Инструкционная карта для построения в Excel графиков тригонометрических функций

Инструкционная карта: построение графиков тригонометрических функций в Excel

1. Теоретическая часть

Тригонометрические функции — математические функции угла, широко применяемые в геометрии, физике, инженерии и других науках. В Excel можно визуализировать их графики, чтобы:

o        наглядно увидеть периодичность и амплитуду;

o        сравнить поведение разных функций;

o        проанализировать сдвиги и преобразования.

Что такое тригонометрические функции:

Тригонометрические функции определяются двумя основными способами: через прямоугольный треугольник (для острых углов) и через единичную окружность (для любых углов). Ниже приведены оба подхода.

1. Через прямоугольный треугольник (для острых углов)

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Рассмотрим острый угол A. Тогда:

Синус угла A (sinA) — отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sinA= противолежащий катет / гипотенуза ​=ВС/АB​.

Косинус угла A (cosA) — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cosA= прилежащий катет / гипотенуза ​=AC/AB​.

Тангенс угла A (tanA или tgA) — отношение противолежащего катета к прилежащему:

tanA= противолежащий катет /прилежащий катет ​=BC/AC​.

Условие: cosA≠0 (иначе деление на ноль).

Котангенс угла A (cotA или ctgA) — отношение прилежащего катета к противолежащему:

cotA= прилежащий катет / противолежащий катет ​=AC/BC​.

Условие: sinA≠0 (иначе деление на ноль).

2. Через единичную окружность (для любого угла)

Рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Пусть точка A лежит на окружности, а α — угол между положительным направлением оси Ox и вектором OA. Координаты точки A: (xα​,yα​). Тогда:

Синус угла α (sinα) — ордината (координата y) точки A:

sinα=yα​.

Косинус угла α (cosα) — абсцисса (координата x) точки A:

cosα=xα​.

Тангенс угла α (tanα или tgα) — отношение синуса к косинусу:

tanα=cosαsinα​.

Область определения: α≠2π​+πn, где n∈Z (косинус не равен нулю).

Котангенс угла α (cotα или ctgα) — отношение косинуса к синусу:

cotα=sinαcosα​.

Область определения: α≠πn, где n∈Z (синус не равен нулю).

3. Дополнительные тригонометрические функции (реже используются)

Секанс угла α (secα) — обратная величина косинусу:

secα=cosα1​.

Область определения: α≠2π​+πn, где n∈Z.

Косеканс угла α (cscα или cosecα) — обратная величина синусу:

cscα=sinα1​.

Область определения: α≠πn, где n∈Z.

Краткие выводы

Синус и косинус определены для любого угла (α∈R) и принимают значения от −1 до 1.

Тангенс и котангенс могут принимать любые действительные значения, но имеют точки разрыва (где функция не определена).

Все тригонометрические функции периодичны:

o                  sinα и cosα — период 2π;

o                  tanα и cotα — период π.

Функции связаны основными тригонометрическими тождествами (например, sin2α+cos2α=1).

Пояснения:

Ø     Аргумент x в Excel задаётся в радианах. Чтобы перевести градусы в радианы, используйте функцию РАДИАНЫ(градусы) или умножьте на ПИ()/180.

Ø     Для тангенса и котангенса есть точки разрыва (где функция не определена) — их нужно учитывать при построении.

2. Инструкционная часть

Пошаговое построение графиков в Excel

Пример 1.

График функции y = sin(x)

Шаг 1. Создайте таблицу данных:

1.                 В ячейку A1 введите: «x (радианы)».

2.                 В ячейку B1 введите «y = sin(x)».

3.                 В столбец A введите значения x от –2π до 2π с шагом 0,2:

o                  В A2 введите: =-2*ПИ().

o                  В A3 введите: =A2+0,2.

o                  Протяните формулу вниз до значения ≈ 2π (примерно 13–14 строк).

Шаг 2. Вычислите значения функции:

1.                 В ячейке B2 введите формулу: =SIN(A2).

2.                 Протяните формулу вниз до конца столбца A.

Шаг 3. Постройте график:

1.                 Выделите диапазон A1:B[последняя строка].

2.                 Перейдите на вкладку «Вставка» → «Диаграммы» → «Точечная» (лучше «Точечная с гладкими кривыми»).

3.                 Настройте график:

o                  Добавьте заголовки осей («x», «y = sin(x)»).

o                  При необходимости измените масштаб оси x, чтобы видны были ключевые точки (0, π/2, π и т. д.).

Результат: плавная волна, повторяющаяся каждые 2π.

Пример 2.

График функции y = 2 * cos(x + π/4)

Шаг 1. Подготовьте данные:

1.                 В ячейку C1 введите: «x (радианы)».

2.                 В ячейку D1 введите: «y = 2*cos(x + π/4)».

3.                 Скопируйте столбец A (значения x) в столбец C или повторите шаг 1 из примера 1.

Шаг 2. Вычислите преобразованную функцию:

1.                 В D2 введите формулу: =2*COS(C2+ПИ()/4).

2.                 Протяните формулу вниз.

Шаг 3. Добавьте график на тот же лист:

1.                 Щёлкните по существующей диаграмме правой кнопкой мыши → «Выбрать данные».

2.                 Нажмите «Добавить» → укажите:

o                  Имя ряда: «y = 2*cos(x + π/4)».

o                  Значения X: столбец C.

o                  Значения Y: столбец D.

3.                 Нажмите «ОК».

Результат: косинусоида с амплитудой 2 и сдвигом влево на π/4.

3. Практическая часть

Задание 1. Постройте график y = cos(x) на интервале [–π; π] с шагом 0,1. Сравните его с графиком y = sin(x) (из примера 1) на одной диаграмме.

Задание 2. Постройте график y = 3 * sin(2x) на [0; 2π]. Объясните, как изменились амплитуда и период по сравнению с y = sin(x).

Задание 3. Постройте график y = tan(x) на [–π/2; π/2] с шагом 0,05. Обратите внимание на точки разрыва (где Excel выводит ошибки). Попробуйте скрыть их, заменив на #Н/Д или пустые ячейки.

Задание 4. Постройте график y = cot(x) на [0,1; π–0,1] (чтобы избежать деления на ноль). Сравните с y = tan(x).

Задание 5. Постройте два графика на одном поле:

o        y = sin(x);

o        y = sin(x + π/3).
Объясните, как сдвиг аргумента влияет на форму графика.

Задание 6. Создайте таблицу для y = a * sin(bx + c), где:

o        a (амплитуда) задаётся в ячейке F1;

o        b (частота) — в F2;

o        c (сдвиг) — в F3.
Постройте график, меняя значения в F1:F3, и наблюдайте, как меняется форма кривой.

4. Советы по выполнению

Ø     Для точности: используйте больше точек (меньший шаг) при построении тангенса/котангенса.

Ø     Для красоты: настройте цвета линий, добавьте легенду, подписи осей.

Ø     Для анализа: включите сетку на графике, добавьте маркеры для ключевых точек.

Ø     Если график «рваный»: проверьте шаг по x и отсутствие ошибок в формулах.

Ø     Чтобы сохранить: скопируйте диаграмму в Word или сохраните файл Excel.

5. Проверка результатов

Критерии верного выполнения:

ü     График плавный, без «скачков» (кроме точек разрыва у тангенса/котангенса).

ü     Оси подписаны, легенда присутствует.

ü     Для sin(x) и cos(x) видны пики в точках π/2, π, 3π/2 и т. д.

ü     Преобразованные функции (с множителями и сдвигами) соответствуют математическому ожиданию.

ü