Математический марафон

Математикалық марафон 8 сынып  Есеп1: Төрт спортшы: Әлия, Ғалия, Мадина, Динара гимнастикадан өткен  жарыста алдыңғы 4 орынды алды, бірақ олардың кез келген екеуі бұл орынды  бөліскен жоқ.  Кім нешінші орын алды?­ деген сұраққа үш жанкүйер былай деп жауап берді.  а) Әлия – ІІ, Динара – ІІІ ә) Әлия – І, Ғалия – ІІ б) Мадина – ІІ, Динара – ІҮ.  Жанкүйерлердің әрқайсысы бір рет қателескенін ескеріп, әр спортшының  қандай орын алғанын табуы керек.  Жауабы: Әлия –І Мадина – ІІ  Динара – ІІІ  Ғалия – ІҮ Ә І Ғ ІІ М ІІІ Д ІҮ  Аты І ІІ ІІІ ІҮ Әлия + + ­ ­ Мадина ­ + ­ ­ Динара ­ ­ + + Ғалия ­ ­ ­ ­ Есеп 2.  Үш адам сөйесіп тұр: Ақбаев, Қарабаев, Сарыбаев. Олардың қара шаштысы  Ақбаевқа айтады. «Біреуіміздің шашымыз ақ, екіншінің шашы қара,  үшіншісінің шашы сары, бірақ ешкімнің шашының түсі фамилясына сәйкес  келмейді». Олардың әрқайсысының шаштарының түстері қандай?  Шешуі Тегі Сары Қара Ақ Ақбаев + ­ ­ Сарыбаев ­ + ­ Қарабаев ­ ­ + Жауабы: Ақбаев – сары шашты Қарабаев – ақ шашты Сарыбаев – қара шашты Логикалық есептердің келесі түрі­ өлшеумен байланысты. Есеп3: Бөтелкеде, стаканда, құмырада, банкада сүт, лимонад, квас, су бар. Су мен сүт бөтелкеде емес.  Лимонад құйылған ыдыс құмыра мен квас құйылған ыдыстың арасында.  Банкаға құйылған лимонад та су да емес. Стакан банка мен сүт құйылған  ыдыстың қасында. Қандай сұйық қай ыдысқа құйылған. Жауабы: Сүт құмыраға, лимонад бөтелкеге, квас банкага, су стаканга  құйылған.  Есеп4:Екі тостағанның біріне толы кофе,біріне толы сүт бар.Бір қасық кофені екінші тостағандағы сүтке құйып,араластырды.Содан кейін бір қасық шыққан  қоспаны қайтадан кофеге құйды.Қайсысы көп: сүті бар тостағандағы кофе  ме,әлде кофе құйылған тостағандағы сүт пе?Жауабы: тең Есеп: Ыдыстағы 10 л сүттен 3 литрлік бос ыдыстың көмегімен 7 литрлік  ыдысқа 5л құйып алу керек.Қалай орындаса болады? Жауабы:3 литрлік ыдыспен 6 литрді 7л ыдысқа сүтті құямыз.Тағы 3л сүтті  алып 1литрін 7л ыдысқа толтырамыз ,сонда 2л сут ыдыста қалады.7л сүтті 10л ыдысқа құямыз,2 л сүтті 3литрліктен 7 л ыдысқа құйып,тағы 3л сүт,барлығы 5 л сүт болады. Есеп 5. Ақдананың ойлаған санынан ең үлкен бір таңбалы санды азайтып,  нәтижеге ең кіші екі таңбалы санды қосқанда 100 шықты. Ақдана қандай сан  ойлады?  Шешуі: (х­9) + 11 =100  х – 9 = 99 х = 108 Жауабы: 108 Есеп 6. Қанаттан «сыныпта неше қыз бала бар?» ­ деп сұрағанда, ол «қыз  балалардың санынан ең кіші екі таңбалы санды азайтып, нәтижеге 80 – ді  қосса, 88 шығады» деп жауап берді. Сыныпта неше қыз бар?  Шешуі: қыздар саны – х Т/қ: (х ­ 11) + 80= 88 х – 11 = 8 х = 19  Жауабы: 19 қыз Есеп7 Қазір ағасы қарындасынан 5 жас үлкен. 4 жылдан соң, олардың  жастарының қосындысы 19 жас болады. Қазір қарындасы неше жаста, ағасы  неше жаста? Шешуі:  Белгілеу енгіземіз: қарындасы – х ағасы – х + 5  4 жылдан соң қарындасы – х + 4 ағасы – х + 5 + 4 Т/қ: (х + 4) + (х + 5 + 4) = 19 х + 4 + х + 9 = 19 2х = 19 – 13 2х = 6 х = 3 Жауабы: Қарындасы – 3 жаста Ағасы – 8 жаста Есеп8. Қазір әкесінің жасы баласынан 10 есе үлкен, ал 10 жылдан кейін тек 4  есе ғана үлкен болады. Баласы неше жаста? Шешуі: 4(х+10)=10х+10 4х+40=10х+10 10х­4х=40­10 6х=30 х=5 Жауабы: баласы – 15 жаста, әкесі – 60 жаста Есеп9. Аулада тауықтар мен лақтар бар. Олардың 19 басы және 46 аяғы бар.  Аулада неше тауық және лақ бар?  Белгісізге белгілеу енгіземіз: Бастары: тауық – х  Аяқтары: тауық – 2х Теңдеулер жүйесін құрамыз 38 – 2у + 4у =46 2у=46 – 38 2у=8 у=4 х = 19 – 4 =15  х = 15  Есептің жауабы: 15 – тауық, 4 – лақ Есеп10 Қыңырдың жасы. Есепке құмар бір кісі қыңырдан:  ­ Жасың нешеде? – деп сұрапты. Сонда ол: ­ Менің 3 жылдан кейінгі жасымда үш еселеңіз, содан соң 3 жыл бұрынғы  жасымды үш еселеңіз. Алғашқы көбейтіндіден соңғы нәтижені шегеріңіз.  Сонда менің жасымды табасыз. Ол кісі нешеде? Шешуі: Қыңырдың қазіргі жасын ­х десек, есеп шарты бойынша: 3(х+3) – 3(х­3) = 3х+9 – 3х + 9 =18 Жауабы: Қыңырдың жасы. 18­де. Есеп11Ұрылар мен кемпір Ертеде байлардың естігінде жүріп күн кешкен, панасы жоқ жалғыз кемпір  болыпты. Жаз шығып, ел жайлауға көшкенде, сүйенері жоқ кемпір жалғыз  қалады. Түн ішінде кемпірдің жалғыз сиырын ұрламақ болып ұрылар келеді.  Кемпір : «Ә, бұлар менің жалғыз сиырымды нысанаға алған екен, мен де  бұларды алайын»,­ деп ойлайды. Сөйтіп, жалма­жан бір шелек суды сапырып  отырып, мынадай өлең айтыпты : «Сапырып – сапырып Сарманға бер, Құйып – құйып Құрманға бер, Есіктегі екеуге бер, Төрдегі төртеуге бер, Өзің іш те маған бар» ­ деген екен. Мұны естіген ұрылар: ­ «Қой мұнымыз бекер болар. Бұл үй толы кісі, әрі бізден екі есе артық екен,  кетейік», ­ деп, кетіп қалыпты.Кемпір тапқырлығымен ұрыларды осылай  қорқытыпты. Сонда үйдегі адам нешеу , ұры нешеу? Шешуі : 1+1+2+4+1+1=10 адам. 10 : 2= 5 ұры. Жауабы: 10 адам, 5 ұры. Есеп12«100 қаз» Бір топ қазға қарсы келе жатқан жалғыз қаз «Сәлеметсіздерме жүз қаз» деп сәлем береді. Сонда топ қаздың басшысы: «Біз жүз қаз емеспіз, егер біз қанша болсақ, сонша қаз оның жарытсы, ж/е сені  қоссақ, сонда ғана 100 боламыз» Сонда топ қаздың саны нешеу болған? Шығарылуы: х + х + х + х + 1 = 100 2х + х = 99 17х = 396. х = 36. Ж/бы: 36 қаз Есеп13 1­ден 99­ға дейінгі барлық сандар қатарынан жазылған. 5 цифры  қанша рет кездеседі? 20 рет.  Есеп141­ден 100­ге дейінгі барлық натурал сандар тақ және жұп деп екі  жұпқа бөлінген. Қайсы топтың сандарын жазуға пайдаланылған барлық  цифрларының қосындысы көп және қанша көп екенін анықта.  Жауабы Әрбір ондықта тақ сандардың цифрларының қосындысы мен жұп  сандардың цифрларының қосындысының айырмасы 5, ал жүздікте 10 ондық  бар,демек, 5х10­1, өйткені 100 саны­ жұп. Тақ сандардың цифрларының  қосындысы 49­ға артық болып шығады. Есеп15. Әділ өзінің досына: « Мен санап шықтым, мына кішкентай кітаптың  барлық бетін, бірінші бетінен бастап нөмірлеп шығу үшін, дәл 100 цифр керек  екен»­ деді.Кітапты көрмей тұрып, Әділ цифрлардың санын дұрыс санады ма,  жоқ па, тексере аласыз ба? Кітаптың барлық беті нөмірленгені белгілі.  Жауабы  Кітап 100 беттен кем. Алғашқы 9 бетке 9 цифр таңбасы кетеді,  келесі беттердің әрқайсысына 2 цифр ткерек, бұдан барлық бетке, 10­нан  бастап жұп санды цифр керек, тоғызбен қосқанда,бұл сан тақ қосындыны  береді, яғни 100­ге тең емес сан.  Есеп16. Кітаптың бетін номерлеу үшін 1392 цифр керек болды. Кітаптың беті  қанша?  Жауабы: 1392=1х9+2х90+3(х­99), мұндағы х=500.  Есеп17. Кітаптың қандай да бір бөлігі түсіп қалды. Түсіп қалған бөлігінің  бірінші бетінің нөмірі 387, ал соңғы бетінің номері осы цифрлардан тұрады,  бірақ басқа ретпен жазылған. Кітаптың неше беті түсіп қалған еді? Жауабы Түсіп қалған беттердің соңғысының нөмірі жұп сан, яғни 738.  Сонымен түсіп қалған бөлігі (738­386):2=176 беттен тұрады. Есеп18Натурал сандарды 1­ден бастап қатарынан жаза бастады. 1992 орында  қандай цифр тұр? Жауабы  1992­ші цифры 601­ші үш таңбалы санда бар. Шынымен: (1991­ (1х9+2х90)) :3=601. Бұл сан – 700. Іздеген цифрымыз 0 екен Есеп19Цифрларының барлығы әр түрлі болатын он таңбалы ең кіші санды  жаз.  Жауабы 1023456789.  Есеп20Цифрларының барлығы әр түрлі болатын ең үлкен он таңбалы санды  жаз. 9 876 543210.