Математические способности у детей младшего школьного возраста

Математические способности у детей младшего школьного возраста

Проблема развития математических способностей детей младшего возраста - одна из наименее разработанных на сегодня дидактических и методических проблем обучения математике в начальных классах. Крайняя разнородность взглядов на само понятие "математические способности" приводит к тому, что до сих пор отсутствуют сколько-нибудь концептуально обоснованные методики, что в свою очередь порождает сложности в работе учителей.

Исследователи, занимавшиеся проблемами математических способностей, формирования и развития математического мышления (А.Н. Колмогоров, В.А. Крутецкий, В.В. Давыдов, З.И. Калмыкова, И.В. Дубровина, К.А. Рыбников и др.), при всей разнородности высказываемых мнений, отмечают, прежде всего, специфические особенности мышления математически способного ребенка (а также профессионального математика), в частности, гибкость мышления, т.е. нешаблонность, неординарность, умение варьировать способы решения познавательной проблемы, с легкостью переходить от одного пути решения к другому, выходить за пределы привычного способа деятельности и находить новые варианты решения проблемы при измененных условиях. Очевидно, что эти особенности мышления напрямую зависят от особой организованности памяти (свободных и связанных ассоциаций), воображения и восприятия.

В школе нередко встречаются такие случаи: способный к математике ученик мало интересуется ею и не проявляет особых успехов в овладении этим предметом. Но если учитель сумеет пробудить у него интерес к математике и склонность заниматься ею, то такой ученик, "захваченный" математикой, может быстро добиться больших успехов. Подобные случаи имели место и в жизни известных ученых-математиков (Н.И.Лобачевский, М.В. Остроградский, Н.Н. Лузин и другие).

Сегодня особенно важен поиск путей повышения системности в подходе к развитию личности способного ребенка. Учеными и практиками стала осознаваться необходимость специально организованной целостной системы обучения и воспитания таких детей и целенаправленной комплексной работы по выявлению и развитию их потенциала.

Это обусловлено тем, что одаренность является системным образованием личности, так как она проявляется не только в выдающихся способностях, а тесно связана с личностными и характерологическими особенностями человека.

Данная тема является актуальной, так как приметой последнего времени стало повышение внимания к проблеме целостности влияния на развитие всех сторон личности ребенка. В связи с этим активизировался интерес и к проблеме развития математических способностей, к организации процесса обучения одаренных детей. Это связано прежде всего с тем, что успех развития общества зависит от количества входящих в его состав одаренных и талантливых людей, от наиболее полной реализации ими своих возможностей.

Сущность и содержание математических способностей

Способности, индивидуально-психологические особенности личности, являющиеся условиями успешного выполнения определенной деятельности. Различают общие и специальные способности. Общие способности – это свойства ума, которые лежат в основе разнообразных специальных способностей, выделяемых в соответствии с теми видами деятельности, в которых они проявляются. В психологических исследованиях выявлены компоненты, составляющие структуру специальных способностей. Например, в математических различают способности к формализованному восприятию математического материала и математическому обобщению, рациональному решению задач, "свертыванию" рассуждения.

Прежде всего, следует отметить характеризующее способных математиков и совершенно необходимое для успешной деятельности в области математики "единство склонностей и способностей в призвании", выражающееся в избирательно-положительном отношении к математике, наличии глубоких и действенных интересов в соответствующей области, стремлении и потребности заниматься ею, страстной увлеченности делом. Нельзя стать творческим работником в области математики, не переживая увлеченности этой работой, — она порождает стремление к поискам, мобилизует трудоспособность, активность. Без склонности к математике не может быть подлинных способностей к ней. Если ученик не чувствует никакой склонности к математике, то даже хорошие способности вряд ли обеспечат вполне успешное овладение математикой. Роль, которую здесь играют склонность, интерес, сводится к тому, что интересующийся математикой человек усиленно занимается ею, а следовательно, энергично упражняет и развивает свои способности. На это указывают постоянно сами математики, об этом свидетельствуют вся их жизнь и творчество.

 Характеристики одаренных учащихся ярко свидетельствуют о том, что способности действенно развиваются только при наличии склонностей или даже своеобразной потребности в математической деятельности. Все одаренные дети обладают обостренным интересом к математике, склонностью заниматься ею, ненасытным стремлением к приобретению знаний по математике, решению задач.

Но если способности, как правило, связаны со склонностью, то это не носит все-таки характера всеобщего закона. Ошибочно было бы, скажем, диагностировать наличие или отсутствие способностей по тому, имеется ли и как ярко выражена склонность к соответствующему виду деятельности. В отдельных случаях здесь может быть и расхождение.

Переживаемые человеком эмоции являются важным фактором развития способностей к любой деятельности, не исключая и математической. Радость творчества, чувство удовлетворения от напряженной умственной работы, эмоциональное наслаждение этим процессом повышают умственный тонус человека, мобилизуют его силы, заставляют преодолевать трудности. Равнодушный человек не может быть творцом. Одаренные дети отличаются глубоким эмоциональным отношением к математической деятельности, переживают настоящую радость, вызванную каждым новым достижением.

Большое значение в математическом творчестве имеют своеобразные эстетические чувства. Известный математик А. Пуанкаре писал о подлинно эстетическом чувстве, которое переживают математики, - чувстве математической красоты, гармонии чисел и форм, о чувстве геометрического изящества. "Математик творит, потому что красота мыслительных построений приносит ему радость", — писал Г. Ревеш. Это переживание изящества решения было очень характерным для способных учащихся.И весь их облик свидетельствовал о переживаемом ими эстетическом чувстве .

Возможность полного и интенсивного развития математических способностей, как и способностей вообще, всецело зависит от уровня развития характерологических черт, особенно волевых черт характера.

Как бы ни были блестящи способности человека, но если у него нет привычки усидчиво и упорно работать, он вряд ли способен достигнуть больших успехов в деятельности. Он в лучшем случае так и останется лишь потенциально способным. Упорство, настойчивость, работоспособность, трудолюбие постоянно проявляются в математической деятельности одаренных учащихся. Впрочем, бывают и исключения. Некоторые школьники, обладающие математическими способностями, ошибочно считают, что в области математики им не надо особенно трудиться, так как способности их "вывезут". Учителя и родители должны постоянно убеждать их в том, что овладение математикой даже при наличии способностей требует трудолюбия, настойчивости, усидчивости, должны терпеливо воспитывать эти качества, побуждать школьников не отступать перед трудностями при решении математических задач, доводить дело до конца.

Разумеется, все сказанное выше о характерологических чертах ученого-математика надо понимать в том смысле, что указанные черты могут проявляться избирательно, только в математической деятельности, не характеризуя других сторон его жизни и деятельности. Совершенно правильно указывают А. Г. Ковалев и В. Н. Мясищев, что ученый, в том числе и математик, может иметь слабую волю, плохую работоспособность, быстро утомляться, но в математической деятельности он же может проявлять совсем другие черты: высокую организованность, настойчивость, работоспособность.

Анализируя схему структуры математической одаренности, мы можем заметить, что определенные моменты в характеристике перцептивной, интеллектуальной и мнемической сторон математической деятельности имеют общее значение. Поэтому развернутую схему структуры можно представить и в иной, чрезвычайно сжатой формуле: математическая одаренность характеризуется обобщенным, свернутым и гибким мышлением в сфере математических отношений, числовой и знаковой символики и математическим складом ума. Эта особенность математического мышления приводит к увеличению скорости переработки математической информации (что связано с заменой большого объема информации малым объемом — за счет обобщения и свертывания) и, следовательно, экономии нервно-психических сил. Указанные способности в разной степени выражены у способных, средних и неспособных учеников. У способных при некоторых условиях такие ассоциации образуются "с места", при минимальном количестве упражнений. У неспособных же они образуются с чрезвычайным трудом. Для средних же учащихся необходимым условием постепенного образования таких ассоциаций является система специально организованных упражнений, тренировка.

Специфичность математических способностей. Возникает вопрос: в какой степени выделенные нами компоненты являются специфически математическими способностями?

Рассмотрим с этой точки зрения одну из основных способностей, выделенных нами в структуре математической одаренности,— способность к обобщению математических объектов, отношений и действий. Разумеется, способность к обобщению — по природе своей общая способность и обычно характеризует общее свойство обучаемости. Но речь-то идет в данном случае не о способности к обобщению, а о способности к обобщению количественных и пространственных отношений, выраженных в числовой и знаковой символике.

Чем можно аргументировать  точку зрения, заключающуюся в том, что способность к обобщению математического материала есть специфическая способность?

Во-первых, тем, что эта способность проявляется в специфической сфере и может не коррелировать с проявлением соответствующей способности в других областях. Иными словами, человек, талантливый вообще, может быть бездарным в математике. Д. И. Менделеев в школе отличался большими успехами в области математики и физики и получал нули и единицы по языковым предметам. А. С. Пушкин, судя по биографическим данным, учась в лицее, пролил много слез над математикой, приложил много трудов, но "успехов приметных не оказал".

Правда, есть немало случаев и сочетания математической и, например, литературной одаренности. Математик С. Ковалевская была талантливой писательницей, ее литературные произведения оценивались весьма высоко. Известный математик XIX в, В. Я. Буняковский был поэтом. Английский профессор математики Ч. Л. Доджсон (XIX в.) был талантливым детским писателем, написал под псевдонимом Льюиса Кэррола известную книгу "Алиса в стране чудес". С другой стороны, поэт В. Г. Бенедиктов написал популярную книгу по арифметике. А. С. Грибоедов успешно учился на математическом факультете университета. Известный драматург А. В. Сухово-Кобылин получил математическое образование в Московском университете, проявлял большие способности к математике и за работу "Теория цепной линии" получил золотую медаль. Серьезно интересовался математикой Н. В. Гоголь. М. Ю. Лермонтов очень любил решать математические задачи. Серьезно занимался методикой преподавания арифметики Л. Н. Толстой.

Во-вторых, можно указать на целый ряд зарубежных исследований, которые показали, правда, основываясь только на тестовой методике и корреляционном и факторном анализе, слабую корреляцию между показателем интеллекта (известно, что способность к обобщению — одна из важнейших характеристик общего интеллекта) и тестами на достижения в математике.

В-третьих, для обоснования нашей точки зрения можно сослаться на учебные показатели (оценки) детей в школе. Многие учителя указывают, что способность к быстрому и глубокому обобщению может проявляться в каком-нибудь одном предмете, не характеризуя учебной деятельности школьника по другим предметам

Все сказанное выше позволяет  сформулировать положение о специфичности математических способностей в следующем виде. Те или иные особенности умственной деятельности школьника могут характеризовать только его математическую деятельность, проявляться только в сфере пространственных и количественных отношений, выраженных средствами числовой и знаковой символики, и не характеризовать других видов его деятельности, не коррелировать с соответствующими проявлениями в других областях. Таким образом, общие по своей природе умственные способности (например, способность к обобщению) могут в ряде случаев выступать как специфические способности (способность к обобщению математических объектов, отношений и действий).

Мир математики — мир количественных и пространственных отношений, выраженных посредством числовой и знаковой символики, очень специфичен и своеобразен. Математик имеет дело с условными символическими обозначениями пространственных и количественных отношений, мыслит ими, комбинирует, оперирует ими. И в этом очень своеобразном мире, в процессе весьма специфической деятельности общая способность так преобразуется, так трансформируется, что, оставаясь общей по своей природе, выступает уже как специфическая способность.

Разумеется, наличие специфических проявлений общей способности никак не исключает возможности других проявлений этой же общей способности (как наличие у человека способностей к математике не исключает наличия у него же способностей и в других областях).

О природе математических способностей. По этому поводу В.А. Крутецкий утверждает: "Материалы нашего исследования — анализ многочисленной литературы, анализ случаев чрезвычайно высокой математической одаренности в детском и зрелом возрасте (последнее — по биографическим материалам) — позволяют выделить некоторые факты, представляющие особый интерес для постановки вопроса о природе математической одаренности. Эти факты таковы: 1) частое (хотя и не обязательное) весьма раннее формирование способностей к математике, нередко в неблагоприятных условиях (например, при явном противодействии родителей, опасающихся столь раннего яркого проявления способностей) и при отсутствии на первых порах систематического и целенаправленного обучения; 2) острый интерес и склонность к занятиям математикой, также часто проявляющиеся в раннем возрасте; 3) большая (и часто избирательная) работоспособность в области математики, связанная с относительно малой утомляемостью в процессе напряженных занятий математикой, и 4) характеризующая очень способных к математике людей математическая направленность ума как своеобразная тенденция воспринимать многие явления через призму математических отношений, осознавать их в плане математических категорий»

Все это позволяет выдвинуть гипотезу о роли прирожденных функциональных особенностей мозга в случаях особой математической одаренности — мозг некоторых людей своеобразно ориентирован (настроен) на выделение из окружающего мира раздражителей типа пространственных и числовых отношений и символов и на оптимальную работу именно с такого рода раздражителями. В ответ на раздражители, имеющие математическую характеристику, связи образуются относительно быстро, легко, с меньшими усилиями и меньшей затратой сил. Аналогично неспособность к математике (имеются в виду также крайние случаи) имеет своей первопричиной большую затрудненность выделения мозгом раздражителей типа математических обобщенных отношений, функциональных зависимостей, числовых абстрактов и символов и затрудненность операций с ними. Иными словами, некоторые люди обладают такими прирожденными характеристиками строения и функциональных особенностей мозга, которые крайне благоприятствуют (или, наоборот, весьма не благоприятствуют) развитию математических способностей.

И на вопрос: "Математиком можно стать или им нужно родиться?" — мы гипотетически ответили бы так: "Обычным математиком можно стать; выдающимся, талантливым математиком нужно и родиться".

Выяснение физиологической природы математических способностей является важной задачей дальнейших исследований в этой области. Современный уровень развития психологии и физиологии вполне позволяет поставить вопрос о физиологической природе и физиологических механизмах некоторых специфических способностей человека.

Таким образом, В.А. Крутецкий установил, что для успешного выполнения математической деятельности необходимо:

- активное, положительное отношение к предмету, склонность заниматься им, переходящая на высоком уровне развития в страстную увлеченность;

- ряд черт характера, прежде всего трудолюбие, организованность, самостоятельность, целеустремленность, настойчивость, а также устойчивые интеллектуальные чувства;

- наличие во время деятельности благоприятных для ее выполнения психических состояний;

- определенный фонд знаний, умений и навыков в соответствующей области;

- отвечающие требованиям данной деятельности индивидуально-психологические особенности в сенсорной и умственной сферах.

При этом первые четыре категории перечисленных свойств следует рассматривать как общие свойства, необходимые для всякой деятельности, а не считать их компонентами способностей, так как иначе компонентами способностей должны считаться интересы и склонности, черты характера, психические состояния, а также умения и навыки.

Последняя группа качеств является специфической, определяющей успешность только в конкретном виде деятельности. Это объясняется тем, что эти качества, прежде всего, проявляются в специфической сфере и не связаны с проявлением способностей в других областях.

2. Развитие математических способностей у детей младшего школьного возраста

В современной психологии признается, что способности в значительной степени обусловлены задатками человека, его внутренним индивидуально-психологическим потенциалом. Словарь психологических терминов определяет способности следующим образом: это качества личности, определяющие успешность овладения той или иной деятельностью и совершенствование в ней . Там же отмечено, что способности тесно связаны с физиологическими особенностями индивида (и именно в этом смысле люди не равны). В известной монографии В.А. Крутецкого отмечается, что математические способности - это индивидуально-психологические особенности человека, помогающие ему при прочих равных условиях относительно быстрее, лучше и глубже овладевать знаниями, умениями и навыками в области математики . В том же смысле трактует понятие способностей и известный специалист в области дошкольной психологии О.М. Дьяченко, рассматривая способности как некоторые психические свойства, обусловливающие возможности человека в тех или иных видах деятельности .

Безусловно, способности обусловлены индивидуальными различиями психики человека, в основе которых лежат генетические комбинации биологических (нейрофизиологических) компонентов. Однако пока еще нет доказательств того, что те или иные свойства нервных тканей напрямую влияют на проявление или отсутствие у человека тех или иных способностей. Более того, целенаправленная компенсация неблагоприятных природных задатков может привести к формированию личности, обладающей ярко выраженными способностями, чему в истории есть немало примеров. Математические способности относятся к группе так называемых специальных способностей (как и музыкальные, изобразительные и др.). Для их проявления и дальнейшего развития требуется усвоение определенного запаса знаний и наличие определенных умений, в том числе и умения применять имеющиеся знания в мыслительной деятельности.

Математика является одним из тех предметов, где индивидуальные особенности психики ребенка (внимание, восприятие, память, мышление, воображение) имеют решающее значение для его усвоения. За важными характеристиками поведения, за успешностью (или неуспешностью) учебной деятельности часто скрываются те или иные природные динамические особенности личности. Нередко они порождают и различия в знаниях - их глубине, прочности, обобщенности. По этим качествам знаний, относящимся - наряду с ценностными ориентациями, убеждениями, навыками - к содержательной стороне психической жизни человека, обычно судят об одаренности детей. Индивидуальность и одаренность - вещи взаимосвязанные.

Исследователи, такие, как А. Н. Колмогоров, В. А. Крутецкий, В. В. Давыдов, З. И. Калмыкова, И. В. Дубровина, К. А. Рыбников и др., выделяют такие понятия, как глубина мышления, т.е. умение проникать в сущность каждого изучаемого факта и явления, видеть их взаимосвязи с другими фактами и явлениями, выявлять специфические, скрытые особенности в изучаемом материале , а также целенаправленность мышления, сочетающаяся с его широтой, т.е. способностью к формированию обобщенных способов действий, умением охватить проблему целиком, не упуская деталей. Психологический анализ этих категорий показывает, что в их основе должна лежать специально сформированная или природная склонность к структурному подходу к проблеме и предельно высокая устойчивость, концентрация и большой объем внимания.

Таким образом, индивидуальные различия психики и особенности личности каждого ученика в отдельности, под которыми понимается и темперамент, и характер, и задатки, и соматическая организация личности в целом, и ряд других факторов, оказывают существенное (а может быть, даже определяющее) влияние на формирование и развитие математического стиля мышления ребенка. Последнее является необходимым условием сохранения природного потенциала (задатков) ребенка в математике и его дальнейшего развития в ярко выраженные математические способности.

Можно говорить о возможности формирования "лаконизма" речи, "скрупулезной точности символики", "четкой расчлененности хода аргументации" и т.п. - все это формируется с методической точки зрения, хотя и является непростой методической задачей. Однако вряд ли возможно с одинаковой успешностью формировать у всех детей гибкость, широту и глубину мышления, а также совершенно специфическую способность "мыслить такими образами, которые непонятны и невидимы для тех, кто видит лишь голые символы" .

Опытные учителя-предметники хорошо знают, что математические способности - "товар штучный", и если не заниматься математически одаренным ребенком индивидуально (подчеркнем: индивидуально, а не в рамках кружка или факультативна), то эти способности могут и не развиться дальше. Именно поэтому часто бывает, что выделяющийся своими способностями и возможностями первоклассник к третьему классу "выравнивается", а в пятом и вовсе перестает отличаться от других детей. Учителя в этом случае склонны полагать, что способности ребенка были не особенно "выдающимися" и исчерпали себя. Так ли это?

Исследования психологов (Н.С. Лейтеса, Г. Мелхорна и др.) показывают, что могут быть два разных типа возрастного умственного развития: 1. "Ранний подъем" (в дошкольном или младшем школьном возрасте) - он обусловлен наличием ярких природных способностей и задатков соответствующего типа. В дальнейшем может произойти закрепление и обогащение умственных достоинств, что служит базой для становления выдающихся умственных способностей. При этом биографические данные свидетельствуют, что почти все ученые, проявившие себя до 20 лет, были математиками.

2. "Замедленный и растянутый подъем", т.е. постепенное накопление потенциала способностей. Отсутствие ранних достижений в этом случае не означает, что предпосылки больших или выдающихся способностей не выявятся в дальнейшем. Таким возможным "подъемом" является возраст 16-17 лет, когда фактором "интеллектуального взрыва" служит социальная переориентация личности, направляющая ее активность в это русло. Однако такой "подъем" может произойти и в более зрелые годы.

Для учителя начальных классов наиболее актуальной является проблема "раннего подъема", приходящаяся на возраст 6-9 лет. Не секрет, что один такой ребенок в классе, обладающий ярко выраженными способностями и к тому же сильным типом нервной системы, в буквальном смысле слова, "никому из детей и рта открыть на уроке не дает". И в результате, вместо того, чтобы максимально стимулировать и развивать маленького "вундеркинда", учитель заставляет его молчать и "держать свои гениальные мысли при себе, пока не спросят". Ведь в классе еще 25 других, не настолько сообразительных детей. Такое "притормаживание", если оно приобретает систематический характер, как раз и может привести к тому, что через 3-4 года ребенок "выравнивается" со сверстниками. А поскольку математические способности относятся к группе "ранних способностей", то именно математически способные дети будут "потеряны" в процессе этого "притормаживания" и "выравнивания".

Психологические исследования (Н. С. Лейтеса, А. И. Савенкова, М. А. Холодной и др.) показали, что, хотя развитие учебных способностей и творческой одаренности у детей с различными типологическими особенностями нервной системы протекает по-разному, равно высокой степени развития этих способностей могут добиться (достичь) дети с противоположными характеристиками нервной системы. Учителю, возможно, полезнее ориентироваться не на типологические особенности нервной системы детей, а на некоторые общие особенности способных и талантливых детей, которые отмечают большинство исследователей этой проблемы. Рассмотрим их подробнее.

Разные авторы (В. А. Крутецкий, С. И. Савенков, Н. С. Лейтес и др.) выделяют различные "комплекты" общих особенностей способных детей в рамках тех видов деятельности, в которых эти способности исследовались (математика, музыка, живопись и т.п.). В связи с этим учителю удобнее опираться на некоторые чисто процессуальные характеристики деятельности способных детей, которые, как показывает сопоставление ряда специальных психологических и педагогических исследований по этой теме, оказываются едиными для детей с различными видами способностей и одаренности. Отмечается, что большинству способных детей свойственны:

Повышенная склонность к умственным действиям и положительный эмоциональный отклик на любую новую умственную нагрузку. Эти дети не знают, что такое скука, - у них всегда есть занятие. Некоторые психологи вообще трактуют эту черту как возрастной фактор одаренности.

Постоянная потребность в возобновлении и усложнении умственной нагрузки, что влечет за собой постоянное повышение уровня достижений. Если способного ребенка не нагружать, то он сам находит себе нагрузку и может абсолютно "сам по себе" осваивать шахматы, музыкальный инструмент, радиодело, изучать энциклопедии и справочники, читать специальную литературу, сочинять романы и т.д.

Стремление к самостоятельному выбору дел и планированию своей деятельности. Способный ребенок часто имеет обо всем свое мнение, упорно отстаивает неограниченную инициативу своей деятельности, обладает высокой (и при этом почти всегда адекватной) самооценкой и весьма настойчив в самоутверждении в выбранной области.

Совершенная саморегуляция. Ребенок способен на полную мобилизацию сил для достижения цели; может неоднократно возобновлять умственные усилия, стремясь добиться поставленной цели; имеет как бы "изначальную" установку на преодоление любых трудностей, а неудачи его только "раззадоривают", заставляя с завидным упорством стремиться их преодолеть.

5. Повышенная работоспособность. Длительные интеллектуальные нагрузки не утомляют ребенка - наоборот, он чувствует себя хорошо именно в ситуации наличия проблемы, требующей решения. Чисто инстинктивно он умеет использовать все резервы своей психики и своего мозга, мобилизуя и переключая их в нужный момент.

Эти общие процессуальные характеристики деятельности способных детей, признаваемые психологами статистически значимыми, не присущи какому-то одному типу нервной системы человека. Учет этих характеристик в каждодневной педагогической практике позволяет говорить о возможности построения системы педагогических принципов организации работы со способными к математике детьми в начальных классах. Сформулируем эти принципы:

1. Отсутствие регламентации предметной активности. Данный принцип требует разработки специальных обучающих методических материалов по математике, конструирующих содержание с учетом проблемности, вариативности, личной значимости.

Эти материалы должны предоставлять ребенку свободу выбора темпа обучения, объема материала для "разовой" проработки, но в то же время должны нести и регулирующую функцию, поскольку речь не идет об абсолютно "свободном полете". Такова специфика математики как учебного предмета. Подобный материал должен быть построен на основе дозируемости, последовательности, преемственности и адекватности подачи математического содержания. Однако регламентацию в его изучении следует отменить, т.е. отменить принцип поурочности, реализованный сегодня абсолютно во всех учебных пособиях по математике для начальных классов. Очевидно, что с дидактической точки зрения способные дети нуждаются, как минимум, в обеспечении оптимального темпа продвижения в содержании и оптимального объема учебной нагрузки. Причем оптимального для себя, для своих способностей, т.е. более высокого, чем для обычных детей.

Способный ребенок требует постоянного усложнения умственной нагрузки, имеет устойчивую тягу к саморегуляции своей деятельности и повышенную работоспособность, которые он в обычных условиях массового обучения не может реализовать.

С достаточной уверенностью беремся утверждать, что в школе эти дети отнюдь не являются "благополучными" учениками, поскольку их учебная деятельность постоянно проходит не в зоне ближайшего развития, а далеко позади этой зоны. Таким образом, в отношении этих учеников (вольно или невольно) постоянно нарушается основной принцип дидактики развивающей педагогики, который требует обучения ребенка с учетом зоны его ближайшего развития. Отсюда очевидным является второй принцип:

2. Обеспечение содержательной нагрузки в зоне ближайшего развития. Этот принцип, общий для любой системы развивающего обучения, кажется неоригинальным в данном контексте, однако соблюдение именно этого принципа является сегодня наиболее проблемным для учителя начальных классов в области математического образования способных детей. Работа со способными детьми в начальных классах - ничуть не менее "больная" проблема, чем работа с неуспевающими учениками. Меньшая ее популярность в специальных педагогических и методических изданиях объясняется тем, что она меньше "бросается в глаза", так как двоечник Вася - вечный источник неприятностей для учителя, а то, что Петина пятерка и вполовину не отражает его возможностей, знает только учитель (и то не всегда) да Петины родители (если они занимаются этим вопросом специально). Постоянная "недогрузка" способного ребенка (а то, что является нормой для всех, - это для способного ребенка недогрузка) будет приводить к недостаточной стимуляции развития способностей и в итоге - к возможному угасанию этих способностей как невостребованных в учебной деятельности (ведущей в этот период жизни ребенка).

Есть и более серьезное и неприятное следствие вышеозначенной ситуации: способному ребенку слишком легко учиться на начальном этапе, и в результате у него недостаточно формируется умение преодолевать трудности, не вырабатывается "иммунитет" к неудачам, чем в большой мере объясняется массовый "обвал" успеваемости таких детей при переходе из начального в среднее звено.

3. Принцип диалогического взаимодействия и социального подкрепления. С педагогической позиции очевидно, что способный ребенок в наибольшей степени нуждается в диалогическом инструктивном стиле отношений с учителем, требующем большей информативности и обоснованности выдвигаемых требований со стороны учителя, субъектсубъектного взаимодействия, демократизации педагогического общения. Инструктивный стиль, в противоположность императивному, господствующему в начальной школе, предполагает апеллирование к личности ученика, учет его индивидуальных особенностей и ориентацию на них. Такой стиль отношений, в свою очередь, способствует развитию в детях независимости, инициативности и творческих потенций, что отмечается многими педагогами-исследователями (Ш.А. Амонашвили, Б.Т. Лихачевым и др.).

4. Принцип зеркала, или, как говорят математики, принцип симметричности, безусловно, является идеальным завершением системы принципов работы со способным ребенком по математике. Психологи формулируют его следующим образом: "наличие образца креативного поведения взрослого как организующего начала творческого развития ребенка" (С.Г. Глухова, М.И. Кошенова, Е.Е. Кравцова и другие). Иными словами, если учитель подает пример творческой математической деятельности, ребенок "впитывает" и "отражает" эту "творческость" в большой мере. В математическом развитии, пожалуй, более, чем в других областях знаний, наличие способного к математике взрослого рядом со способным к математике ребенком является значимо влияющим фактором развития математических способностей.

Однако для того, чтобы учитель массовой школы мог успешно справляться с организацией работы со способным ребенком по математике, недостаточно обозначить педагогические аспекты проблемы. Как показала тридцатилетняя практика реализации системы развивающего обучения, для того, чтобы эта проблема могла быть решена в условиях массовой начальной школы, необходимо конкретное и принципиально новое методическое обеспечение, в полном виде представленное учителю.

Создание специальных методических материалов по математике для работы со способными детьми - это единственно возможный в перспективе способ реализации принципа индивидуализации обучения в отношении этих детей в условиях обучения целого класса.

С педагогической позиции способный ребенок в наибольшей степени нуждается в инструктивном стиле отношений с учителем, требующем большей информативности и обоснованности выдвигаемых требований со стороны учителя. Инструктивный стиль в противоположность императивному стилю, господствующему в начальной школе, предполагает апеллирование к личности ученика, учет его индивидуальных особенностей и ориентацию на них. Такой стиль отношений способствует развитию независимости, инициативности и творческих потенций, что отмечается многими педагогами-исследователями.

Столь же очевидно, что с дидактической точки зрения способные дети нуждаются, как минимум, в обеспечении оптимального темпа продвижения в содержании и оптимального объема учебной нагрузки. Причем оптимального для себя, для своих способностей, т.е. более высокого, чем для обычных детей. Если учесть при этом необходимость в постоянном усложнении умственной нагрузки, настойчивую тягу к саморегуляции своей деятельности и повышенную работоспособность этих детей, можно с достаточной уверенностью утверждать, что в школе эти дети отнюдь не являются "благополучными" учениками, поскольку их учебная деятельность постоянно проходит не в зоне ближайшего развития. Таким образом, в отношении этих учеников мы (вольно или невольно) постоянно нарушаем нами провозглашаемое кредо, основной принцип развивающего обучения, требующий обучения ребенка с учетом зоны его ближайшего развития.