Методическая разработка "Олимпиада по математике для 5-8 классов"

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Мурманской области

Государственное областное бюджетное оздоровительное образовательное учреждение санаторного типа для детей, нуждающихся в длительном лечении, "Зеленоборская санаторная школа-интернат" (ГОБООУ ЗСШИ)

Методическая разработка

«Олимпиада по математике (школьный уровень)

для 5-8 классов»

                                                               Автор: Носарева Юлия Геннадьевна,

                                                учитель, ГОБООУ ЗСШИ

                                      пгт. Зеленоборский

пгт. Зеленоборский

2026

Актуальность методической разработки:

В современном учебном процессе используется множество инновационных методик обучения, их выбор зависит от специфики преподаваемых дисциплин и от применения в будущей практической деятельности.

Вооружить обучающихся в образовательных учреждениях всеми знаниями, умениями и навыками, которые им будут необходимы для дальнейшей учебы, практически невозможно, но научить их самостоятельно овладевать необходимыми знаниями, формировать активных, творческих людей – приоритетная задача.

Решение олимпиадных задач занимает в математическом образовании особое место. Умение решать олимпиадные задачи – это один из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала, способность неординарно мыслить. Проведение предметной олимпиады по математике позволит отобрать более подготовленных обучающихся для участия во Всероссийской математической олимпиаде.

Олимпиада проводится с целью развития у обучающихся познавательного интереса к решению олимпиадных задач, творческого мышления, стремления к самостоятельному приобретению знаний и умений, и применению их в своей практической деятельности, развития у них математических способностей.

Цель методической разработки: транслирование опыта профессиональной деятельности.

         Задачи:

- подготовить задания для проведения олимпиады для 5-8 классов;

- разработать критерии оценки участников олимпиады.

ГОБООУ ЗСШИ пгт. Зеленоборский

Школьная олимпиада по математике 5 класс

1. Решите задачу

Можно ли выписать в ряд натуральные числа от 1 до 60 так, чтобы разность любых двух соседних чисел была не меньше 30?

2. Решите задачу

На каждые две девочки в классе приходится один мальчик. Если всего в классе двадцать семь учеников, то сколько из них девочек?

3. Решите задачу

Внутри круга отметили точку. Можно ли разрезать круг на три части так, чтобы из них можно было сложить новый круг, у которого эта точка окажется в его центре?

4. Решите задачу

Деревянный куб покрасили снаружи белой краской. Каждое ребро куба разделили на пять равных частей, после чего куб распилили так, что получились маленькие кубики, у которых ребро в пять раз меньше, чем у исходного куба. Сколько получилось неокрашенных кубиков.

5. Решите задачу

До царя Гороха дошла молва, что кто-то из троих богатырей убил Змея Горыныча. Царь приказал всем троим богатырям явиться ко двору.  И молвили они:

Илья Муромец: «Змея убил Добрыня Никитич».

Добрыня Никитич: «Змея убил Алеша Попович».

Алеша Попович: «Я убил змея».

При этом оказалось, что один из них сказал правду, а двое слукавили. Кто убил змея?

РЕШЕНИЕ:

Задача №1 Можно ли выписать в ряд натуральные числа от 1 до 60 так, чтобы разность любых двух соседних чисел этого ряда была не меньше 30?

Решение:Заметим, что последнее число 60, тогда перед ним может  быть число 30, 29, 28, 27, … 3, 2, 1. Числа,которые будут отличаться от этих чисел не меньше, чем на 30 образуют последовательность: 31, 32, 33, …57, 58, 59, 60.

Ответ: можно, например: 30, 60, 29, 59, 28, 58, …, 3, 33, 2, 32, 1, 31.

Замечание по оцениванию

-Если указан весь ряд натуральные числа от 1 до 60 такой, что разность любых двух соседних чисел не меньше 30, то задание оценивается в 7 баллов

-Если указана только часть ряда, то задание оценивается в 4 балла.

Задача №2На каждые две девочки в классе приходится один мальчик. Если всего в классе двадцать семь учеников, то сколько из них девочек?

Решение: На каждые две девочки приходится один мальчик, значит детская группа состоит из трех человек. В классе 27 учеников. Следовательно, детских групп будет 9, и в каждой такой группе по две девочки. Значит девочек 18.

Ответ: в классе 18 девочек.

Замечание по оцениванию

-Верное решение оценивается -7 баллов.

-Если идея решения верна, но допущена вычислительная ошибка - 0 баллов.

Задача №3Внутри круга отметили точку. Можно ли разрезать круг на три части так, чтобы из них можно было сложить новый круг, у которого эта точка окажется в его центре?

Решение:Из большого круга вырежем два одинаковых кружка радиуса r – один с центром в отмеченной точке A, а другой – с центром в точке O (центре круга). Радиус r нужно взять таким, чтобы кружки не перекрывались и не выходили за пределы исходного круга. Эти кружки поменяем местами.

Ответ: да, можно.

Замечание по оцениванию

-Если представлено полное решение с рисунком -7 баллов.

-Если представлен верный рисунок без объяснения, то -5 баллов.

Задача №4Деревянный куб покрасили снаружи белой краской. Каждое ребро куба разделили на пять равных частей, после чего куб распилили так, что получились маленькие кубики, у которых ребро в пять раз меньше, чем у исходного куба. Сколько получилось неокрашенных кубиков.

Решение. После распиливания получилось 125 кубиков. Окрашенные грани имеют 98 кубиков. Значит, неокрашенных кубиков 27.

Ответ: 27.

Замечание по оцениванию

-Если решение верное, с указанием, как можно вычислить количество неокрашенных граней, то -7 баллов.

-Если решение не доведено до конца или содержит вычислительную ошибку, то - 0 баллов.

Задача №5 До царя Гороха дошла молва, что кто-то из троих богатырей убил Змея Горыныча. Царь приказал всем троим богатырям явиться ко двору. И молвили они:

Илья Муромец: «Змея убил Добрыня Никитич».

Добрыня Никитич: «Змея убил Алеша Попович».

Алеша Попович: «Я убил змея».

При этом оказалось, что один из них сказал правду, а двое слукавили. Кто убил змея?

Решение. Рассмотрим все возможные варианты.

1)ЕслиАлеша Попович сказал правду, тогда Добрыня Никитич и Илья Муромец  слукавили. Из этого следует противоречие: «Алеша Попович убил змея»одновременно  является истинным и ложным высказыванием.

2)Если Добрыня Никитич сказал правду,то Алеша Попович и Илья Муромец слукавили. В этом случае тоже получим противоречие.

3)Остаетсяслучай,когда правду сказал Илья Муромец. В этом случае утверждение «Змея убил Добрыня Никитич» истинно, а утверждения «Змея убил Алеша Попович» и «Я убил змея» - ложны. Этот случай удовлетворяет условию задачи.

Ответ: Змея убил Добрыня Никитич.

Замечание по оцениванию

-Правильный ответ и верные рассуждения оцениваются в 7 баллов.

-Перебор возможных случаев до первого удовлетворяющего оценивается в 4 балла. (Так как не доказано, что других случаев нет).

-Если указан ответ и доказано что он удовлетворяет условиям задачи, то- 3 балла.

-Если дан один ответ без рассуждений. То такое решение оценивается-2 балла.

-За все остальные решения- 0 баллов.

ГОБООУ ЗСШИ пгт. Зеленоборский

Школьная олимпиада по математике 6 класс

Задача 1: Расставьте в записи 4 × 12 + 18 : 6 + 3 скобки так, чтобы получился наименьший возможный результат.

Задача 2: Полный бидон с молоком весит 33 кг. Бидон, заполненный наполовину, весит 17 кг. Какова масса пустого бидона?

Задача 3: В портовом городе начинаются три туристских теплоходных рейса, первый из которых длится 15 суток, второй – 20 суток и третий – 12 суток. Вернувшись в порт, теплоходы в этот день снова отправляются  в рейс. Сегодня из порта вышли теплоходы по всем маршрутам. Через сколько суток они впервые снова вместе уйдут в плавание?

Задача 4: Девочка по чётным числам всегда говорит правду, а по нечётным всегда врет. Как-то её три сентябрьских дня подряд спрашивали: «Как тебя зовут?». На первый день она ответила: «Ольга», на второй: «Лена», на третий: «Маша». Как зовут девочку? Объясните, как вы рассуждали.

Задача 5: Три утенка и четыре гусенка весят 2кг 500г, а четыре утенка и три гусенка весят 2кг 400г. Сколько весит гусенок?

Задача 6:   Прямоугольник состоит из двух одинаковых квадратов, имеющих общую сторону. Его периметр равен 48 см. Найдите площадь прямоугольника.

РЕШЕНИЕ:

Задача 1: Ответ: (4 × 12 + 18) : (6 + 3) = 7.

Задача 2: Полный бидон с молоком весит 33 кг. Бидон, заполненный наполовину, весит 17 кг. Какова масса пустого бидона?

Решение:

17·2=34(кг)-масса полного бидона и пустого бидона

34-33=1(кг)-масса пустого бидона

Задача 3: В портовом городе начинаются три туристских теплоходных рейса, первый из которых длится 15 суток, второй – 20 суток и третий – 12 суток. Вернувшись в порт, теплоходы в этот день снова отправляются  в рейс. Сегодня из порта вышли теплоходы по всем маршрутам. Через сколько суток они впервые снова вместе уйдут в плавание?

Решение: НОК=60 суток

Задача 4: Девочка по чётным числам всегда говорит правду, а по нечётным всегда врет. Как-то её три сентябрьских дня подряд спрашивали: «Как тебя зовут?». На первый день она ответила: «Ольга», на второй: «Лена», на третий: «Маша». Как зовут девочку? Объясните, как вы рассуждали.

Решение:       Девочку зовут – Лена.

Так как девочка дала три разных ответа, она хотя бы два раза соврала. Поэтому два дня из трех, когда девочке задавали вопросы, пришлись на нечётные числа. Поскольку чётные и нечётные числа чередуются, это должны были быть первый и третий дни. Значит, второй день пришёлся на чётное число. В этот день девочка и назвала своё настоящее имя.

Задача 5: Три утенка и четыре гусенка весят 2кг 500г, а четыре утенка и три гусенка весят 2кг 400г. Сколько весит гусенок?

Решение: 3 утенка (у) и 4 гусенка (г) будут весить так же, как 4 утенка и 3 гусенка, если прибавить к их весу 100г; 3у+4г=4у+3г+100; г=у+100, т.е. масса гусенка больше массы утенка на 100г. 3у+4(у+100)=2500, у=300, тогда г=400 Значит, гусенок весит 400г.Задача 6:           Прямоугольник состоит из двух одинаковых квадратов, имеющих общую сторону. Его периметр равен 48 см. Найдите площадь прямоугольника.

Решение: Прямоугольник состоит из двух одинаковых квадратов, имеющих общую сторону. Его периметр равен 48 см. Найдите площадь прямоугольника.

Решение.

P= x+x+2x+2x =48;    x=8 ;   S=8∙16=128.

            Ответ 128.

Олимпиадные задания по математике для учащихся 6 классов составлены на основе методических рекомендаций первого этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике 2025 учебного года. Задания не выходят за рамки программы основной школы по математике на момент проведения Олимпиады и направлены на выявления наиболее способных учащихся.

Темы заданий:

1.      Действия с натуральными числами

2.      Занимательная задача на развитие логики.

3.      Задача на нахождение НОК.

4.      Задача на логику.

5.      Задача на составление уравнения.

6.      Геометрическая задача на нахождение площади.

Рекомендуемое время: 90 мин

Критерии оценивания:

I место  присуждается всем участникам, набравшим   более 70 % от максимального числа баллов за все задания олимпиады.

II место присуждается участникам,  набравшим от 50% до 70% от максимального числа баллов.

III место присуждается набравшим от 33 до 50%.

Победители и призеры олимпиады определяются жюри в соответствии с итоговой таблицей. Список победителей и призеров утверждается организатором соответствующего этапа олимпиады. Количество победителей и призеров олимпиады не должно превышать 55% от общего числа участников олимпиады. Важно отметить, что победителями олимпиады являются ВСЕ участники, набравшие наибольшие баллы. Поэтому жюри может определить в любом классе более чем одного победителя.

ГОБООУ ЗСШИ пгт. Зеленоборский

Школьная олимпиада по математике 7 класс

ЗАДАНИЯ

1.     Поставьте вместо звездочек цифры:

2.     В шестизначном числе первая цифра совпадает с четвертой, вторая – с пятой, третья- с шестой. Докажите, что это число кратно 7, 11, 13.

3.     Разместите восемь козлят и девять гусей в пяти хлевах так, чтобы в каждом хлеве были и козлята и гуси, а число их ног равнялось 10.

4.     Как разделить круг тремя прямыми на 4, 5, 6, 7 частей?

5.     Если треть числа разделить на его семнадцатую часть, в остатке будет 100. Найдите это число.

РЕШЕНИЕ

1.      

2.      Обозначим соответственно первую, вторую и третью цифру числа за a, b, c. Тогда число можно записать

100 000а + 10 000b + 1 000c + 100a + 10b + c= 100 100a + 10 010b + 1 001c = 1001(100a + 10b + c)=7*11*13*(100a + 10b + c).

Данное число делится на 7, на 11, на 13.

3.      Обозначим число гусей в одном хлеве за х, а число козлят за у, тогда, учитывая, что ног в одном хлеве должно быть 10, получим уравнение: 2х+4у=10. Из данного уравнения имеем, что число козлят может быть только 1 или 2, соответственно гусей будет 3 или 1. Тогда размещение будет такое: в двух хлевах будет по 1 козленку и 3 гусям, в трех хлевах – по 2 козленка и 1 гусю.

4.    

5.      Так как у числа есть треть и семнадцатая часть, то оно делится на 51, т.е. имеет вид 51х. Тогда треть его будет 17х, а семнадцатая часть – 3х. По условию задачи составим уравнение: 17х=3рх+100. Выразим х: .

Учитывая, что х и р натуральные, подбором найдем р=5. Тогда х=50. В итоге получим, что число будет 2550.

Критерии оценивания олимпиадных заданий

Задания математических олимпиад являются творческими, допускают несколько различных вариантов решений.

В соответствии с регламентом проведения математических олимпиад каждая задача оценивается из 7 баллов.

Соответствие правильности решения и выставляемых баллов приведено в таблице.

Помимо этого:

а) любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Недопустимо снятие баллов за то, что решение слишком длинное, или за то, что решение школьника отличается от приведенного в методических разработках или от других решений, известных жюри; при проверке работы важно вникнуть в логику рассуждений участника, оценивается степень ее правильности и полноты;

б) олимпиадная работа не является контрольной работой участника, поэтому любые исправления в работе, в том числе зачеркивание ранее написанного текста, не являются основанием для снятия баллов; недопустимо снятие баллов в работе за неаккуратность записи решений при ее выполнении;

в) баллы не выставляются «за старание Участника», в том числе за запись в работе большого по объему текста, но не содержащего продвижений в решении задачи.

ГОБООУ ЗСШИ пгт. Зеленоборский

Школьная олимпиада по математике 8 класс

ЗАДАНИЯ

1.       Брат с сестрой решили купить альбом для марок стоимостью 310 руб. Если брат отдаст  своих денег, а сестра своих денег, то этого хватит на покупку альбома. Сколько денег у брата и сестры, если у них всего 440руб.

2.       Света  перемножила 18  двоек,  а  Витя  перемножил 14 пятёрок.

Теперь  они  собираются  перемножить  свои  огромные  числа.  Какова  будет

сумма цифр произведения?

3.          В  выражении

замените  каждую  из  букв  Р,  А, З, Е, Й, С, У на какую-то из цифр от1 до9 (одинаковые буквы— на одинаковые цифры,  разные  буквы —  на  разные  цифры)  так,  чтобы  значение  выражения получилось  наибольшим.  Покажите,  как  нужно  расставить  цифры,  вычислите значение вашего выражения и объясните, почему оно наибольшее.

4.   В прямоугольнике ABCD сторона AB равна 6, сторона BC равна 11. Из вершин B и C проведены биссектрисы углов, пересекающие сторону AD в точках X и Y соответственно. Найдите длину отрезка XY .

5. В викторине по математике участвовали 5 человек.
На каждый вопрос один из них дал неправильный ответ, остальные — правильный. Число правильных ответов у Антона  равно 10 — меньше, чем у любого другого. Число правильных ответов у Ивана равно 13 — больше, чем у любого другого. Сколько всего вопросов было в математической викторине?

Рекомендуемое время проведения олимпиады для 8 классов - 3 урока

Основные принципы оценивания приведены в таблице

Решение и критерии оценивания

1.      Ответ: У брата 240 руб., у сестры 200 руб.

Указание к решению:

Где  х и у – соответственно денег у брата и сестры.

Критерии оценивания:

7 баллов.  Полное верное решение.

5-6 баллов.  Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на

решение.

3-4балла.  Решение  в  целом  верное.  Однако  оно  содержит  ряд  ошибок,  но  может  стать  правильным  после небольших исправлений или дополнений.

1-2 балла.  Рассмотрены отдельные случаи при отсутствии решения  (или при ошибочном решении). 

0 баллов.  Решение отсутствует.

2.Ответ. 7.

Решение.  Всего  перемножается 18  двоек  и 14 пятёрок.  Переставимсомножители,  чередуя  двойки  и  пятёрки.  Получится 14  пар 2 ·5  и  ещё  четыредвойки,  дающие в произведении 16. Итак, число 16 нужно 14 раз  умножить на10. Получается число, состоящее  из цифр 1 и 6  и 14 нулей. Сумма цифр равна7.

Другой  способ  записи  тех  же  рассуждений  можно  получить,  используя

свойства степеней.

2¹⁸∙ 5¹⁴= (2∙ 5)¹⁴∙ 2⁴= 16∙10¹⁴

Критерии оценивания:

7 баллов.  Любое полное верное решение.

5 баллов.   Верный  ход  решения,  получено  верное  произведение,  но  сумма  цифр  не

указана.

2-3 балла. Сделана  группировка  двоек  и  пятёрок  по  парам,  дающим  десятки,  но

ответ не получен или получен неверно.

0 баллов.  Решение отсутствует.

3.Ответ:   Наибольше   значение  равно 36,5  и  достигается,  например,  при  C = 1,

У = 2, Е = 9, Й = 8,  Р = 4, А = 5,  З = 6.

Решение. Вынесем за скобки общий множитель в числителе дроби и сократим: Р ∙ А ∙ З

Поскольку каждая буква заменяется на одну цифру С∙У ≥ 2 и Е∙Й ≤ 72. Поэтому

Осталось  как-нибудь заменить  все  буквы  Р,  А,  З,  Е,  Й,  С,  У  на  цифры  так,  чтобы  значение 36,5 достигалось.  Для  этого  необходимо  поставить  вместо  С  и  У  цифры 1  и 2  в любом  порядке,  вместо  Е  и  Й  —  цифры 8,  9  в  любом  порядке,  а  оставшиеся

буквы  Р,  А и З  заменить  на  какие-либо  из  оставшихся цифр,  например,  так:  Р  = 4,

А = 5,З = 6.

Критерии оценивания:

7 баллов.  Любое полное верное решение.

6 баллов.  Верное  решение,  но  ничего  не  написано  про  цифры,  которыми  нужнозаменить буквыР, А и З.

4-5 баллов. Верно и обосновано найдено, какими цифрами нужно заменитьУ, С, Е, Й,

но допущена арифметическая ошибка и получен неверный ответ.

3 балла. Приведены  верный  ответ  и  верный  пример  расстановки  цифр,  но  недоказано,  что  это  значение  наибольше (сокращение  дроби  не  выполнено).

2 балла. Правильно  выполнено  сокращение  дроби,  но  дальнейшие  рассужденияотсутствуют или неверны.

1 балл.  Приведён  верный  пример  расстановки  цифр,  значение  выражения  ненайдено или найдено неверно, его максимальность не доказана.

4. Ответ: 1.

Решение. Углы AXB и XBC равны как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей BX. Углы XBC и XBA равны, так как BX —биссектриса угла ABC. Получаем, что ∠AXB = ∠XBA, откуда следует, что треугольник AXB — равнобедренный, AB = AX = 6;

XD = AD — AX = 11 — 6 = 5. Аналогично получаем, что AY = 5.

 Тогда XY= AD — AY — XD= 11 — 5 — 5 = 1.

Критерии оценивания:

7 баллов. Любое верное решение.

4-5 баллов. Доказано, что AY = 5, но при этом длина отрезка XY не найдена или найдена неверно

2-3 балла. Доказано, что треугольник ABX равнобедренный и нет дальнейших продвижений

1 балл. Приведён верный ответ без доказательства.

5. Ответ: 14

Решение:
Так как на каждый вопрос были даны 4 правильных ответа, общее число правильных ответов делится на 4. Поскольку Антон дал 10 верных ответов, Иван — 13, а остальные трое — от 11 до 12, то общее число правильных ответов не меньше, чем

10 + 13 + 3∙11 =56, и не больше, чем 10 + 13 + 3 ∙ 12 = 59.
Из чисел в этих пределах только 56 кратно 4, поэтому число вопросов равно 14.

Критерии оценивания:

7 баллов. Любое полное верное решение.

5-6 баллов.  Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на

решение.

3-4балла.  Решение  в  целом  верное.  Однако  оно  содержит  ряд  ошибок,  но  может  стать  правильным  после небольших исправлений или дополнений.

1-2 балла.  Рассмотрены отдельные случаи при отсутствии решения  (или при ошибочном решении). 

0 баллов.  Решение отсутствует.

Скачано с www.znanio.ru