Алгоритмы по теме "Производная", 10 класс.

№

План составления уравнения касательной к графику функции у=f(x) в заданной точке

Применение плана

1

Вычисляем значение  функции в точке х= х₀

x₀   =1,   у₀= f(1),

у₀=1+2-5=-2

2

Находим производную функции f^/(x)

f^/(x)=3х²+4х

3

Вычисляем значение производной функции в точке  x₀, т.е. f^/(x₀)

f^/(x₀)= f^/(1)=3+4=7

4

Подставляем значения  в уравнение касательной у_к= f(x₀) + f^/(x)(х- х₀).

у_к= f(x₀) + f^/(x)(х- х₀)

у_к=-2+7(х- 1),

у_к= 7х-9

5

Записываем ответ.

Ответ: у_к= 7х-9

№

План нахождения у_наим    и  у_наиб    на [0;2].

Применение плана

1

Находим производную функции

у^/= 4х³-4х=4х(х²-1)

2

Находим стационарные точки функции

у^/=0,  4х (х²-1)=0,

х=0,   х=1,   х=-1  -стационарные точки

3

Выбираем стационарные точки, лежащие внутри [а;в].

0 [0;2],   1 [0;2].

4

Находим значения функции в стационарных точках (внутри данного отрезка) и на концах отрезка

у(1) =1-2-3=-4,

у(0)=-3 _,  

у(2)=16-8-3=5 _.  

5

Из найденных значений функции выбираем наименьшее и наибольшее

у_наим = у(1) =-4₎   у_наиб=у(2)=5   

6

Записываем ответ

 Ответ: у_наим =-4₎   у_наиб=5 _.  

№

План

Применение плана

1.       

Найти область определения и интервалы, на которых функция непрерывна.

Область определения:  x  R

Функция непрерывна в каждой точке своей области определения

2.       

Найти производную f^/(х)

f^/(х)=12х³-12х²=12х²(х-1)

3.       

Найти критические точки, т.е. внутренние точки области определения, в которых f^/(х)=0 или не существует

f^/(х) существует на всей области определения.

f^/(х)=0 при х=0, х=1

4.       

Отметить критические точки на области определения; найти знак производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на которые разбивается область определения

5.       

Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума или не является точка экстремума

6.       

Записываем ответ исследования (промежутки монотонности и экстремумы)

 Ответ: f(x) возрастает при хи х

f(x) убывает при х; х_max=0; x_min=1;

 у_mах= f(0)=1; у_min = f(1)=0.

№

План

Применение плана

1.       

Найти область определения и интервалы, на которых функция непрерывна.

Область определения: 

2.       

Исследовать на четность (нечетность), периодичность

Функция ни четная, ни нечетная и непериодическая.

3.       

Точки пересечения с осями координат (если можно)

Оу: х=0, у=0.

Ох:  у=0,  ; =0;  х=о или х=5.

4.       

Найти производную f^/(х)

5.       

Найти критические точки, т.е. внутренние точки области определения, в которых f^/(х)=0 или не существует

f^/(х)=0,  =0,  при х=-10,  х=2

6.       

Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума(и значения функции в этих точках)

7.       

Нахождение асимптот (вертикальные, горизонтальные)

 х=4 –вертикальная асимптота.

 Прямая у=х-9 – наклонная асимптота

8.       

Если необходимо, найти координаты дополнительных точек, уточняющих поведение  графика функции

9.       

На основании проведенного исследования построить эскиз графика функции у=f(x)