Олимпиадные задачи по математике для 5 класса на тему «Четные и нечетные числа»

СБОРНИКЗАДАЧ

по математике

Олимпиадные задачи на тему

«Четные и нечетные числа»

5 класс

Автор: Хакимзянов Рузаль Рамазанович

Лицей-интернат № 2 г. Казани

Казань, 2026

Введение

Тема «Четные и нечетные числа» является базовой, но крайне важной в системе подготовки к математическим олимпиадам для 5 класса. В отличие от стандартной школьной программы, где на эту тему отводится минимальное время, в олимпиадных заданиях понятие четности становится мощным инструментом доказательства и поиска инварианта.

Данный сборник представляет собой подборку задач различного уровня сложности, объединенных принципом использования свойств четности. Цель сборника — научить ученика видеть скрытые закономерности, оперировать понятиями «четности суммы» и «четности произведения» в нестандартных условиях.

Задачи систематизированы по типам: «чередование», «операции со счетом», «разрезание и разбиение», «игры». Сборник может быть использован как для самостоятельной работы учащихся, так и для разбора на занятиях кружка или факультатива.

В сборник вошли как классические задачи так и авторские вариации. Каждая серия предполагает постепенное усложнение материала. В конце сборника приведены ответы и краткие указания к решению.

Серия 1. Четные и нечетные числа

1.     Как разделить круглую пиццу на 4, 5, 6 и 7 частей тремя прямыми разрезами? Каждый разрез должен начинаться и заканчиваться на наружном крае пиццы.

2.     Юный хакер Вася перепрограммировал лифт в 100-этажном здании Института создания и решения проблем. Теперь в лифте работают только две кнопки: одна отправляет его на 8 этажей вверх, а другая — на 6 этажей вниз. (Если кнопка посылает лифт выше сотого или ниже первого этажа, он остаётся на месте.)

a)     Пока Вася работал над кнопками, директор института пил кофе на первом этаже.Сможет ли он вернуться в свой кабинет на 95-м этаже, пользуясь только лифтом? Если да, то как? Если нет, то почему?

b)     Тот же вопрос, если кабинет директора находится на 96-м этаже.

3.     Юля возвращается домой из школы. Она выходит на 5 минут раньше Пети, который живёт в том же доме. Петя идёт в полтора раза быстрее Юли: он хочет вернуть ей мобильный телефон, который она забыла в школе. Когда Юля получит свой телефон? (Так как Юля и Петя живут далеко от школы, Петя успеет догнать Юлю, прежде чем она дойдёт до дома.)

4.     В Лукоморье живут 9 счастливых и 9 несчастных принцесс. Волшебник Шмерлин только что выучил три новых заклинания. С помощью первого он может сделать любых двух несчастных принцесс (по своему выбору) счастливыми. С помощью второго — сделать любых двух счастливых принцесс несчастными. Третье заклинание позволяет ему сделать одну несчастную принцессу счастливой, но одна счастливая принцесса при этом станет несчастной.

Шмерлин хочет сделать всех принцесс счастливыми. Докажите, что трёх его заклинаний для этого недостаточно.

5.     На волшебном дереве в центре тридесятого королевства растут волшебные плоды трёх видов: яблоки мудрости, груши храбрости и сливы доброты. Время от времени с этого дерева собирают урожай для блага королевства. На месте собранных плодов сразу вырастают новые.

•   Если снять с дерева один плод, то на его месте вырастает плод того же вида.

•   Если одновременно снять 2 яблока, то вырастают 4 груши.

•   Если одновременно снять 2 груши, то вырастают 4 сливы.

•   Если одновременно снять 2 сливы, то вырастают 4 яблока.

•   Если одновременно снять 2 плода разных видов, то ничего не вырастает.

Сейчас на дереве 11 яблок, 10 груш и 8 слив. Злая колдунья хочет лишить королевство силы, украдя все волшебные плоды. Она собирается каждое утро забираться на дерево и срывать с него один или два плода. Может ли она оставить дерево без плодов? Если да, то как? Если нет, то почему?

6.     В те дни, когда Робин-Бобин-Барабек ходит в школу, он съедает по два пирога на каждой перемене. В прошлом году Робин побывал в школе на 499 уроках и съел 798 пирогов. Сколько дней в прошлом году Робин провёл в школе? (Количество уроков может меняться день ото дня. Например, может быть день с одним уроком, а может быть день с 7 уроками.)

7.     Коля выложил в ряд полный набор домино (28 костяшек) по правилам игры в домино (см. ниже). На левой половине самой левой костяшки 6 точек. Сколько точек на правой половине самой правой костяшки?

Справка. Костяшка домино — это прямоугольная плитка, разделённая на два квадратика. На каждом квадратике отмечено несколько точек — от 0 до 6. Полный набор состоит из 28 костяшек со всеми возможными сочетаниями точек: [0—0], [0—1], [0—2], [0—3], [0—4], [0—5], [0—6], [1—1], [1—2], ..., [6—6]. Если половинки разных костяшек соприкасаются, по правилам игры на этих половинках должно быть одинаковое количество точек.

Серия 2. Четные и нечетные числа.

1.        Два горных тролля Боб и Тоб родились с интервалом ровно в один год. Сегодня они обапразднуют день рождения. Боб заявляет, что им в сумме 1128 лет. Но хоббит Филипп уверен, что Боб ошибается. На чём основана его уверенность?

2.        В Стране сладостей король Пончик обещал достойную награду первому, кто сможет разделить 100 конфет между тремя детьми. Каждый ребёнок должен получить нечётное число конфет (не обязательно одинаковое), и при этом не должно остаться лишних конфет. Награду до сих пор никто не получил. Объясните почему.

3.        На острове рыцарей и лжецов вы встречаете местного жителя. Он говорит: «Вчера у менябыли гости, и я испёк 39 плюшек. Каждый взрослый съел 2 плюшки, а каждый ребёнок—4 плюшки. Плюшки всем очень понравились — ни одной не осталось!» Кого вы встретили — рыцаря или лжеца?

4.        Баба Яга пригласила на день рождения одинаковое количество леших и водяных. Онапоймала 115 живых лягушек для раздачи гостям. Баба Яга хочет разделить лягушек между гостями поровну. Но мудрая сова говорит, что так не получится. Откуда сова это знает?

5.        Надо разрезать ножом буханку хлеба. Какое наибольшее количество кусков можно получить, если разрешается сделать только три прямых разреза? Каждый разрез должен проходить через всю буханку. Перекладывать куски и класть их друг на друга нельзя.

6.        . Можно ли замостить шахматную доску размерами 5x 5 костяшками домино? (Замостить— значит покрыть все поля так, чтобы костяшки не перекрывались.)

7.        Капитан Кук ведёт дневник своих приключений. Во время путешествия к островам Кукаон сделал такую запись: «В нашей флотилии пять кораблей. На каждом корабле нечётное число матросов. Всего в нашей экспедиции 500 матросов». Профессор истории Гоббс утверждает, что капитан ошибся. Как он это узнал?

8.        Утром на космодроме планеты Пандора было 5 космических кораблей. В течение дняприпандорилось ещё несколько кораблей, а некоторые корабли улетели. Космические корабли прибывали только парами или четвёрками, а отправлялись только парами. Вечером диспетчер насчитал на космодроме 60 кораблей. Докажите, что диспетчер ошибся.

9.        Волшебник Шмерлин получил в наследство старинную книгу заклинаний. Переплёт этойкниги сделан из мягкой кожи, а номера страниц оттиснуты золотом. К несчастью, когда Шмерлин открыл книгу, из неё выпало несколько листов. Собрав все 25 выпавших листов, Шмерлин решил потренироваться в математическом волшебстве. Он придумал заклинание, с помощью которого можно мгновенно сложить номера страниц на всех выпавших листах. Произнеся это заклинание, волшебник получил ответ: 2000. Старая мудрая сова Шмерлина тут же заявила, что заклинание не работает. Как она это поняла?

10.    Во время летних каникул Белла и Таня часто приходили другу в гости поиграть. Приходяк Тане, Белла каждый раз дарила ей стеклянный шарик. Таня, приходя к Белле, тоже каждый раз дарила ей стеклянный шарик. В начале лета у Беллы было 50 стеклянных шариков. Всего девочки играли вместе 35 раз. Могло ли случиться так, что в конце лета у Беллы снова оказалось 50 стеклянных шариков? (Никто, кроме Тани, не дарил Белле шариков, и ни один шарик не потерялся.)

11.    В копилке у Макса чётное число двухрублёвых и нечётное число пятирублёвых монет.Когда Макс решил подсчитать своё богатство, у него получилось 60 рублей. Мама Макса уверена, что он ошибся в расчётах. Почему?

12.    На доске в ряд написаны целые числа от 1 до 18. Можно ли расставить между ними знаки«плюс» и «минус» так, чтобы полученное выражение было равно нулю?

Серия 3. Четные и нечетные числа.

1.        Можно ли поставить 9 мальчиков и девочек в круг так, чтобы каждый мальчик стоялмежду двумя девочками, а каждая девочка — между двумя мальчиками?

2.        Кузнечик упражняется в прыжках на прямой дороге, размеченной чёрными и краснымикамнями. Чёрные и красные камни чередуются, а расстояние между соседними камнями — ровно один метр. В первый раз кузнечик прыгает с красного камня. Каждый раз он прыгает на один метр влево или вправо. В какую сторону он прыгнет в следующий раз — неизвестно.

а) На каком камне окажется кузнечик после пяти прыжков — на красном или на чёрном?

б) Тот же вопрос для двадцати прыжков.

в) Кузнечик закончил тренировку на том же камне, с которого начал. Маша, которая всё это время наблюдала за кузнечиком, насчитала 125 прыжков. Докажите, что рассеянная Маша ошиблась.

3.        . На левом нижнем поле шахматной доски размерами 5x 5 (на рисунке это поле помеченозвёздочкой) стоит ленивая ладья. Она может ходить вверх, вниз, вправо или влево, но только на одно поле. Ленивая ладья должна обойти всю доску (ей ещё повезло, что это не очень большая доска) и при этом побывать на каждом поле ровно один раз.

а) Может ли ладья завершить обход в поле, помеченном цветком? (В каждом пункте этой задачи надо либо нарисовать маршрут ладьи, либо объяснить, почему это невозможно.) б) Может ли ладья завершить обход в поле, помеченном рожицей?

в) Может ли ладья, завершив обход, вернуться в поле, помеченное звёздочкой?

4.        Разрежьте каждую фигуру, показанную на рисунке, на две части, одинаковые по размеруи форме. Резать можно по линиям сетки и по диагоналям квадратиков. Две части считаются одинаковыми, если после разрезания можно наложить их друг на друга так, чтобы они точно совпали. При этом их можно поворачивать и переворачивать.

5.        Застенчивый хамелеон Лео очень волнуется, когда встречает другого хамелеона. КогдаЛео волнуется, он изменяет свой цвет. Если Лео был зелёным, он становится коричневым, а если был коричневым — становится зелёным. Сегодня утром Лео проснулся коричневым.

До обеда он встретил 17 хамелеонов. Какого цвета был Лео в начале обеда?

6.        Неизвестный хронист оставил нам описание пира во дворце короля Артура. Если веритьэтому описанию, на празднество было приглашено 25 гостей — храбрых рыцарей и прекрасных дам. Все гости уселись за круглым столом. Рядом с каждой дамой сидели два рыцаря, а рядом с каждым рыцарем—две дамы... Докажите, что в описании пира есть ошибка.

7.        Может ли сумма четырёх последовательных целых чисел быть нечётным числом?

8.        . Пассажирский теплоход шёл из Санкт-Петербурга в Калининград. На середине путиобъявили штормовое предупреждение. Тогда теплоход увеличил скорость в два раза и прибыл в Калининград на три часа раньше срока. Сколько времени шёл теплоход от Санкт-Петербурга до Калининграда?

9.        Бусы состоят из 45 красных и синих бусинок.

а) Докажите, что найдутся две соседние бусинки одного цвета.

б) Докажите, что найдутся две бусинки одного цвета, между которыми ровно две бусинки.

10.    В этой задаче все события происходят на длинной прямой дороге.

а) Кузнечик прыгает по дороге. При каждом прыжке он перемещается на один метр вправо или влево. Может ли он после 21 прыжка оказаться точно в том месте, откуда он сделал первый прыжок? Если да, то как? Если нет, то почему?

б) Кузнечик прыгает по дороге. Каждый раз он прыгает вправо или влево на один метр. Может ли он после 33 прыжков оказаться на расстоянии 10 метров от исходной точки? Если да, то как? Если нет, то почему?

в) Два кузнечика — коричневый и зелёный — сидят на дороге. Расстояние между ними —15 метров. Кузнечики одновременно начинают прыгать. Когда один из них прыгает, другой тоже прыгает. Длина каждого прыжка — 3 метра. Кузнечики могут прыгать вправо или влево. Могут ли они одновременно приземлиться в одном месте? Если да, то как? Если нет, то почему?

11.    а) Можно ли нарисовать четырёхугольник и прямую линию так, чтобы прямая пересекала каждую сторону четырёхугольника? (Во всех пунктах этой задачи прямая не может проходить через вершины многоугольника.)

б) Можно ли нарисовать десятиугольник (многоугольник, имеющий 10 сторон) и прямую линию так, чтобы прямая пересекала каждую сторону десятиугольника?

в) Можно ли нарисовать многоугольник, имеющий 11 сторон, и прямую линию так, чтобы прямая пересекала каждую сторону этого многоугольника?

12.    На столе шесть столбиков монет. В первом столбике одна монета, во втором—две и так далее (в последнем столбике шесть монет). За один ход можно выбрать любые два столбика и добавить к ним по одной монете. Количество ходов не ограничено. Можно ли сделать все столбики одинаковыми?

Решения задач серии 1.

1.     Решение задачи 1. Существуют варианты разрезания пиццы на 4, 5, 6 и 7 частей тремя прямыми разрезами (показаны на рисунках).

2.     Решение задачи 2.

a)     а) Если нажать первую кнопку (на 8 этажей вверх) 12 раз, лифт приедет на 97-йэтаж. Теперь нажмём вторую кнопку (на 6 этажей вниз) три раза: лифт опустится на 18 этажей. Наконец, нажмём первую кнопку два раза. Лифт поднимется на 16 этажей и окажется на 95-м этаже.

Важно следить за тем, чтобы лифт не поднимался выше 100-го этажа. Пример неверного решения: «Надо нажимать кнопки по очереди. Тогда после каждых двух нажатий лифт будет подниматься на два этажа (на 8 вверх, потом на 6 вниз) и в конце концов окажется на 95-м этаже». Ошибка в том, что на 95-й этаж невозможно попасть с помощью кнопки «на 6 этажей вниз»: для этого лифт должен был бы находиться на 101-м этаже.

b)     Попасть на 96-й этаж невозможно. Лифт всегда останавливается на нечётных этажах:он начинает движение с первого (нечётного) этажа и поднимается или опускается только на чётное число этажей. Поэтому он не может оказаться на чётном этаже.

3.     Решение задачи 3. Представим себе момент, когда Петя догнал Юлю, и подумаем, сколько времени шёл каждый из них до этого момента. Петя идёт в полтора раза быстрее; значит, время Юли в полтора раза больше, чем время Пети. Кроме того, мы знаем, что время Юли на 5 минут больше: ведь Петя вышел на 5 минут позже неё. Получается такой рисунок:

На рисунке видно, что 5 минут —это половина времени Пети. Значит, Юля получит свой телефон через 10 минут после того, как Петя вышел из школы.

4.     Решение задачи 4.

a)     Каждое заклинание изменяет количество несчастных принцесс на 0 или ±2.

b)     Количество несчастных принцесс остаётся нечётным, так как изменение происходитна чётное число.

c)      После нескольких заклинаний количество несчастных принцесс остаётся нечётным.

d)     Количество несчастных принцесс не может стать равным нулю, так как 0 — чётноечисло.

5.     Решение задачи 5. Сначала плодов было 29 (нечётное число). Их количество либо остаётся неизменным, либо увеличивается или уменьшается на 2. Значит, что бы колдунья ни делала, количество плодов останется нечётным. Поэтому на дереве никогда не будет О плодов.

6.     Решение задачи 6. Всего Робин провёл в школе 798:2 = 399 перемен. Каждый день, когда он бывал в школе, количество уроков было на 1 больше, чем количество перемен. Например, если бы он провёл в школе всего 2 дня, то общее количество уроков было бы на 2 больше, чем общее количество перемен. Если 3 дня —то на 3, и так далее. Так как количество уроков на 100 больше, Робин провёл в школе 100 дней.

Типичное неверное рассуждение: «Если бы было 99 учебных дней с пятью уроками каждый и 1 день с четырьмя уроками, то количество перемен было бы 99 • 4 4-1 • 3 = 399». Ошибка этого рассуждения в том, что оно опирается на конкретный вариант расписания уроков. А если бы расписание было другое? Может быть, получилось бы другое количество перемен?

7.     Решение задачи 7. Начнём с двух замечаний.

•   В полном наборе домино каждое количество точек встречается на восьми квадратиках.

•   Костяшки всегда соприкасаются одинаковыми квадратиками.

Это значит, что одинаковые квадратики в ряду костяшек обязательно расположены парами, за исключением двух крайних — слева и справа. Теперь рассмотрим все возможные варианты для квадратика в правом конце ряда. Может ли на нём быть 0 точек? Тогда остальные семь квадратиков, на которых тоже 0 точек, находились бы в середине ряда. Но в середине ряда одинаковые квадратики располагаются парами, а семь квадратиков невозможно разбить на пары. Значит, на квадратике в правом конце ряда не может быть 0 точек. Рассуждая точно так же, приходим к выводу, что на нём не может быть 1, 2, 3, 4 или 5 точек. Итак, на квадратике в правом конце ряда 6 точек.

Решения задач серии 2.

1.          Решение задачи 1.Хотя обосновать ответ можно по-разному, предложите участникам придумать объяснение на основе чётных и нечётных чисел. Предполагается примерно такое рассуждение: из двух последовательных чисел одно всегда чётное, а другое — нечётное. Поэтому сумма двух последовательных чисел всегда нечётная. Следовательно, такая сумма не может быть равна 1128.

2.          Решение задачи 2. Сумма трёх нечётных чисел всегда нечётная. Поэтому если каждый ребёнок получает нечётное число леденцов, то общее количество леденцов тоже нечётное. А100 — чётное число

3.          Решение задачи 3. Каждый съел чётное число плюшек (2 или 4). Сумма любого количества чётных чисел чётная. Но 39 — нечётное число. Значит, вам встретился лжец.

4.          Решение задачи 4. Поскольку Баба Яга пригласила одинаковое количество леших и водяных, общее число гостей чётное. Если каждый гость получит чётное число лягушек, то общее количество лягушек должно быть чётным (сумма любого количества чётных чисел —чётное число). Если каждому достанется нечётное число лягушек, то общее количество лягушек всё равно чётное (сумма чётного количества чётных чисел — нечётное число). Но 115 — нечётное число.

5.          Решение задачи 5. Буханку можно разрезать на 4, 5, 6, 7 и 8 частей. Эта задача дополняет задачу из предыдущей подборки — о том, как разрезать пиццу тремя разрезами. Разрезать буханку на 4, 5, 6 и 7 частей можно точно так же, как и пиццу. Но между пиццей и буханкой есть существенное различие: буханка имеет толщину. Поэтому её можно разрезать по горизонтали (как для сэндвича). Если сделать такой горизонтальный разрез и ещё два вертикальных разреза, перпендикулярных друг другу, получится 8 кусков.

6.          Решение задачи 6. Это невозможно. Каждая костяшка домино покрывает два поля, следовательно, все костяшки покрывают чётное число полей. Но количество полей на доске нечётное (5×5=25).

7.          Решение задачи 7. Если сложить пять нечётных чисел, получится нечётное число. А 500 — чётное число.

8.          Решение задачи 8. Утром количество космических кораблей было нечётным. При каждом прибытии группы кораблей их количество увеличивается на чётное число. При каждом отправлении группы кораблей оно уменьшается на чётное число. Если прибавлять к нечётному числу чётное или вычитать из него чётное, всегда будет получаться нечётное число. Поэтому количество космических кораблей остаётся нечётным. Диспетчер насчитал чётное число кораблей. Значит, он ошибся.

9.          Решение задачи 9. Рассмотрим два номера страниц на лицевой и обратной стороне одного и того же листа. Эти номера различаются на единицу. Значит, один из них чётный, а другой — нечётный. Поэтому их сумма нечётная. Получается, что сумма номеров страниц на 25 выпавших листах равна сумме 25 нечётных чисел. Эта сумма нечётная и поэтому не может быть равна 2000.

10.      Решение задачи 10. Рассмотрим число шариков, которые Белла подарила за лето, и число шариков, которые она получила в подарок. Сумма этих двух чисел равна 35. Следовательно, одно из них чётное, а другое — нечётное, и они не могут быть равны между собой. Обозначим первое из этих чисел x, а второе y. Тогда количество шариков у Беллы

в конце лета равно 50−x+y. Поскольку x и y — разные числа, это выражение не может быть равно 50.

11.      Решение задачи 11. Пятирублёвые монеты Макса вместе составляют нечётное число рублей (так как произведение двух нечётных чисел нечётно). Двухрублёвые монеты вместе составляют чётное число рублей (произведение двух чётных чисел чётно). Сумма нечётного и чётного чисел нечётная. Следовательно, в копилке нечётное число рублей. А 60 — чётное число.

12.      Решение задачи 12. На доске написано 9 чётных и 9 нечётных чисел. Значит, как бы мы ни расставили знаки «плюс» и «минус», в выражении будет 9 чётных и 9 нечётных членов. Поскольку количество нечётных членов нечётное, значение выражения будет нечётным числом.

Решения задач серии 3.

1.    Это невозможно. Присвоим каждому ребёнку номер (от 1 до 9, по часовой стрелке). Предположим, что под номером 1 стоит девочка. Поскольку она стоит между двумя мальчиками, под номером 2 должен стоять мальчик. По этой же причине под номером 3 должна стоять девочка. Рассуждая точно так же и двигаясь по кругу, выясняем, что под номером 9 должна стоять девочка. Но она стоит рядом с девочкой под номером 1. Такое же противоречие получается и в том случае, если под номером 1 стоит мальчик. Поэтому такая расстановка невозможна.

2.    . Начнём с обсуждения пунктов а) и б), которые позволят нам сформулировать общее правило: сделав чётное число прыжков, кузнечик обязательно окажется на красном камне, а сделав нечётное число прыжков — на чёрном. Кузнечик начинает с красного камня. Где он приземлится после первого прыжка? Длина прыжка — один метр, значит, кузнечик приземлится на соседнем камне. Оба камня, соседних с красным, чёрные. Значит, в какую бы сторону кузнечик ни прыгнул, первый прыжок закончится на чёрном камне. Теперь рассмотрим второй прыжок. Он начинается на чёрном камне. В какую бы сторону кузнечик ни прыгнул, он приземлится на соседнем камне — красном. Делаем вывод: при каждом приземлении цвет камня меняется. С чёрного камня кузнечик прыгает на красный, а с красного — на чёрный. Поэтому после любого чётного числа прыжков кузнечик приземлится на камне того же цвета, что и камень, с которого он начал тренировку. Это красный цвет. После любого нечётного числа прыжков кузнечик приземлится на камне другого цвета —чёрного.

в) Предположим, что Маша права и кузнечик действительно прыгнул 125 раз. На каком камне он приземлился в последний раз? Количество прыжков нечётное, а начал кузнечик с красного камня. Значит, он приземлился на чёрном камне. Но кузнечик начал тренировку и закончил её на одном и том же камне. Следовательно, тренировка закончилась на красном камне. Мы получили два утверждения, противоречащих друг другу. Поэтому можно с уверенностью сказать, что Маша ошиблась.

3.    а) Для первого пункта задачи нетрудно нарисовать маршрут. Существует множество вариантов, и участники наверняка предложат сразу несколько. б) Придумать маршрут для этого пункта тоже несложно.

в) После нескольких неудачных попыток дети догадываются, что такого маршрута не существует. Доказать это им помогут подсказки. 1. Обратите внимание на то, что чёрные поля чередуются с белыми. 2. Замечайте цвет полей, на которые встаёт ладья. Ладья всегда переходит с чёрного поля на белое, а с белого — на чёрное. Поэтому на каждом ходе цвет поля меняется. Поле со звёздочкой в левом нижнем углу чёрное. Поэтому через нечётное число ходов ладья будет на белом поле, а через чётное — на чёрном. Для того чтобы обойти всю доску и вернуться на исходное поле, понадобится 25 ходов (на один ход больше, чем в пунктах а) и б)). 25 — чётное число, поэтому через 25 ходов ладья должна оказаться на белом поле. Значит, такого маршрута обхода доски, при котором ладья побывала бы на каждом поле ровно один раз и вернулась на исходное поле, не существует.

4.

5.        После первой встречи Лео становится коричневым. После второй— зелёным. Посколькуцвет Лео меняется после каждой встречи, он будет коричневым после встреч с нечётным числом хамелеонов и зелёным после встреч с чётным числом хамелеонов. 17 —нечётное число, поэтому к обеду Лео будет коричневым.

6.        Пронумеруем все стулья числами от 1 до 25 по часовой стрелке. Если рядом с каждойдамой сидят два рыцаря, а рядом с каждым рыцарем—две дамы, значит, рыцари чередуются с дамами. Поэтому на всех стульях с нечётными номерами сидят гости одного пола. Получается противоречие: на 1-м и 25-м стульях должны сидеть гости разного пола.

7.        Среди четырёх последовательных целых чисел всегда два нечётных и два чётных. Поэтомусумма таких чисел чётная.

8.        На середине пути между двумя городами скорость теплохода удваивается, поэтому вторую половину пути он проходит за вдвое меньшее время, чем первую (или, что то же самое, за вдвое меньшее время, чем прошёл бы вторую половину при хорошей погоде). Сэкономленное время (3 часа)—это половина времени, за которое теплоход проходит половину пути с обычной скоростью. Значит, с обычной скоростью он прошёл бы половину пути за 6 часов, а весь путь —за 12 часов. Вычитая сэкономленные 3 часа, получаем время, за которое теплоход на самом деле прошёл весь путь: 9 часов.

9.        а) Предположим, что в бусах нет соседних бусинок одного цвета Тогда цвета бусинокчередуются. Значит, все нечётные бусинки одного цвета. Но 1-я и 45-я бусинки соседние, поэтому они не могут быть одного цвета. Это противоречие показывает, что исходное предположение неверно.

б) Заметим, что 45 делится на 3, причём при делении получается 15 —нечётное число. Рассмотрим «окружность» из бусинок, расположенных через две, например 1-я, 4-я, 7-я, ..., 43-я. В этой окружности 15 бусинок. Рассуждая так же, как в пункте а), приходим к выводу, что в ней должны быть две соседние бусинки одного цвета. Эти две бусинки — «соседние» в окружности из 15 бусинок: в самих бусах они не расположены рядом — между ними ровно две бусинки. Именно такие бусинки нам нужно было найти.

10.    а) Сначала заметим, что все возможные точки приземления кузнечика расположены через один метр. Покрасим эти точки поочерёдно в синий и красный цвета. Поскольку длина каждого прыжка —один метр, прыжок всегда начинается и заканчивается в точках разных цветов. Другими словами, кузнечик всё время приземляется в точках с чередующимися цветами. Теперь предположим, что кузнечик начал прыгать из красной точки. Тогда он приземлится в синей точке после любого нечётного числа прыжков: 1,3, ...,21. Поскольку точка, в которой кузнечик приземлится после 21 прыжка, синяя, она не может совпадать с начальной точкой —красной. Такое же рассуждение подходит и для случая, когда кузнечик сделал первый прыжок из синей точки.

б) Это невозможно по тем же соображениям, которыми мы пользовались в пункте а). Любые две точки, отстоящие друг от друга на 10 метров, окрашены в один цвет. Но после 33 прыжков кузнечик не может приземлиться в точке того же цвета, что и исходная точка.

в) Любые две точки, отстоящие друг от друга на 3 метра, окрашены в разные цвета. Поэтому каждый кузнечик приземляется в точках с чередующимися цветами. Поскольку между точками, из которых начинают прыгать кузнечики, нечётное число метров (15), эти точки окрашены в разные цвета. Значит, после любого одинакового количества прыжков кузнечики приземлятся в точках разных цветов.

11.    а) и б) Да. Примеры нетрудно нарисовать.

в) Нет. Объясним это с помощью идеи чередования. Предположим, что нам удалось нарисовать такой многоугольник и прямую линию, пересекающую каждую сторону. Пронумеруем вершины многоугольника числами от 1 до 11 по порядку. Это значит, что одна из сторон многоугольника соединяет вершины 1 и 2, другая — вершины 2 и 3 и так далее; последняя сторона соединяет вершины 11 и 1. Прямая делит весь рисунок на две части. Представим себе, что одна из этих частей окрашена в красный цвет, а другая — в синий. Поскольку каждая сторона многоугольника пересекает эту прямую, любые две вершины, соединённые одной стороной, окрашены в разные цвета. Другими словами, при движении по краю многоугольника цвета вершин чередуются. Например, если вершина 1 синяя, такого же цвета будут вершины 3, 5,..., 11. Но вершины 1 и 11 не могут быть одного цвета, так как они тоже соединены одной стороной. Это противоречие показывает, что нарисовать такой многоугольник невозможно.

12.    Вначале общее количество всех монет нечётное (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21). Есливыбрать два столбика и добавить к каждому по монете, общее количество монет на столе увеличится на 2 и, значит, останется нечётным. Если бы можно было сделать все столбики одинаковыми, общее количество монет делилось бы на 6 и поэтому было бы чётным. Поскольку число не может быть чётным и нечётным одновременно, сделать все столбики одинаковыми невозможно.