Линейная алгебра. Для заочников

Рассмотрим для примера решение подобного варианта.

Первое задание. 

Решите матричное уравнение:

где   и   – задаваемые матрицы,   – искомая матрица.

Матрица   стоит слева от  , поэтому матричное уравнение запишется в виде:

     .

Если в матричном уравнении матрица   стоит справа от  , то уравнение примет вид

     .

Матричные уравнения вида       и       решаются через обратную матрицу       .

Рассмотрим наше уравнение:      . Для того, чтобы разрешить данное уравнение относительно  , умножим обе его части на    слева:

             .

Используем свойство матричных операций         . Уравнение примет вид:

         .

Поскольку умножение на единичную матрицу исходную матрицу не изменяет (      , окончательно получим:

       ,

Эта формула позволяет найти матрицу  .

Замечание.     Произведение       матриц       не       перестановочно,            поэтому существенно, с какой стороны проводить умножение (в случае         умножим обе части уравнения на      справа).

Для вычисления обратной матрицы найдем определитель матрицы  . Он равен

Таким образом   – невырожденная матрица, значит существует обратная матрица    .

Найдем обратную матрицу    .

                                         ₍                                       )₍                                        ) ₍                               )

Второе задание. 

Решите систему линейных уравнений методом Гаусса:

                                                                           {                                                          

Метод Гаусса – это классический метод решения системы линейных уравнений, называемый также методом последовательного исключения неизвестных. В основе метода лежат элементарные преобразования системы с целью приведения ее к равносильной системе уравнений треугольного типа. Решая полученную равносильную треугольную систему, начиная с последнего уравнения, последовательно, тоже начиная с последней, находят все неизвестные.  

К элементарным преобразованиям относятся следующие действия:

1)     Строки матрицы можно переставлять местами.  

2)     Если в матрице есть (или появились) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной.  

3)     Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить. 

4)     Строку матрицы можно умножить на любое, отличное от нуля, число.

5)     К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число, отличное от нуля. Строка, которую прибавляли остается прежней, изменяется строка к которой прибавляют.

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса осуществляется в два этапа.

I     этап. Прямой ход Гаусса.

Составляем расширенную матрицу системы. Расширенная матрица системы – это та же матрица системы плюс столбец свободных членов. Вертикальная черта внутри матрицы не несёт никакого математического смысла – это просто разделитель.

Далее, при помощи элементарных преобразований приводим матрицу к ступенчатому виду. В научной и учебной литературе под термином «ступенчатый вид» понимают трапециевидный или треугольный вид матрицы.

II   этап. Обратный ход Гаусса.

Из полученной системы с треугольной или трапециевидной матрицей последовательно (обратным ходом) получаются значения всех неизвестных.

Виды метода Гаусса

1)     Классический метод Гаусса.

2)     Модификации метода Гаусса. Особенностью метода Гаусса с выбором главного элемента является такая перестановка уравнений, чтобы на k-ом шаге ведущим элементом оказывался наибольший по модулю элемент kго столбца.

3)     Метод Жордано-Гаусса. Отличие метода Жордано-Гаусса от классического метода Гаусса состоит в применении правила прямоугольника, когда направление поиска решения происходит по главной диагонали (преобразование к единичной матрице). В этом случае полученный правый столбец будет представлять искомые значения неизвестных переменных. При этом нет необходимости вычислять новые неизвестные через ранее рассчитанные.

Решение.

Сформируем расширенную матрицу:

(    |  ).

Применяя к расширенной матрице последовательность элементарных преобразований, будем стремиться, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.

Сначала смотрим на левое верхнее число. Почти всегда здесь должна находиться единица. Поэтому меняем местами первую и вторую строки:

(    |  ).

Ставим задачу для первого столбца: получить нули во второй и третьей строках. Для этого работаем с первой строкой. Чтобы получить нуль в первом столбце второй строки, ко второй строке прибавим первую строку, умноженную на –2.

Результат записываем во вторую строку:

Чтобы получить нуль в первом столбце третьей строки, к третьей строке прибавим первую строку, умноженную на –11. Результат записываем в третью строку:

(    | ).

Задачу выполнили: во второй и третьей строках первого столбца стоят нули. Обычно эти действия выполняются устно и записываются в один шаг.

Теперь ставим задачу для второго столбца: мы хотим получить нули в первой и третьей строках этого столбца. Заметим, что третью строку можно разделить на 4:

(    | ).

Видим, что вторая и третья строки равны, поэтому вычитаем из третьей строки вторую (вторая строка умножается на    и при прибавляется к третьей строке). Результат записываем в третью строку.

(    | ).

На этом этапе получили трапециевидную матрицу.  

Делим вторую строку на   , получаем во второй строке второго столбца 1:

(   | ).

Теперь получим ноль в первой строке второго столбца. Для этого из первой строки вычтем вторую строку, умноженную на   :

(    | ).

Получили единицы на главной диагонали.

Далее выпишем систему уравнений по последней расширенной матрице:  

                                                                                              {                                   .

Принимая    за свободную переменную, переменные         будут являться базисными. Окончательный вид системы:

{     

Заданная система уравнений имеет множество решений. Нами получено общее решение заданной СЛАУ. Чтобы найти частное решение, нужно всем свободным переменным придать какое-либо конкретное значение, например, приравнять к нулю, т.е. полагая       , будем иметь:

{      

Замечание. Для системы уравнений нужно сделать проверку найденного решения.

Третье задание. 

Решите систему уравнений методом Крамера:

                                                                                {                                                 

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которых число неизвестных переменных равно числу уравнений и определитель основной матрицы отличен от нуля. Для нахождения неизвестных переменных по методу Крамера применяем формулы:

       ,        ,  и        .

Решение.

Находим главный определитель системы:

  |     |     ,

значит, система имеет единственное решение.

Подставим столбец свободных членов в первый столбец основной матрицы и вычислим ее определитель:

                                                                                 |                                  |     .

Подставим столбец свободных членов во второй столбец основной матрицы и вычислим ее определитель:

Подставим столбец свободных членов в третий столбец основной матрицы и вычислим ее определитель:

                                                                                   |                                    |    .

В итоге, находим решение системы:

                 ;                  ;