Лекция № 4 Представление информации с помощью систем счисления

Лекция № 4

Представление информации с помощью систем счисления

1. Позиционные и непозиционные системы счисления

Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления.

Система счисления — это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

Системы счисления бывают позиционные (величина, которую обозначает цифра в записи числа, зависит от положения цифры в этом числе) и непозиционные (величина, которую обозначает цифра в записи числа, не зависит от положения цифры в этом числе).

Римская непозиционная система счисления. Самой распространенной из непозиционных систем счисления является римская. В качестве цифр в римской системе используются: I (1), V (5), Х (10), L (50), С (100), D (500),   М (1000).

Значение цифры не зависит от ее положения в числе. Например, в числе XXX (30) цифра Х встречается трижды и, в каждом случае, обозначает одну и ту же величину — число 10, три раза по 10 в сумме дают 30.

Величина числа в римской системе счисления определяется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа — прибавляется. Например, запись десятичного числа 1998 в римской системе счисления будет выглядеть следующим образом:

Позиционные системы счисления. Первая позиционная система счисления была придумана еще в древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричной, т.е. в ней использовалось шестьдесят цифр! Интересно, что до сих пор при измерении времени мы используем основание, равное 60 (в 1 минуте содержится 60 секунд, а в 1 часе — 60 минут).

В девятнадцатом веке довольно широкое распространение получила двенадцатеричная система счисления. До сих пор мы часто употребляем дюжину (число 12): в сутках две дюжины часов, круг содержит тридцать дюжин градусов и т.д.

В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе.

Наиболее распространенными в настоящее время позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Каждая позиционная система имеет определенный алфавит цифр и основание.

Цифры – знаки (символы), используемые в системах счисления для обозначения чисел.

Алфавит системы счисления – совокупность цифр и букв, с помощью которых в позиционной системе счисления записываются числа.

Основание позиционной системы счисления – количество цифр в алфавите.

В позиционных системах счисления основание системы равно количеству цифр (знаков в ее алфавите) и определяет, во сколько раз различаются значения цифр соседних разрядов числа.

Десятичная система счисления имеет алфавит цифр, который состоит из десяти всем известных, так называемых арабских, цифр и имеет основание, равное 10, двоичная — две цифры и основание 2, восьмеричная — восемь цифр и основание 8, шестнадцатеричная — шестнадцать цифр (в качестве цифр используются и буквы латинского алфавита) и основание 16.

Десятичная система счисления. Наиболее распространенной позиционной системой счисления является десятичная система. Рассмотрим в качестве примера десятичное число 555. Цифра 5 встречается трижды, причем самая правая обозначает пять единиц, вторая справа — пять десятков и, наконец, третья — пять сотен.

Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим. Например, в десятичной системе крайняя справа позиция соответствует первому разряду, в котором цифра обозначает единицы. Цифра, смещенная на одну позицию влево, обозначает десятки, еще левее — сотни, затем тысячи и т.д.

Число 555 записано в привычной для нас свернутой форме. Мы настолько привыкли к такой форме записи, что уже не замечаем, как в уме умножаем цифры числа на различные степени числа 10.

В развернутой форме записи числа такое умножение производится в явной форме. Так, в развернутой форме запись числа 555 в десятичной системе будет выглядеть следующим образом:

Как видно из примера, число в позиционных системах счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае 10), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.

Для записи десятичных дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней основания. Например, число 555,55 в развернутой форме будет записываться следующим образом:

В общем случае в десятичной системе запись числа А₁₀, которое содержит n целых разрядов числа и m дробных разрядов числа, производится следующим образом:

Коэффициенты а_i в этой записи являются цифрами десятичного числа, которое в свернутой форме записывается следующим образом:

Из вышеприведенных формул видно, что умножение или деление десятичного числа на 10 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд вправо или влево. Например:

В системах счисления с основанием q (q-ичная система счисления) числа в развернутой форме записываются в виде суммы ряда степеней основания с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0, 1, q-1.

В развернутой форме число в системе счисления с основанием q (q-ичная система счисления) записывается следующим образом:

Коэффициенты а в этой записи являются цифрами числа, записанного в q-ичной системе счисления.

2. Системы счисления, используемые в ЭВМ: двоичная,

восьмеричная, шестнадцатеричная

В двоичной системе основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр (0 и 1). Следовательно, числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы ряда степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1.

Например, развернутая запись двоичного числа выглядит следующим образом:

а в свёрнутой форме:

В общем случае в двоичной системе запись числа А₂, которое содержит n целых разрядов числа и m дробных разрядов числа, производится следующим образом:

Коэффициенты а в этой записи являются цифрами (0 или 1) двоичного числа, которое в свернутой форме записывается следующим образом:

Из вышеприведенных формул видно, что умножение или деление двоичного числа на 2 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд вправо или влево. Например:

Так, в восьмеричной системе основание равно восьми (q = 8), тогда написанное в свернутой форме восьмеричное число А₈ = 673,2₈ в развернутой форме будет иметь вид:

В шестнадцатеричной системе основание равно шестнадцати (q = 16), тогда написанное в свернутой форме шестнадцатеричное число А₁₆ = 8А,F₁₆ в развернутой форме будет иметь вид:

Если выразить шестнадцатеричные цифры через их десятичные значения (А = 10, F = 15), то запись числа примет вид:

Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращённую запись выражения a_n-1*q^n-1 + a_n-2*q^n-2 + … a_1*q¹ + a_0*q⁰ + a_-1*q^-1 + … a_-m*q^-m (a – цифры системы счисления; n, m – число целых и дробных разрядов соответственно).

Пример: 347,52₈ = 3*8² + 4*8¹ + 7*8⁰ + 5*8^-1 + 2*8^-2.

Двоичная система, удобная для компьютеров, неудобна для человека из-за её громоздкости и непривычной записи.

Компьютер использует двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

·        для её реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток – нет тока, намагничен – не намагничен и т. п.);

·        представление информации посредством только двух устойчивых состояний надёжно и помехоустойчиво;

·        возможно применение аппарата булевой алгебры для  выполнения логических преобразований информации;

·        двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы – быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

3. Основные алгоритмы перевода чисел из одной системы

счисления в другую

Перевод чисел.

1) из десятичной системы в любую другую позиционную систему и наоборот:

1. Последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа и получаемых целых частных на основание системы счисления (q) до тех пор, пока не получим частное меньше делителя, т.е. меньше q.

2. Получить искомое число, для чего записать полученные остатки в обратной последовательности.

В качестве примера рассмотрим перевод десятичного числа 19 в двоичную систему, записывая результаты в таблицу:

В результате получаем двоичное число:

2) При переводе числа из любой другой позиционной системы счисления в десятичную нужно представить это число в виде суммы степеней основания его системы счисления (т.е. записать число в развёрнутой форме и вычислить его значение):

Примеры:

1F3₁₆ = 1*16² + 15*16¹ + 3*16⁰ = 499₁₀

10,11₂ = 1*2¹ + 0*2⁰ + 1*2^-1 + 1*2^-2 = 2 + 0 + 0,5 + 0,25 = 2,75₁₀

675₈ = 6*8² + 7*8¹ + 5*8⁰ = 384 + 56 + 5 = 445₁₀

3) из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную и наоборот:

Для перевода целого двоичного числа в восьмеричное его нужно разбить на группы по три цифры, справа налево, а затем преобразовать каждую группу в восьмеричную цифру. Если в последней левой группе окажется меньше, чем три разряда, то необходимо ее дополнить слева нулями. 

Переведем таким способом двоичное число 101001₂ в восьмеричное:

Для упрощения перевода можно заранее подготовить таблицу преобразования двоичных триад (групп по 3 цифры) в восьмеричные цифры. 

Для перевода дробного двоичного числа в восьмеричное необходимо разбить его на триады слева направо и, если в последней правой группе окажется меньше разрядов, дополнить ее справа нулями. далее, необходимо триады заменить на восьмеричные числа.

Например, преобразуем дробное двоичное число А₂ = 0,110101₂ в восьмеричную систему счисления:  

Получаем А₈ = 0,65₈.

Для перевода целого двоичного числа в шестнадцатеричное его нужно разбить на группы по четыре цифры (тетрады), начиная справа, и, если в последней левой группе окажется меньше разрядов, дополнить ее слева нулями, для перевода дробного двоичного числа в шестнадцатеричное необходимо разбить его на тетрады слева направо и, если в последней правой группе окажется меньше, чем четыре разряда, то необходимо ее дополнить справа нулями.

Затем необходимо преобразовать каждую группу в шестнадцатеричную цифру, воспользовавшись для этого предварительно составленной таблицей соответствия двоичных тетрад и шестнадцатеричных цифр.

Переведем целое двоичное число А₂ = 101001₂ в шестнадцатеричное:  

В результате имеем А₁₆ = 29₁₆.

Переведем дробное двоичное число А₂ = 0,110101₂ в шестнадцатеричную систему счисления:

Получаем А₁₆ = 0,Е4₁₆.

Для перевода чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную необходимо цифры числа преобразовать в группы двоичных чисел. Для перевода из восьмеричной системы в двоичную каждую цифру числа надо преобразовать в группу из трех двоичных разрядов (триаду), а при преобразовании шестнадцатеричного числа — в группу из четырех разрядов (тетраду).

Например, преобразуем дробное восьмеричное число А₈ = 0,47₈ в двоичную систему счисления:   

Получаем А₂ = 0,100111₂.

Переведем целое шестнадцатеричное число А₁₆ = АВ₁₆ в двоичную систему счисления:

В результате имеем А₂ = 10101011₂.   

Полезно знать!

4. Двоичная арифметика

Правила выполнения четырёх арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление) в десятичной системе счисления нам хорошо известны – это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление уголком. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления.

Сложение

Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда значение числа в нем становится равным или большим основания. Для двоичной системы счисления это число равно двум.

Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие. В качестве примера сложим в столбик двоичные числа 110₂   и 11₂

Вычитание

При вычитании цифры вычитаются по разрядам, и если при этом возникает недостаток, то происходит заём в старших разрядах.

Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В его основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначен 1 с чертой.

Вычитаниё многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей вычитания с учетом возможных заемов в старших разрядах. В качестве примера произведем вычитание двоичных чисел 110₂   и 11₂

Умножение

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм умножения чисел в столбик, но при этом результаты умножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел:

Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя. В качестве примера произведем умножение двоичных чисел 110₂   и 11₂

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

Деление

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление уголком в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулём или единицей.

Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления. В качестве примера произведем деление двоичного числа 110₂   на 11₂