Методическая разработка для самостоятельной работы студентов по теме Прямые и плоскости в пространстве

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ «КУПИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ ТЕХНИКУМ»                                                                          МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА Для самостоятельной работы студентов По дисциплине: МАТЕМАТИКА Тема: «Прямые и плоскости в пространстве» Специальность: 34.02.01 Сестринское дело   Курс: 1   Купино 2018  Рассмотрено на заседании   предметной цикловой Методической комиссии по общеобразовательным дисциплинам,  общему гуманитарному и социально­экономическому, математическому и  естественно­научному циклу Протокол № _____ от «_____» _________20____г. Автор – составитель: преподаватель математики высшей категории Тюменцева О.Н. Купино 2018 г Пояснительная записка Методическое пособие предназначено для самостоятельного изучения  теоретических и практических знаний по теме: Прямые и плоскости в  пространстве (параллельность), повторения понятий: параллельность прямой  и плоскости, параллельность плоскостей, перпендикулярность прямой и  2 плоскости, перпендикуляр, наклонная, угол между прямой и плоскостью,  двугранный угол, угол между плоскостями, перпендикулярность двух  плоскостей, параллельный перенос, симметрия относительно плоскости,  параллельное  проектирование, площадь  ортогональной  проекции,  изображение пространственных фигур для подготовки к занятиям по этой  теме. Данное пособие рекомендовано для студентов первого курса специальности  34.02.01 Сестринское дело. Пособие содержит определения основных  понятий по теме: Прямые и плоскости в пространстве, вопросы для  самопроверки, образцы решения задач и тесты для самостоятельного решения. Пособие направлено на формирование навыков самостоятельной работы с  учебным материалом, формирование навыков решения задач, формирование и развитие творческого потенциала, повышение интереса к дисциплине. Прямые и плоскости в пространстве Геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур. Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. Аксиомы принадлежности:  Аксиома 1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. 3  Аксиома 2. Через любые две точки можно провести прямую, и только  одну. Аксиомы порядка:  Аксиома 3. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между  двумя другими.  Аксиома 4. Прямая, лежащая в плоскости, разбивает эту плоскость на две  полуплоскости. Если концы какого­нибудь отрезка принадлежат одной  полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка  принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую. Аксиомы мер для отрезков и углов:  Аксиома 5. Каждый отрезок имеет определенную длину, больше нуля.  Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой  его точкой.  Аксиома 6. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую  нуля. Развернутый угол равен 180∘\displaystyle 180{}^\circ180∘. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается  любым лучом, проходящим между его сторонами. Аксиомы существования треугольника, равного данному:  Аксиома 7. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему  треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно  данной полупрямой в этой плоскости. Следствие 1. От данной точки данной прямой в данную сторону можно  отложить отрезок данной длины, причем  единственным образом  Следствие 2. От данного луча в данную полуплоскость можно отложить  угол данной величины,  4 причем единственным образом  Аксиома параллельных:  Аксиома 8. На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой,  можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Аксиомы стереометрии: 1 C : Какова бы не была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей. 2 C : Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. 3 C : Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну. Следствия из аксиом. Теорема: (о существовании плоскости,  проходящей через данные точку и прямую):  одну. Через прямую и не лежащую на ней точку  можно провести плоскость, и притом только  Теорема: (о пересечении прямой с  плоскостью):Если две точки прямой  принадлежат плоскости, то вся прямая  принадлежит этой плоскости. 5 Из теоремы следует, что плоскость и не лежащая на ней прямая либо не  пересекаются, либо пересекаются в одной точке. Теорема: (о существовании плоскости,  проходящей через три данные точки): Через  три точки, не лежащие на одной прямой,  можно провести плоскость, и притом только  одну. Теорема: (о разбиении пространства плоскостью на два полупространства):  Плоскость, разбивает пространства на два полупространства. Если точки X и Y принадлежат одному полупространству,  то отрезок XY не пересекает плоскость. Если же точки X и Y принадлежат  разным полупространствам, то отрезок XY пересекает плоскость.  Параллельность в пространстве.  Опр: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они  лежат в одной плоскости и не пересекаются. Прямые, которые не  пересекаются и не лежат в одной плоскости, называться скрещивающимися.  Теорема: (о параллельности прямых в  пространстве): Через точку вне данной прямой  можно провести прямую, параллельную этой  прямой, и притом только одну. Теорема: (признак параллельности прямых): Две прямые, параллельные третьей прямой,  параллельны. 6 Опр: Прямая и плоскость называются  параллельными, если они не пересекаются. параллельности прямой плоскости): Если прямая, не принадлежащая  плоскости, параллельна какой­ нибудь прямой в этой плоскости, то она  Теорема: (признак  параллельна и самой плоскости. Если прямая b  a и bIIa , то bIIа Опр: Две плоскости называются  параллельными, если они не пересекаются. Теорема: (признак параллельности плоскостей в  пространстве): Если две пересекающиеся прямые одной плоскости  соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Теорема: (о существовании плоскости  параллельной данной плоскости): Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной и притом только одну. Свойства параллельных плоскостей: Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны. 7 Следствие: Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны. Примеры решения задач Пример 1: Дано. ABCDA1B1C1D1– куб Найти. Сколько плоскостей можно провести через: 8 а) точки A, B,C; б) прямые DCиBC Решение: а) через точки A, B,C можно провести плоскость ABCD (по теореме о существовании плоскости, проходящей через три данные точки). б) прямые DC и BC лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку пересечения С, следовательно можно провести плоскость ADCD и причем только одну (по С3). Пример 2: Дано:ABCDA1B1C1D1­куб  Найти (объяснить расположение в пространстве): а) Параллельную прямую к прямой A1D1 б) Параллельную плоскость к прямойCC1 Решение: CC1ABCD. а) Рассмотрим плоскость  AA1D1D:A1D1AD (по определению  параллельных прямых). Рассмотрим  плоскостьA1B1C1D1: A1D1B1C1  (по определению параллельных  прямых). б) По определению параллельности  прямой и плоскости: CC1A1B1C1D1; 9 Вопросы для самопроверки: 1. Сформулируйте определение стереометрии. 2. Перечислите аксиомы группы С. 3. Перечислите следствия из аксиом. 4. Перечислите способы задания плоскости. 5. Сформулируйте определение параллельных прямых в пространстве. 6. Сформулируйте определение скрещивающихся прямых в пространстве. 7. Сформулируйте теорему о параллельности прямых в пространстве. 8. Сформулируйте признак параллельности прямых. 9. Сформулируйте определение прямой параллельной плоскости . 10. Сформулируйте определение параллельных плоскостей. 11. Сформулируйте признак параллельности плоскостей. 10 Тест по теме: «Начало стереометрии» 1. Количество прямых проходящих через одну точку пространства  1) ни одной  2) одну  3) две  4) бесконечно много  2. Количество плоскостей проходящих через одну точку пространства  1) ни одной 2) одну  3) две  4) бесконечно много  3. Количество прямых проходящих через две точки пространства  1) ни одной  2) одну  3) две  4) бесконечно много  4. Количество плоскостей проходящих через две точки пространства  1) ни одной  2) одну  3) две  4) бесконечно много  5. Количество прямых проходящих через различные пары из трех точек  пространства, не принадлежащих одной прямой  1) ни одной  2) три  3) шесть  4) бесконечно много 6. Количество плоскостей проходящих через три точки пространства, не  принадлежащие одной прямой  1) ни одной  2) одну  3) три  4) бесконечно много  7. Количество плоскостей проходящих через три точки пространства,  принадлежащие одной прямой  1) ни одной  2) одну  3) три  4) бесконечно много  11 8. Число общих точек имеющих две пересекающиеся плоскости  1) одну  2) две  3) три  4) бесконечно много  9. Случай, когда центры трех шаров принадлежат одной плоскости  1) радиусы шаров совпадают  2) центры шаров принадлежат одной прямой  3) всегда  4) никогда  10. Число плоскостей через три вершины куба  1) одну  2) три  3) шесть  4) бесконечно много  11. Наибольшее число прямых проходящих через различные пары из четырех  точек пространства  1) четыре  2) пять  3) шесть  4) восемь  12. Наибольшее число прямых можно провести через различные пары из пяти  точек пространства  1) 5  2) 10  3) 15 4) 25 13. Число диагоналей прямоугольного параллелепипеда  1) 2  2) 4  3) 6  4) 8  14.Число диагоналей 6­угольной призмы  1) 6  2) 12  3) 9  4) 18  15. Многоугольник в основании пирамиды, имеющей 12 ребер  1) треугольник  2) четырехугольник  3) шестиугольник  4) двенадцатиугольник  12 16. Многоугольник в основании призмы, имеющей 36 ребер 1) шестиугольник  2) девятиугольник  3) двенадцатиугольник  4) тридцатишестиугольник  17. Призма имеет 18 вершин. Многоугольник лежит в ее основании  1) треугольник  2) шестиугольник  3) девятиугольник  4) восемнадцатиугольник  18. Пирамида имеет 10 вершин. Многоугольник лежит в ее основании  1) пятиугольник  2) шестиугольник  3) восьмиугольник  4) девятиугольник  19. Призма имеет 18 диагоналей. Ее вид  1) треугольная  2) шестиугольная  3) девятиугольная  4) восемнадцатиугольная 20. Количество диагоналей в 7­угольной пирамиде  1) ни одной  2) 6  3) 7  4) 14  Тест по теме: «Параллельность в пространстве» 13 1. Даны две параллельные прямые aи b. Через прямую a проходит плоскость ,  не совпадающая с плоскостью данных прямых. Взаимное расположение  прямой b и плоскости . 1) b лежит в плоскости α 2) b пересекает плоскость α 3) b параллельна плоскости α 4) нельзя определить 2. Наибольшее число плоскостей проходит через различные пары из трех  параллельных прямых 1) одну 2) две 3) три 4) шесть 3. Наибольшее число плоскостей проходит через различные пары из четырех  параллельных прямых 1) одну 2) две 3) четыре 4) шесть 4. Через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость. Эти две  плоскости пересекаются. Расположение их линии пересечения относительно  данных прямых 1) параллельна им 2) пересекает их 3) совпадает с одной из них 4) скрещивается с ними 5. Даны две скрещивающиеся прямые a и b и точка A, принадлежащая прямой  a. Расположение прямой a по отношению к проходящей через точку A и  прямую b плоскости 1) прямая a пересекает плоскость 2) прямая a параллельна плоскости 3) прямая a лежит в плоскости 4) нельзя определить 6. Даны скрещивающиеся прямые c,d и точка K. Расположение относительно  друг друга плоскости, проходящие через точку Kи прямую c и точку Kи  прямую d 1) совпадают 14 2) пересекаются 3) параллельны 4) нельзя определить 7. Плоскость пересекается с прямой a, которая параллельна плоскости .  Расположение относительно друг друга плоскости и β 1) параллельны 2) совпадают 3) пересекаются 4) нельзя определить 8. Геометрическое место прямых, пересекающих две данные параллельные  прямые 1) параллельная им прямая, лежащая в плоскости данных прямых  2) плоскость данных прямых  3) прямая, параллельная плоскости данных прямых  4) две пересекающиеся прямые 9. Геометрическое место прямых, проходящих через данную точку и  параллельных данной плоскости 1) прямая, параллельная данной плоскости и проходящая через данную точку  2) две прямые, параллельные данной плоскости и проходящие через данную  точку  3) плоскость, параллельная данной плоскости и проходящая через данную  точку  4) окружность, проходящая через данную точку 10. Случай параллельной проекцией двух параллельных прямых являются две  точки 1) прямые параллельны плоскости проектирования  2) прямые параллельны направлению проектирования  3) плоскость прямых совпадает с плоскостью проектирования  4) плоскость прямых не параллельна направлению проектирования 11. Отрезок параллелен плоскости проектирования. Сравнение его длины a с  длиной его проекции a’. 1) aa’. 3) a = a’. 4) a’ = 0. 12. Параллельной проекцией куба является квадрат. Расположение куба  относительно направления и плоскости проектирования 1) два ребра параллельны плоскости проектирования  2) две грани параллельны плоскости проектирования  3) четыре ребра параллельны направлению проектирования  15 4) две грани параллельны плоскости проектирования и четыре ребра  параллельны направлению проектирования 13. Изображение фигуры, которой является четырехугольник с проведенными в нем диагоналями, одна из которых пунктирная 1) 4­угольной призмы  2) 4­угольной пирамиды  3) 3­угольной призмы  4) 3­угольной пирамиды 14. Наибольшее число сторон многоугольника, который может получиться в  сечении 5­угольной призмы плоскостью 1) 5 2) 7 3) 10 4) 12 15. Число диагональных сечений 8­угольной призмы 1) 4 2) 8 3) 16 4) 20 16. Число диагональных сечений 10­угольной пирамиды 1) 5 2) 10 3) 35 4) 50 17. Фигура сечение куба плоскостью, проходящей через середины ребер,  выходящих из одной вершины 1) квадрат 2) прямоугольный треугольник  3) правильный шестиугольник  4) равносторонний треугольник 18. Фигура сечение куба A…D1 плоскостью, проходящей через точки B1, M,  D, где M– середина ребра CC1 1) квадрат 2) ромб 3) прямоугольник 4) параллелограмм  16 Ключ для самопроверки теста: «Начало стереометрии» 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4 4 2 4 2 2 4 4 3 1 1 3 2 2 4 3 3 3 4 2 Ключ для самопроверки теста: «Параллельность в пространстве» 1 3 2 3 3 4 4 1 5 1 6 2 7 3 8 2 9 3 10 2 11 3 12 13 14 15 16 17 18 4 2 4 2 4 3 4 1. Геометрия: Учебник для 10­11 классов общеобразовательных  Литература учреждений/А.В. Погорелов. – М.: Просвещение, 2014. 7. Стереометрия [электронный ресурс] Открытая математика URL:  http://www.mathematics.ru/courses/stereometry/design/index.htm__ 17