Материал для школьного этапа олимпиады по математике.

Задания для проведения школьного этапа олимпиады по математике Школьный этап олимпиады по математике 7 класс   Задача 1.  Найдите решение числового ребуса  a,bb  b,ab  10 , где  a  и  b  – различные цифры. Задача 2. Вася и Маша учатся в одном классе. Мальчиков в этом классе в два раза больше, чем   девочек.   У   Васи   одноклассников   на   8   больше,   чем   одноклассниц.   Сколько одноклассниц у Маши? Задача 3. Три ученика A, B и C участвовали в беге на 100 м. Когда A прибежал на финиш, B был позади него на 10 м, также, когда B финишировал, C был позади него на 10 м. На сколько метров на финише A опередил C? Задача   4. зашифрованы одинаковые цифры. Найдите E. Задача 5. В классе больше 20, но меньше 30 учеников. При этом в классе тех, кто ходит в шахматный кружок, в 2 раза меньше, чем тех, кто не ходит. А тех, кто ходит в шашечный кружок, в 3 раза меньше, чем тех, кто не ходит. Сколько учеников в классе?  В   ребусе  AAAAA+BBBB+CCC+DD+E  =   66067   одинаковыми   буквами Школьный этап олимпиады по математике 7 класс (решения) 1. ( легкая). Найдите решение числового ребуса a,bb b,ab 10 , где a и b – различные цифры. Ответ. 4,55+5,45=10. 2. ( средняя). Вася и Маша учатся в одном классе. Мальчиков в этом классе в два раза больше, чем девочек. У Васи одноклассников на 8 больше, чем одноклассниц. Сколько одноклассниц у Маши? Ответ. 8. Решение. Так как у Васи одноклассников на 8 больше, чем одноклассниц, то мальчиков в этом классе на 9 больше, чем девочек. При этом их в два раза больше, чем девочек. Значит в этом классе 18 мальчиков и 9 девочек. Поэтому у Маши 8 одноклассниц. 3. (средняя). Три ученика A, B и C участвовали в беге на 100 м. Когда A прибежал на финиш, B был позади него на 10 м, также, когда B финишировал, C был позади него на 10 м. На сколько метров на финише A опередил C? Ответ. На 19 метров. Решение. Скорость B составляет 0,9 от скорости A, а скорость C составляет 0,9 от скорости B, т.е. 0,81 от скорости A. 4. (средняя). В ребусе AAAAA+BBBB+CCC+DD+E = 66067 одинаковыми буквами зашифрованы одинаковые цифры. Найдите E. Ответ. 3. 5. ( сложная). В классе больше 20, но меньше 30 учеников. При этом в классе тех, кто ходит в шахматный кружок, в 2 раза меньше, чем тех, кто не ходит. А тех, кто ходит в шашечный кружок, в 3 раза меньше, чем тех, кто не ходит. Сколько учеников в классе? Ответ. 24 ученика. Решение. Пусть в шахматный кружок ходит x ребят, тогда в него не ходит 2x ребят. Итак, всего в классе 3x ребят, и количество учеников в классе делится на 3. Аналогично, пусть в шашечный кружок ходит y ребят, тогда в него не ходит 3y ребят. Итак, всего в классе 4y  ребят, и количество учеников в классе делится на 4. Число учеников в классе делится и на 3, и на 4, то есть оно делится на 12. Единственное подходящее число, большее 20 и меньшее 30, это 24. Школьный этап олимпиады по математике 8 класс  Задача 1.  Сторона AC треугольника ABC точками D и E разделена на три равные части (точка  D  лежит   между  A  и  E).   Докажите,   что   если  BD=BE,   то   треугольник  ABC  – равнобедренный. Задача 2. Число, состоящее из N цифр 8 (других цифр в числе нет), умножили на число 8. Полученное произведение имеет сумму цифр, равную 1200. Найдите  N. Задача 3. В классе больше 20, но меньше 30 учеников. При этом в классе тех, кто ходит в шахматный кружок, в 2 раза меньше, чем тех, кто не ходит. А тех, кто ходит в шашечный кружок, в 3 раза меньше, чем тех, кто не ходит. Сколько учеников в классе? Задача 4. Поезд, двигаясь с постоянной скоростью, к 17.00 проехал в 1,25 раза больший  путь, чем к 16.00. Когда поезд выехал? Задача 5. Продавец на рынке хочет разложить кучку из 41 ореха на 41 кучки по одному  ореху. Ему разрешается разделить любую кучку на две, но, если при этом получились две  неодинаковые кучки, он должен заплатить хозяину рынка 1 рубль. Как ему  выполнить  свою задачу, заплатив всего 2 рубля? Школьный этап олимпиады по математике 8 класс (решения) 1. ( легкая). Сторона AC треугольника ABC точками D и E разделена на три равные части (точка D лежит между A и E). Докажите, что если BD=BE, то треугольник  ABC – равнобедренный. Решение. Так как треугольник BDE равнобедренный, то BDE=BED. Значит, равны соответствующие смежные углы: ADB=CEB. По условию, AD=EC и BD=BE. Поэтому треугольники ADB и CEB равны (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство сторон AB и BC. Отсюда следует, что треугольник ABC равнобедренный. 2. (средняя). Число, состоящее из N цифр 8 (других цифр в числе нет), умножили на  число 8. Полученное произведение имеет сумму цифр, равную 1200. Найдите  N. Ответ. 1191. Решение. Перемножив числа в столбик, получим результат: 7111…11104. В этом числе N–2 единицы. А сумма его цифр равна 7 (N 2) 4 1200, откуда N=1191. 3.  (сложная). В классе больше 20, но меньше 30 учеников. При этом в классе тех, кто ходит в шахматный кружок, в 2 раза меньше, чем тех, кто не ходит. А тех, кто  ходит в шашечный кружок, в 3 раза меньше, чем тех, кто не ходит. Сколько учеников в  классе? Ответ. 24 ученика. Решение. Пусть в шахматный кружок ходит x ребят, тогда в него не ходит 2x ребят. Итак, всего в классе 3x ребят, и количество учеников в классе делится на 3. Аналогично, пусть в шашечный кружок ходит y ребят, тогда в него не ходит 3y ребят. Итак, всего в классе 4y ребят, и количество учеников в классе делится на 4. Число учеников в классе делится и на 3, и на 4, то есть оно делится на 12. Единственное подходящее число, большее 20 и меньшее 30, это 24. 4. ( средняя). Поезд, двигаясь с постоянной скоростью, к 17.00 проехал в 1,25 раза больший путь, чем к 16.00. Когда поезд выехал? Ответ. В 12.00. Решение. За 1 час от 16.00 до 17.00 поезд проехал 0,25 пути с момента выезда до 16.00. Значит, он ехал 4 часа и выехал в 12.00. 5. ( сложная). Продавец на рынке хочет разложить кучку из 41 ореха на 41 кучки по одному ореху. Ему разрешается разделить любую кучку на две, но, если при этом  получились две неодинаковые кучки, он должен заплатить хозяину рынка 1 рубль. Как ему  выполнить свою задачу, заплатив всего 2 рубля? Решение. Например, продавец может сделать так. Сначала он разделит кучку из 41 ореха на две кучки: из 1 ореха и из 40 орехов. Затем кучку из 40 орехов он разделит на две кучки: из 32 орехов и из 8 орехов. За эти операции продавец заплатит 2 рубля. Дальше он бесплатно может делить оставшиеся кучки пополам, пока не получатся кучки из 1 ореха.