явления, в котором не присутствовали бы в той или иной степени элементы случайности. Как бы точно и подробно ни были фиксированы условия опыта, невозможно достигнуть того, чтобы при повторении опыта результаты полностью и в точности совпадали. Случайные отклонения неизбежно сопутствуют любому закономерному явлению. Тем не менее, в ряде практических задач этими случайными элементами можно пренебречь, рассматривая вместо реального явления, его упрощённую схему «модель» и предполагая, что в данных условиях опыта явление протекает вполне определённым образом. Однако существует ряд задач, где интересующий нас исход опыта зависит от столь большого числа факторов, что практически невозможно зарегистрировать и учесть все эти факторы. Случайные события можно различным способом сочетать друг с другом. При этом образуются новые случайные события. Для наглядного изображения событий используют диаграммы Эйлера. На каждой такой диаграмме прямоугольником изображают множество всех элементарных событий (рис.1). Все другие события изображают внутри прямоугольника в виде некоторой его части, ограниченной замкнутой линией. Обычно такие события изображают окружности или овалы внутри прямоугольника. Рис.1 Рассмотрим наиболее важные свойства событий с помощью диаграмм Эйлера. Объединением событий A и B называют событие C, состоящее из элементарных событий принадлежащих событию А или В (иногда объединения называют суммой). Результат объединения можно изобразить графически диаграммой Эйлера (рис. 2). Рис.2 Пересечением событий А и В называют событие С, которое благоприятствует и событию А, и событию В (иногда пересечения называют произведением). Результат пересечения можно изобразить графически диаграммой Эйлера (рис. 3). Рис.3 Если события А и В не имеют общих благоприятствующих элементарных событий, то они не могут наступить одновременно в ходе одного и то же опыта. Такие события называют несовместными, а их пересечение – пустое событие. Разностью событий А и В называют событие С, состоящее из элементарных событий А, которые не являются элементарными событиями В. Результат разности можно изобразить графически диаграммой Эйлера (рис.4) Рис.4 Пусть прямоугольник изображает все элементарные события. Событие А изобразим в виде круга внутри прямоугольника. Оставшаяся часть прямоугольника изображает противоположное событию A, событие (рис.5) Событием, противоположным событию А называют событие, которому благоприятствуют все элементарные события, не благоприятствующие событию А. Событие, противоположное событию А, принято обозначать . Рис.5 Примеры противоположных событий. А - попадание при выстреле, - промах при выстреле; В - выпадение герба при бросании монеты, - выпадение цифры при бросании монеты; С - безотказная работа всех элементов технической системы, - отказ хотя бы одного элемента; D - обнаружение не менее двух бракованных изделий в контрольной партии; - обнаружение не более одного бракованного изделия. Объединением нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, если опыт состоит в пяти выстрелах по мишени и даны события: А0- ни одного попадания; А1- ровно одно попадание; А2- ровно 2 попадания; А3- ровно 3 попадания; А4- ровно 4 попадания; А5- ровно 5 попаданий. Найти события: не более двух попаданий и не менее трёх попаданий. Решение: А=А0+А1+А2 – не более двух попаданий; В=А3+А4+А5 – не менее трёх попаданий. Пересечением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, если по мишени производится три выстрела, и рассматриваются события: В1 - промах при первом выстреле, В2 - промах при втором выстреле, ВЗ - промах при третьем выстреле, то событие состоит в том, что в мишень не будет ни одного попадания. При определении вероятностей часто приходится представлять сложные события в виде комбинаций более простых событий, применяя и объединение, и пересечение событий. Например, пусть по мишени производится три выстрела, и рассматриваются следующие элементарные события: - попадание при первом выстреле, - промах при первом выстреле, - попадание при втором выстреле, - промах при втором выстреле, - попадание при третьем выстреле, - промах при третьем выстреле. Рассмотрим более сложное событие В, состоящее в том, что в результате данных трёх выстрелов будет ровно одно попадание в мишень. Событие В можно представить в виде следующей комбинации элементарных событий: Событие С, состоящее в том, что в мишень будет не менее двух попаданий, может быть представлено в виде: На рис.6.1 и 6.2 показано объединение и пересечение трёх событий. рис.6 Для определения вероятностей событий применяются не непосредственные прямые методы, а косвенные. Позволяющие по известным вероятностям одних событий определять вероятности других событий, с ними связанных. Применяя эти косвенные методы, мы всегда в той или иной форме пользуемся основными правилами теории вероятностей. Этих правил два: правило сложения вероятностей и правило умножения вероятностей. Правило сложения вероятностей формулируется следующим образом. Вероятность объединения двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В) =Р(А)+ Р(В). Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: Р(А) + Р()= 1. На практике весьма часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события А, чем вероятность прямого события А. В этих случаях вычисляют Р (А) и находят Р (А) = 1-Р(). Рассмотрим несколько примеров на применение правила сложения. Пример 1. В лотерее 1000 билетов; из них на один билет падает выигрыш 500 руб., на 10 билетов - выигрыши по 100 руб., на 50 билетов - выигрыши по 20 руб., на 100 - билетов - выигрыши по 5 руб., остальные билеты невыигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 руб. Решение. Рассмотрим события: А - выиграть не менее 20 руб., А1 - выиграть 20 руб., А2 - выиграть 100 руб., А3 - выиграть 500 руб. Очевидно, А= А1 +А2+А3. По правилу сложения вероятностей: Р (А) = Р (А1) + Р (А2) + Р (А3) = 0,050 + 0,010 + 0,001 = 0,061. Пример 2. Производится бомбометание по трём складам боеприпасов, причём сбрасывается одна бомба. Вероятность попадания в первый склад 0,01; во второй 0,008; в третий 0,025. При попадании в один из складов взрываются все три. Найти вероятность того, что склады будут взорваны. Решение. Рассмотрим события: А - взрыв складов, А1 - попадание в первый склад, А2 - попадание во второй склад, А3 - попадание в третий склад. Очевидно, А = А1 + А2 + А3. Так как при сбрасывании одной бомбы события Al, А2, А3 несовместны, то Р (А) = Р (A1) + Р(А2) +Р(А3) == 0,01 + 0,008 + 0,025 = 0,043. Пример 3. Круговая мишень состоит из трёх зон: I, II и III. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле 0,15, во вторую 0,23, в третью 0,17. Найти вероятность промаха. Рис.7 Решение. Обозначим А - промах, - попадание. Тогда =А1+ А2 + А3, где А1, А2 , А3 - попадание соответственно в первую, вторую и третью зоны: Р() = Р (A1) + Р (А2) + Р (А3) = 0,15 + 0,23 + 0,17 = 0,55, откуда Р(А) = 1- Р() = 0,45. обытие — это любое подмножество пространства событий. Это набор элементарных исходов. В диаграммах Венна событию соответствует подмножество элементарных событий. Мы говорим, что событие произошло, если в результате эксперимента произошло элементарное событие, принадлежащее этому поднаберу. Например, элементарные события — «туз конкретной масти» — благоприятствуют случайному событию «туз». События обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, D, Е, F и т.д. По аналогии со свойствами множеств можно классифицировать и события. Достоверное событие — это событие, которое обязательно произойдет в результате испытания. (Например, если в урне содержатся только белые шары, то извлечение из нее белого шара есть событие достоверное; другой пример: если подбросить вверх камень, то он обязательно упадет на Землю вследствие действия закона притяжения, т. е. результат этого опыта заведомо известен). Достоверные события условимся обозначать символом . Невозможное событие — это событие, которое не может произойти в результате данного опыта (испытания). Извлечение черного шара из урны с белыми шарами есть событие невозможное, так же как и выпадение выигрыша на все номера облигаций в каком-либо тираже выигрышного займа. Невозможное событие обозначим . Достоверные и невозможные события не являются случайными. Совместные события — несколько событий называют совместными, если в результате эксперимента наступление одного из них не исключает появления других. (Например, при бросании трех монет выпадение цифры на одной не исключает появления цифр на других монетах). В магазин вошел покупатель. События «в магазин вошел покупатель старше 60 лет» и «в магазин вошла женщина» — совместные, так как в магазин может войти женщина старше 60 лет. Несовместные события — несколько событий называют несовместными в данном опыте, если появление одного из них исключает появление других. (Например, выигрыш, ничейный исход и проигрыш при игре в шахматы как результат одной партии — три несовместных события).