Материал по подготовке к ОГЭ по математике (Геометрические задачи)

                

Вариант1.

1. Найдите боковую сторону 𝐴𝐵 трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷, если углы 𝐴𝐵𝐶 и 𝐵𝐶𝐷 равны   соответственно 45° и 150°, а 𝐶𝐷 = 26.

2.Биссектриса угла 𝐴 параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷 пересекает сторону 𝐵𝐶 в точке 𝐾.  Найдите периметр параллелограмма, если 𝐵𝐾 = 7, 𝐶𝐾 = 12

3. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно  15, а одна из диагоналей ромба равна 60. Найдите углы ромба.

4. Высота 𝐴𝐻 ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷 делит сторону 𝐶𝐷 на отрезки 𝐷𝐻 = 8 и 𝐶𝐻 = 2.

Найдите высоту ромба.

5. Биссектрисы углов 𝐴 и 𝐵 при боковой стороне 𝐴𝐵 трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 пересекаются   в точке 𝐹. Найдите 𝐴𝐵, если 𝐴𝐹 = 24, 𝐵𝐹 = 10.

 

Вариант 2.

1. Отрезки 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 являются хордами окружности. Найдите длину хорды 𝐶𝐷,  если 𝐴𝐵 = 10, а расстояния от центра окружности до хорд 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 равны   соответственно 12 и 5.

2. Углы 𝐵 и 𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 равны соответственно 71° и 79°. Найдите 𝐵𝐶, если  радиус окружности, описанной около треугольника 𝐴𝐵𝐶, равен 8.

3. Отрезки 𝐴𝐵 и 𝐷𝐶 лежат на параллельных прямых, а отрезки 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷

пересекаются в точке 𝑀. Найдите 𝑀𝐶, если 𝐴𝐵 = 14, 𝐷𝐶 = 42, 𝐴𝐶 = 52.

4. Прямая, параллельная стороне 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶, пересекает стороны 𝐴𝐵   и 𝐵𝐶 в точках 𝑀 и 𝑁 соответственно. Найдите 𝐵𝑁, если 𝑀𝑁 = 17, 𝐴𝐶 = 51,  𝑁𝐶 = 32.

5. Катеты прямоугольного треугольника равны 18 и 24. Найдите высоту, проведённую   к гипотенузе.

Вариант 3.

1. Точка 𝐻 является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла 𝐵   треугольника 𝐴𝐵𝐶 к гипотенузе 𝐴𝐶. Найдите 𝐴𝐵, если 𝐴𝐻 = 6, 𝐴𝐶 = 24.

 

2. Прямая, параллельная основаниям трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷, пересекает её боковые   стороны 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 в точках 𝐸 и 𝐹 соответственно. Найдите длину отрезка 𝐸𝐹,   если 𝐴𝐷 = 42, 𝐵𝐶 = 14, 𝐶𝐹 : 𝐷𝐹 = 4 : 3.

3. Найдите боковую сторону 𝐴𝐵 трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷, если углы 𝐴𝐵𝐶 и 𝐵𝐶𝐷 равны   соответственно 30° и 120°, а 𝐶𝐷 = 25.

4Биссектриса угла 𝐴 параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷 пересекает сторону 𝐵𝐶 в точке 𝐾.  Найдите периметр параллелограмма, если 𝐵𝐾 = 5, 𝐶𝐾 = 14.

5. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно  10, а одна из диагоналей ромба равна 40. Найдите углы ромба.

 

Вариант   4.

1. Высота 𝐴𝐻 ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷 делит сторону 𝐶𝐷 на отрезки 𝐷𝐻 = 12 и 𝐶𝐻 =1.

Найдите высоту ромба.

2. Биссектрисы углов 𝐴 и 𝐵 при боковой стороне 𝐴𝐵 трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 пересекаются  в точке 𝐹. Найдите 𝐴𝐵, если 𝐴𝐹 = 12, 𝐵𝐹 = 5.

3. Отрезки 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 являются хордами окружности. Найдите длину хорды 𝐶𝐷,  если 𝐴𝐵 = 12, а расстояния от центра окружности до хорд 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 равны   соответственно 8 и 6.

4. Углы 𝐵 и 𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 равны соответственно 73° и 77°. Найдите 𝐵𝐶 если   радиус окружности, описанной около треугольника 𝐴𝐵𝐶 равен 9.

5. Отрезки 𝐴𝐵 и 𝐷𝐶 лежат на параллельных прямых, а отрезки 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷

пересекаются в точке M. Найдите 𝑀𝐶, если 𝐴𝐵 = 13, 𝐷𝐶 = 65, 𝐴𝐶 = 42.

 

Вариант 5.

1. Прямая, параллельная стороне 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶, пересекает стороны 𝐴𝐵   и 𝐵𝐶 в точках 𝑀 и 𝑁 соответственно. Найдите 𝐵𝑁, если 𝑀𝑁 = 11, 𝐴𝐶 = 44,  𝑁𝐶 = 18.

2. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20. Найдите высоту, проведённую   к гипотенузе.

 

3. Точка 𝐻 является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла 𝐵   треугольника 𝐴𝐵𝐶 к гипотенузе 𝐴𝐶. Найдите 𝐴𝐵, если 𝐴𝐻 = 7, 𝐴𝐶 = 28.

4. Прямая, параллельная основаниям трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷, пересекает её боковые  стороны 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 в точках 𝐸 и 𝐹 соответственно. Найдите длину отрезка 𝐸𝐹,   если 𝐴𝐷 = 25, 𝐵𝐶 = 15, 𝐶𝐹 : 𝐷𝐹 = 3 : 2.

5. Точка 𝐻 является основанием высоты 𝐵𝐻, проведённой из вершины прямого угла  𝐵 прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶. Окружность с диаметром 𝐵𝐻 пересекает   стороны 𝐴𝐵 и 𝐶𝐵 в точках 𝑃 и 𝐾 соответственно. Найдите 𝑃𝐾, если 𝐵𝐻 = 14.

 

Вариант 6.

1. Окружность с центром на стороне 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 проходит через вершину   𝐶 и касается прямой 𝐴𝐵 в точке 𝐵. Найдите диаметр окружности, если 𝐴𝐵 = 9,   𝐴𝐶 = 12.

2Окружность пересекает стороны 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 в точках 𝐾 и 𝑃  соответственно и проходит через вершины 𝐵 и 𝐶. Найдите длину отрезка 𝐾𝑃,  если 𝐴𝐾 = 6, а сторона 𝐴𝐶 в 1,5 раза больше стороны 𝐵𝐶.

3. Отрезки 𝐴𝐵 и 𝐷𝐶 лежат на параллельных прямых, а отрезки 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷

пересекаются в точке 𝑀. Найдите 𝑀𝐶, если 𝐴𝐵 = 12, 𝐷𝐶 = 48, 𝐴𝐶 = 35.

4. Прямая, параллельная стороне 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶, пересекает стороны 𝐴𝐵   и 𝐵𝐶 в точках 𝑀 и 𝑁 соответственно. Найдите 𝐵𝑁 если 𝑀𝑁 = 13, 𝐴𝐶 = 65,    𝑁𝐶 = 28.

5. Катеты прямоугольного треугольника равны 21 и 28. Найдите высоту, проведённую   к гипотенузе..

 

Вариант7.

1.Найдите боковую сторону 𝐴𝐵 трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷, если углы 𝐴𝐵𝐶 и 𝐵𝐶𝐷 равны  соответственно 45° и 120°, а 𝐶𝐷 = 40.

2. Биссектриса угла 𝐴 параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷 пересекает сторону BC в точке 𝐾.  Найдите периметр параллелограмма, если 𝐵𝐾 = 8, 𝐶𝐾 = 13.

3. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно   11, а одна из диагоналей ромба равна 44. Найдите углы ромба.

4. Высота 𝐴𝐻 ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷 делит сторону 𝐶𝐷 на отрезки 𝐷𝐻 = 12 и 𝐶𝐻 = 3.  Найдите высоту ромба.

5. Биссектрисы углов 𝐴 и 𝐵 при боковой стороне 𝐴𝐵 трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 пересекаются   в точке 𝐹. Найдите 𝐴𝐵, если 𝐴𝐹 = 12, 𝐵𝐹 = 9.

 

Вариант8.

1Отрезки 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 являются хордами окружности. Найдите длину хорды 𝐶𝐷,  если 𝐴𝐵 = 18, а расстояния от центра окружности до хорд 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 равны   соответственно 12 и 9.

2. Углы 𝐵 и 𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 равны соответственно 61° и 89°. Найдите 𝐵𝐶, если  радиус окружности, описанной около треугольника 𝐴𝐵𝐶, равен 10.

3. Точка 𝐻 является основанием высоты 𝐵𝐻, проведённой из вершины прямого угла   𝐵 прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶. Окружность с диаметром 𝐵𝐻 пересекает   стороны 𝐴𝐵 и 𝐶𝐵 в точках 𝑃 и 𝐾 соответственно. Найдите 𝑃𝐾, если 𝐵𝐻 = 12.

4. Окружность с центром на стороне 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 проходит через вершину  𝐶 и касается прямой 𝐴𝐵 в точке 𝐵. Найдите диаметр окружности, если 𝐴𝐵 = 2,  𝐴𝐶 = 8.

5. Окружность пересекает стороны 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 в точках 𝐾 и 𝑃   соответственно и проходит через вершины 𝐵 и 𝐶. Найдите длину отрезка 𝐾𝑃, если 𝐴𝐾 = 18, а сторона 𝐴𝐶 в 1,2 раза больше стороны 𝐵𝐶.

Вариант 9.

1. Отрезки 𝐴𝐵 и 𝐷𝐶 лежат на параллельных прямых, а отрезки 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷

пересекаются в точке 𝑀. Найдите 𝑀𝐶, если 𝐴𝐵 = 12, 𝐷𝐶 = 48, 𝐴𝐶 = 35.

2. Прямая, параллельная стороне 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶, пересекает стороны 𝐴𝐵  и 𝐵𝐶 в точках 𝑀 и 𝑁 соответственно. Найдите 𝐵𝑁 если 𝑀𝑁 = 13, 𝐴𝐶 = 65,  𝑁𝐶 = 28.

3. Катеты прямоугольного треугольника равны 21 и 28. Найдите высоту, проведённую   к гипотенузе.

 

4. Точка 𝐻 является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла 𝐵   треугольника 𝐴𝐵𝐶 к гипотенузе 𝐴𝐶. Найдите 𝐴𝐵, если 𝐴𝐻 = 8, 𝐴𝐶 = 32.

5. Прямая, параллельная основаниям трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷, пересекает её боковые  стороны 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 в точках 𝐸 и 𝐹 соответственно. Найдите длину отрезка 𝐸𝐹,  если 𝐴𝐷 = 44, 𝐵𝐶 = 24, 𝐶𝐹 : 𝐷𝐹 = 3 : 1.

 

Вариант 10.

1.     Найдите боковую сторону 𝐴𝐵 трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷, если углы 𝐴𝐵𝐶 и 𝐵𝐶𝐷 равны  соответственно 45° и 120°, а 𝐶𝐷 = 34.

2.     Биссектриса угла 𝐴 параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷 пересекает сторону 𝐵𝐶 в точке 𝐾.Найдите периметр параллелограмма, если 𝐵𝐾 = 3, 𝐶𝐾 = 19.

3. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно   12, а одна из диагоналей ромба равна 48. Найдите углы ромба.

4. Высота 𝐴𝐻 ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷 делит сторону 𝐶𝐷 на отрезки 𝐷𝐻 = 15 и 𝐶𝐻 = 2.

Найдите высоту ромба.

5. Биссектрисы углов 𝐴 и 𝐵 при боковой стороне 𝐴𝐵 трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 пересекаются  в точке 𝐹. Найдите 𝐴𝐵, если 𝐴𝐹 = 15, 𝐵𝐹 = 8.

 

Вариант 11.

1.     Отрезки 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 являются хордами окружности. Найдите длину хорды 𝐶𝐷,  если 𝐴𝐵 = 16, а расстояния от центра окружности до хорд 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 равны  соответственно 15 и 8.

2.     Углы 𝐵 и 𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 равны соответственно 63° и 87°. Найдите 𝐵𝐶, если  радиус окружности, описанной около треугольника 𝐴𝐵𝐶, равен 11.

3.     Точка 𝐻 является основанием высоты 𝐵𝐻, проведённой из вершины прямого угла  𝐵 прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶. Окружность с диаметром 𝐵𝐻 пересекает  стороны 𝐴𝐵 и 𝐶𝐵 в точках 𝑃 и 𝐾 соответственно. Найдите 𝑃𝐾, если 𝐵𝐻 = 12.

4. Окружность с центром на стороне 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 проходит через вершину   𝐶 и касается прямой 𝐴𝐵 в точке 𝐵. Найдите диаметр окружности, если 𝐴𝐵 = 1,   𝐴𝐶 = 5.

5. Окружность пересекает стороны 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 в точках 𝐾 и 𝑃   соответственно и проходит через вершины 𝐵 и 𝐶. Найдите длину отрезка 𝐾𝑃, если 𝐴𝐾 = 7, а сторона 𝐴𝐶 в 1,4 раза больше стороны 𝐵𝐶.

Вариант 12.

1. Отрезки 𝐴𝐵 и 𝐷𝐶 лежат на параллельных прямых, а отрезки 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷

пересекаются в точке 𝑀. Найдите 𝑀𝐶, если 𝐴𝐵 = 11, 𝐷𝐶 = 22, 𝐴𝐶 = 27.

2. Прямая, параллельная стороне 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶, пересекает стороны 𝐴𝐵   и 𝐵𝐶 в точках 𝑀 и 𝑁 соответственно. Найдите 𝐵𝑁, если 𝑀𝑁 = 14, 𝐴𝐶 = 21,   𝑁𝐶 = 10.

3. Катеты прямоугольного треугольника равны 10 и 24. Найдите высоту, проведённую   к гипотенузе.

4. Точка 𝐻 является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла 𝐵   треугольника 𝐴𝐵𝐶 к гипотенузе 𝐴𝐶. Найдите 𝐴𝐵, если 𝐴𝐻 = 5, 𝐴𝐶 = 45.

5. Прямая, параллельная основаниям трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷, пересекает её боковые   стороны 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 в точках 𝐸 и 𝐹 соответственно. Найдите длину отрезка 𝐸𝐹,  если 𝐴𝐷 = 33, 𝐵𝐶 = 18, 𝐶𝐹 : 𝐷𝐹 = 2 : 1.

 

Вариант 13.

1.     Найдите боковую сторону 𝐴𝐵 трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷, если углы 𝐴𝐵𝐶 и 𝐵𝐶𝐷 равны  соответственно 60° и 135°, а 𝐶𝐷 = 36.

2.Прямая, параллельная основаниям трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷, пересекает её боковые стороны 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 в точках 𝐸 и 𝐹 соответственно. Найдите длину отрезка 𝐸𝐹, если 𝐴𝐷 = 45, 𝐵𝐶 = 20, 𝐶𝐹 : 𝐷𝐹 = 4 : 1.

3. Биссектриса угла 𝐴 параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷 пересекает сторону 𝐵𝐶 в точке 𝐾. Найдите периметр параллелограмма, если 𝐵𝐾 = 6, 𝐶𝐾 = 10.

4. Точка 𝐻 является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла 𝐵  треугольника 𝐴𝐵𝐶 к гипотенузе 𝐴𝐶. Найдите 𝐴𝐵, если 𝐴𝐻 = 10, 𝐴𝐶 = 40.

5. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно  13, а одна из диагоналей ромба равна 52. Найдите углы ромба.

 

Вариант 14.

1.     Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 36. Найдите высоту, проведённую  к гипотенузе.

2. Высота 𝐴𝐻 ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷 делит сторону 𝐶𝐷 на отрезки 𝐷𝐻 = 16 и 𝐶𝐻 = 4.

Найдите высоту ромба.

3. Прямая, параллельная стороне 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶, пересекает стороны 𝐴𝐵   и 𝐵𝐶 в точках 𝑀 и 𝑁 соответственно. Найдите 𝐵𝑁, если 𝑀𝑁 = 22, 𝐴𝐶 = 55,   𝑁𝐶 = 36.

4. Биссектрисы углов 𝐴 и 𝐵 при боковой стороне 𝐴𝐵 трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 пересекаются   в точке 𝐹. Найдите 𝐴𝐵, если 𝐴𝐹 = 16, 𝐵𝐹 = 12.

5. Отрезки 𝐴𝐵 и 𝐷𝐶 лежат на параллельных прямых, а отрезки 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷

пересекаются в точке 𝑀. Найдите 𝑀𝐶, если 𝐴𝐵 = 10, 𝐷𝐶 = 25, 𝐴𝐶 = 56.

 

Вариант 15.

1.     Отрезки 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 являются хордами окружности. Найдите длину хорды 𝐶𝐷,  если 𝐴𝐵 = 24, а расстояния от центра окружности до хорд 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 равны  соответственно 16 и 12.

2.     Окружность пересекает стороны 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 в точках 𝐾 и 𝑃  соответственно и проходит через вершины 𝐵 и 𝐶. Найдите длину отрезка 𝐾𝑃, если 𝐴𝐾 = 16, а сторона 𝐴𝐶 в 1,6 раза больше стороны 𝐵𝐶.

3.     Углы 𝐵 и 𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 равны соответственно 62° и 88°. Найдите 𝐵𝐶, если  радиус окружности, описанной около треугольника 𝐴𝐵𝐶, равен 12.

4.     Окружность с центром на стороне 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 проходит через вершину  𝐶 и касается прямой 𝐴𝐵 в точке 𝐵. Найдите диаметр окружности, если 𝐴𝐵 = 3,  𝐴𝐶 = 9.

5.     Точка 𝐻 является основанием высоты 𝐵𝐻, проведённой из вершины прямого угла  𝐵 прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶. Окружность с диаметром 𝐵𝐻 пересекает  стороны 𝐴𝐵 и 𝐶𝐵 в точках 𝑃 и 𝐾 соответственно. Найдите 𝑃𝐾, если 𝐵𝐻 = 15.

 

 

Вариант 16.

1.     Найдите боковую сторону 𝐴𝐵 трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷, если углы 𝐴𝐵𝐶 и 𝐵𝐶𝐷 равны  соответственно 60° и 135°, а 𝐶𝐷 = 24.

2.Прямая, параллельная основаниям трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷, пересекает её боковые стороны 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 в точках 𝐸 и 𝐹 соответственно. Найдите длину отрезка 𝐸𝐹, если 𝐴𝐷 = 36, 𝐵𝐶 = 18, 𝐶𝐹 : 𝐷𝐹 = 7 : 2.

3. Биссектриса угла 𝐴 параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷 пересекает сторону 𝐵𝐶 в точке 𝐾. Найдите периметр параллелограмма, если 𝐵𝐾 = 4, 𝐶𝐾 = 19.

4. Точка 𝐻 является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла 𝐵  треугольника 𝐴𝐵𝐶 к гипотенузе 𝐴𝐶. Найдите 𝐴𝐵, если 𝐴𝐻 = 9, 𝐴𝐶 = 36.

5. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно   14, а одна из диагоналей ромба равна 56. Найдите углы ромба.

 

Вариант 17.

1Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 20 и 52. Найдите высоту,  проведённую к гипотенузе.

2. Высота 𝐴𝐻 ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷 делит сторону 𝐶𝐷 на отрезки 𝐷𝐻 = 20 и 𝐶𝐻 = 5.

Найдите высоту ромба.

3. Прямая, параллельная стороне 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶, пересекает стороны 𝐴𝐵   и 𝐵𝐶 в точках 𝑀 и 𝑁 соответственно. Найдите 𝐵𝑁, если 𝑀𝑁 = 15, 𝐴𝐶 = 25,  𝑁𝐶 = 22.

4. Биссектрисы углов 𝐴 и 𝐵 при боковой стороне 𝐴𝐵 трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 пересекаются  в точке 𝐹. Найдите 𝐴𝐵, если 𝐴𝐹 = 20, 𝐵𝐹 = 15.

5Отрезки 𝐴𝐵 и 𝐷𝐶 лежат на параллельных прямых, а отрезки 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷

пересекаются в точке M. Найдите 𝑀𝐶, если 𝐴𝐵 = 16, 𝐷𝐶 = 24, 𝐴𝐶 = 25.

 

 

 

 

Вариант 18.

1. Отрезки 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра   окружности до хорды 𝐶𝐷, если 𝐴𝐵 = 30, 𝐶𝐷 = 40, а расстояние от центра   окружности до хорды 𝐴𝐵 равно 20.

2. Окружность пересекает стороны 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 в точках 𝐾 и 𝑃   соответственно и проходит через вершины 𝐵 и 𝐶. Найдите длину отрезка 𝐾𝑃,  если 𝐴𝑃 = 36, а сторона 𝐵𝐶 в 1,8 раза меньше стороны 𝐴𝐵.

3. Углы 𝐵 и 𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 равны соответственно 64° и 86°. Найдите 𝐵𝐶, если  радиус окружности, описанной около треугольника 𝐴𝐵𝐶, равен 13.

4. Окружность с центром на стороне 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 проходит через вершину  𝐶 и касается прямой 𝐴𝐵 в точке 𝐵. Найдите 𝐴𝐶, если диаметр окружности равен   3,6, а 𝐴𝐵 = 8.

5. Точка 𝐻 является основанием высоты 𝐵𝐻, проведённой из вершины прямого угла  𝐵 прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶. Окружность с диаметром 𝐵𝐻 пересекает   стороны 𝐴𝐵 и 𝐶𝐵 в точках 𝑃 и 𝐾 соответственно. Найдите 𝐵𝐻, если 𝑃𝐾 = 15.

 

Вариант 19.

1. Окружность пересекает стороны 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 в точках 𝐾 и 𝑃   соответственно и проходит через вершины 𝐵 и 𝐶. Найдите длину отрезка 𝐾𝑃,  если 𝐴𝑃 = 21, а сторона 𝐵𝐶 в 1,5 раза меньше стороны 𝐴𝐵.

2. Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и 𝐵𝐷

пересекаются в точке M. Найдите 𝑀𝐶, если 𝐴𝐵 = 15, 𝐷𝐶 = 30, 𝐴𝐶 = 39.

3. Прямая, параллельная стороне 𝐴𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶, пересекает стороны 𝐴𝐵   и 𝐵𝐶 в точках 𝑀 и 𝑁 соответственно. Найдите 𝐵𝑁, если 𝑀𝑁 = 16, 𝐴𝐶 = 20,  𝑁𝐶 = 15.

4. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 16 и 34. Найдите высоту,  проведённую к гипотенузе.

5. Точка 𝐻 является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла 𝐵   треугольника 𝐴𝐵𝐶 к гипотенузе 𝐴𝐶. Найдите 𝐴𝐵, если 𝐴𝐻 = 5, 𝐴𝐶 = 20.

 

Вариант 20.

1. Прямая, параллельная основаниям трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷, пересекает её боковые   стороны 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 в точках 𝐸 и 𝐹 соответственно. Найдите длину отрезка 𝐸𝐹,   если 𝐴𝐷 = 35, 𝐵𝐶 = 21, 𝐶𝐹 : 𝐷𝐹 = 5 : 2.

2. Найдите боковую сторону 𝐴𝐵 трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷, если углы 𝐴𝐵𝐶 и 𝐵𝐶𝐷 равны  соответственно 30° и 135°, а 𝐶𝐷 = 29.

3. Биссектриса угла 𝐴 параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷 пересекает сторону 𝐵𝐶 в точке 𝐾.  Найдите периметр параллелограмма, если 𝐵𝐾 = 9, 𝐶𝐾 = 15.

4. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно  16, а одна из диагоналей ромба равна 64. Найдите углы ромба.

5. Высота 𝐴𝐻 ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷 делит сторону 𝐶𝐷 на отрезки 𝐷𝐻 = 24 и 𝐶𝐻 = 1.

Найдите высоту ромба

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответы

	1	2	3	4	5
1	13√2	52	60;60;120;120	6	26
2	24	8	39	16	14,4
3	12	30	25√3	48	60,120
4	5	13	16	9	35
5	6	12	14	21	14
6	5,25	4	28	7	16,8
7	20√6	58	60;120	9	15
8	24	10	12	7,5	15
9	28	7	16,8	16	39
10	17√6	50	60,120	8	17
11	30	11	11	4,8	5
12	18	20	120/13	15	28
13	12√6	40	44	20	60,120
14	180/13	12	24	20	40
15	32	10	12	8	15
16	8√6	32	54	18	60,120
17	240/13	15	33	25	15
18	15	20	13	10	15
19	14	26	60	240/17	10
20	31	29√2	66	60,120	7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разбор решения некоторых задач.

1.

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ИСТОЧНИКИ:

1  

2.      Образцы решения взяты с сайта Е Ширяевой.

 

3.