Магия фигур: исторические сведения, занимательные задачи

Магия фигур: исторические сведения, занимательные задачи

Яковлева Татьяна Петровна,
доцент кафедры математики и физики
Камчатского государственного университета имени Витуса Беринга,
кандидат педагогических наук, доцент,
г. Петропавловск - Камчатский

Магические фигуры

Магические фигуры – это геометрические
фигуры, обладающие одним общим
математическим свойством – суммы по всем
строкам, столбцам, диагоналям равны между
собой.

Магические фигуры

Магическим квадратом n-го порядка называется квадратная таблица размером n х n, заполненная натуральными числами от 1 до n2, суммы которых по всем строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковы.

Магический квадрат

Это изображение считается самым древним
магическим квадратом. Говорят, что он впервые
появился в Китае примерно за 2800 лет до нашей
эры.

Первый магический квадрат

Черные кружки – это четные (женственные) числа, белые – нечетные (мужественные) числа.

История возникновения магического квадрата

Магический квадрат –древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во время правления императора Ю из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы и эти знаки известны под названием
Ло-шу.

Ло-шу – единственный нормальный магический квадрат 3×3.

Магический квадрат Ло-шу

Магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания гравюры (1514). Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34.

Магический квадрат Дюрера

Латинский квадрат

Магическим шестиугольником называется набор чисел, расположенный в центрированной шестиугольной решетке со стороной таким образом, что сумма чисел в каждой строке во всех направлениях равна некой магической константе.

Магический шестиугольник

История возникновения магического шестиугольника

В 1910 году Клиффорд У. Адамс принялся за поиски магического шестиугольника.

Задача формулируется так: можно ли натуральные числа от 1 до n расставить в n ячейках шестиугольника так, чтобы суммы всех чисел в каждом ряду в трех направлениях были бы равны между собой?

История возникновения магического шестиугольника

Клиффорд Адамс занимался решением этой задачи в свободное время на протяжении 47 лет и, наконец, решил её.

Шестиугольник третьего порядка состоит из 19 ячеек и имеет по пять рядов в трех направлениях. Магическая сумма должна быть равна (1 + 2 + … + 19)/5 = 190/5 = 38.

Если первые n натуральных чисел расположить в форме треугольника так, что образуется одна и та же сумма вдоль каждой из его сторон, то такой числовой треугольник называют магическим.

Магический треугольник

Основной недостаток магического треугольника – его внутренняя пустота, числа стоят только по сторонам. Возникает желание его «уплотнить».
Реализация этого желания приводит вот к такому, например, магическому уплотненному треугольнику из чисел от 1 до 15.
Для внешнего треугольника S1 = 1 + 6 + 13 + 3 = 3 + 4 + 14 + 2 = 2 + 5 + 15 + 1 = 23, для внутреннего треугольника S2 = 7 + 11 + 9 = 9 + 10 + 8 = 8 + 12 + 7 = 17.

Магический треугольник

Магическое кольцо

В результате преобразований совершенного квадрата пятого порядка перед нами магическое кольцо, в котором суммы чисел по каждому из радиусов (бывшие строчки), по каждой концентрической окружности (бывшие столбцы) и по каждой спирали (бывшие диагонали) будут равны между собой.

Магический круг

Круг содержит числа от 12 до 75 и число 12 повторяется в центре фигуры. Суммы чисел по восьми радиусам, включая каждый раз центральное число, по восьми концентрическим кольцам, но опять-таки прибавляя центральное число, наконец, по 24 окружностям с центрами в точках A, B, C, D (с центральным числом) все равны между собой, а именно, равны 350.

У шестиконечной звезды все шесть рядов чисел имеют одну и ту же сумму: 4+6+7+9=26 11+6+8+1=26 4+8+12+2=26 11+7+5+3=26 9+5+10+2=26 1+12+10+3=26

Магическая шестиконечная звезда

Магическое числовое колесо

Цифры от 1 до 9 размещены в числовом колесе так, чтобы одна цифра была в центре круга, прочие – у концов каждого диаметра, и чтобы сумма трёх цифр каждого ряда составляла 15. 

Магический куб

Магический куб n–го порядка состоит из последовательных чисел от 1 до n3 , расположенных в форме куба таким образом, что сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце, в каждом ряду и по каждой из 4-х диагоналей одна и та же и равна (n3 + 1)n/2.

Представлен магический куб третьего порядка в форме пространственной решетки, с суммой 42.

Магическая треугольная призма

Треугольная призма сформирована из чисел от 1 до 36, размещенных в четыре слоя в треугольниках 4-го порядка. Сумма четырех чисел по всем ребрам призмы и параллельным им отрезкам, равна 74 и повторяется 21 раз.

Задания с магическими фигурами

Задание 1. Является ли квадрат магическим?

Задание 2. Расставьте 6 цифр от 1 до 9 так, чтобы в квадрате сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце, а также по диагоналям была равна.

Задание 2.Расставьте 6 цифр от 1 до 9 так, чтобы в квадрате сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце, а также по диагоналям была равна.

Задание 3.
Является ли треугольник магическим?

Задание 4.Расставьте числа от 1 до 6 так, чтобы сумма вдоль каждой стороны равнялась 12.

Задание 5.
Расположите в кружках числа от 1 до 7 так, чтобы сумма чисел по каждой прямой, содержащей три круга, была одинаковая.

Задание 6.Расставьте числа от 1 до 10 так, чтобы сумма трех чисел по любой стороне пятиугольника была одинаковой.

Задание 7.Можно ли в кружках звезды расставить 10 различных натуральных чисел так, чтобы суммы четырех чисел вдоль каждой из пяти прямых равнялась 24? 

2

4

5

3

1

9

6

10

12

8

Спасибо за внимание!

Список используемой литературы: