МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ 1. [3] Заполните натуральными числами от 1 до 9 квадратную таблицу размером 3 3 так, чтобы суммы чисел по всем строкам, столбцам и диагоналям были равны одному и тому же числу – 15. Р е ш е н и е . 6 1 8 2 9 4 7 5 3 2.  Заполните натуральными числами от 0 до 8 квадратную таблицу размером 3  3 так, чтобы суммы чисел по всем строкам, столбцам и диагоналям были равны одному и тому же числу. Р е ш е н и е . 5 0 7 1 8 3 6 4 2 3. Даны числа: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. Впишите их в клетки квадрата так, чтобы в любом направлении получилось одно и то же число. Р е ш е н и е . Рассмотрим последовательность: 3, 4, 5, 6,  7,  8, 9, 10, 11. Число 7 будет центральным   числом   магического   квадрата.   Найдем,   какая   сумма   должна   получаться   в каждом направлении. Для этого умножим центральное число 7 на 3 либо вычислим сумму всех чисел и разделим ее на 3: ((3+11) ∙  4 + 7) : 3 = 63 : 3 = 21. В центр квадрата поставим число 7, по одной диагонали числа 6 и 8, по другой – 4 и 10. Осталось расставить недостающие числа:  6 10 4 5 7 9 10 3 8 Задача   имеет   несколько   решений,   но   все   квадраты   получаются   из   других   симметрией относительно средних линий или диагонали. 4. [27] Даны числа 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18. Впишите их в клетки квадрата так, чтобы в любом направлении получилось в сумме одно и то же число. Р е ш е н и е . Ниже приведен один из вариантов решения.  16 6 8 2 12 10 14 4 185. Заполните натуральными числами от 1 до 16 квадратную таблицу размером 4 4 так, чтобы суммы чисел по всем строкам, столбцам и диагоналям были равны одному и тому же числу – 34. Р е ш е н и е . 14 15 7 6 11 10 2 3 1 12 8 13 4 9 5 16 6. [24]  В клетках таблицы, содержащей 4 строки и 7 столбцов, расставьте натуральные числа так, чтобы их сумма в каждой строке была равна 28, а в каждом столбце 15. Можно ли осуществить требуемое? Если да, то покажите как, если нет, то объясните, почему.  Р е ш е н и е . Нет, сумма по строкам 112, а по столбцам – 105. МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ 7. [4] Можно ли числа 1, 2, 3, …, 11, 12 расставить в таблицу из 3 строк и 4 столбцов так, чтобы: а) сумма чисел в каждом из четырёх столбцов была одной и той же; б) сумма чисел в каждой из трёх строк была одной и той же? Р е ш е н и е . Найдем сумму этих чисел: 1 + 2 + 3 + … + 11 + 12 = (1 + + 12) ∙  6 = 13 ∙  6 = 78. Видим, что это число делится на 3 и не делится на 4, поэтому: а) нельзя; б) можно. 8. [13]  Расставьте   в   кружках   числа   от   1   до   7   так,   чтобы   сумма   чисел   в   любых   трех кружках, лежащих на одной прямой, была равна 12. Р е ш е н и е .9. [13] Расставьте в кружках на сторонах треугольника числа от 1 до 9 так, чтобы сумма четырех чисел, принадлежащих одной стороне, равнялась 20. Р е ш е н и е . Ниже приведены два решения, есть и другие: 10. [13] Расставьте в кружках на сторонах треугольника числа от 1 до 9 так, чтобы сумма четырех чисел, принадлежащих одной стороне, равнялась 17. Р е ш е н и е . 11.  [13]  Расставьте   от   1   до   9   в   кружках   так,   чтобы   сумма   трех   слагаемых,   которые находятся на радиусах, а также сумма трех чисел, расположенных на окружности, была равна 15.Р е ш е н и е . 12. [13] В каждом кружке пятиконечной звезды разместите 10 различных чисел, взятых от 1 до 12 так, чтобы сумма четырех чисел на любой прямой равнялась 24. Р е ш е н и е .