Лекция 1. «Матрицы и основные действия над ними. Определители

Определение. Матрицей  размера mn, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i- номер строки, а j- номер столбца.

Основные действия над матрицами.

  Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента. 

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

            Определение.  Матрица вида:

Определение. Если amn = anm , то матрица называется симметрической.

диагональной матрицей.

  Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

С = А + В = В + А.

  Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к  умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

 (А+В) =А  В                             А() = А  А

                                                                                    1 2 3              1 3 4

                                                                                                                    

Пример. Даны матрицы А = 2 1 4; B = _5 7 8 , найти 2А + В.

                                                                                 3 2 3         1 2 4

                                                   2   4   6                                                   3   7   10

                                                                                                                                 

                                      2А = 4    2    8,                                 2А + В = 9    9    16.

                                                 6  4  6                                                7  6  10

Операция умножения матриц.

 Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

n

AB = C;                с_ij  a_ik b_kj .

k1

 Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Свойства операции умножения матриц.

1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ  ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера. 

Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

АЕ = ЕА = А

            Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:

AO = O;  OA = O, 

где О – нулевая матрица.

2)    Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:

(АВ)С=А(ВС).

3)    Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е.

если имеют смысл выражения  А(В+С) и (А+В)С, то соответственно: А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.           4) Если произведение АВ определено, то для любого числа  верно соотношение: (AB) = (A)B = A(B).

5)  Если определено произведение АВ , то определено произведение В^ТА^Т и выполняется равенство:

(АВ)^Т = В^ТА^Т, где 

индексом Т обозначается транспонированная матрица.

6)  Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detAdetB.

Что такое det будет рассмотрено ниже.

  Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В. 

                                         а11 a12               ... a1n                                         a11 a21              ... am1 

                                                                                                                                      

                                         a21 a22         ... a_...2n ;                  В = АТ=a...12 a...22 ...... a...m2 ^;

                            А =  ...      ...     ...

                        am1 am2         ... amn          a1n a2n                  ... a_mn 

другими словами,  bji = aij.

                                                               В качестве следствия из предыдущего свойства (5) можно записать, что: (ABC)^T = C^TB^TA^T, 

при условии, что определено произведение матриц АВС.

                                                                                     1     0     3         1         1

                                                                                                                             

            Пример.    Даны матрицы А = 2     4    1, В = 3 , С =  2 _ и число  = 2. Найти

                                                                                     1  4 2_      _2_    _ 1 _

называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы  по формуле:

n

                                           det A = (1)^k1a_1kM_1k ,     где                         (1)

k1

М_1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.

 Формула (1) позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:

                                                                                                           (2)  Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула:

n

                                                     detA = (1)^ki a_ik M _ik ,     i = 1,2,…,n.                         (3)

k1

            Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители.

 Определитель единичной матрицы равен 1.

 Для указанной матрицы А число М_1к называется дополнительным минором  элемента матрицы a1k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.

  Определение. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы aij  равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца. 

               Свойство1. Важным свойством определителей является следующее соотношение:

                                                                          det A = det A^T;                                               

            Свойство 2.                   det ( A  B) = det A  det B.

           Свойство 3.                   det (AB) = detAdetB

 Свойство 4.  Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине.

 Свойство 5. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель умножается на это число.

 Свойство 6. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее определитель равен нулю.

Определение: Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.

 Свойство 7. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно именно по нулевой строке или столбцу.)

 Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк(столбца) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое-либо число, не равное нулю.

 Свойство 9. Если для элементов какой- либо строки или столбца матрицы верно соотношение: d = d1  d2  , e = e1  e2 , f = f1  f2 , то верно:

                                                               a    b        ca        b         ca         b      c

d e f  d₁ e₁ f₁  d₂ e₂ f₂ k l mk l mk l m

                                                                                                                              1     2     1

                  Пример. Вычислить определитель матрицы А = 0            2      3

1      2     1

 2 30

0           2 3 1

1          13

3      1     1

= -5 + 18 + 6 = 19.

                                                         3   1    1

30  2

 (2113)  2(0133)  (0132) 

13             1

                                                                                  1   2         5   2

          Пример:. Даны матрицы А = __{3 4}_, В = _{1 3}_ .  Найти det (AB).

1-й способ: det A = 4 – 6 = -2;      det B = 15 – 2 = 13;            det (AB) = det A det B = -26.

                                          15 21 12  23   7    8 

2- й способ:  AB = _{35 41 32  43}_  __{19 18}_ ,       det (AB) = 718 - 819 = 126 – 

 – 152  = -26.