Справочный материал по математике для 5-6 классов

📚 Справочник по математике за 5-6 классов

🔢 5 КЛАСС

1. Натуральные числа - Это числа для счёта (1, 2, 3, 4...).

2. Сложение и вычитание

· Свойства сложения:

  · Переместительное: От перестановки мест слагаемых сумма не меняется. a + b = b + a

    · 7 + 7 = 7 + 7

  · Сочетательное: Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего. (a + b) + c = a + (b + c)

    · (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

· Чтобы найти неизвестное:

  · Слагаемое: надо из суммы вычесть известное слагаемое.

    · x + 5 = 12 → x = 12 - 5 → x = 7

  · Уменьшаемое: надо к разности прибавить вычитаемое.

    · x - 4 = 6 → x = 6 + 4 → x = 10

  · Вычитаемое: надо из уменьшаемого вычесть разность.

    · 15 - x = 9 → x = 15 - 9 → x = 6

3. Умножение и деление

· Порядок действий: Важно помнить порядок, чтобы решать примеры правильно!

  1. Действия в скобках.

  2. Умножение и деление (слева направо).

  3. Сложение и вычитание (слева направо).

  · Пример: 12 - 4 * (5 - 3)

    1. 5 - 3 = 2 (скобки)

    2. 4 * 2 = 8 (умножение)

    3. 12 - 8 = 4 (вычитание)

4. Обыкновенные дроби

Дробь— это часть целого. Верхнее число — числитель (сколько взяли), нижнее — знаменатель (на сколько частей разделили).

· Как сравнить дроби с одинаковым знаменателем: Из двух дробей больше та, у которой числитель больше.

  · 3/5 > 2/5 (три пятых больше, чем две пятых)

· Как сложить/вычесть дроби с одинаковым знаменателем: Знаменатель переписываем, а числители складываем или вычитаем.

  · 2/7 + 3/7 = 5/7

  · 5/9 - 2/9 = 3/9 (можно сократить: 3/9 = 1/3)

5. Десятичные дроби Это дроби,у которых знаменатель 10, 100, 1000 и т.д. Записываются через запятую.

· Сложение и вычитание: Главное — запятая под запятой! Дополняем нулями справа, чтобы было удобнее.

  · 2,45 + 1,3 = 2,45 + 1,30 = 3,75

· Умножение на 10, 100, 1000: Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000, надо запятую перенести вправо на 1, 2, 3 цифры.

  · 0,6 * 100 = 60 (запятая прыгнула на 2 цифры вправо)

· Деление на 10, 100, 1000: Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000, надо запятую перенести влево на 1, 2, 3 цифры.

  · 45,7 : 10 = 4,57 (запятая прыгнула на 1 цифру влево)

6. Проценты Процент— это сотая часть числа. 1% = 1/100

· Как найти 1% от числа: Разделить число на 100.

  · 1% от 200 это 200 : 100 = 2

· Как найти несколько процентов: Сначала найти 1%, а потом умножить на нужное количество.

  · Найти 15% от 200:

    1. 200 : 100 = 2 (это 1%)

    2. 2 * 15 = 30 (это 15%)

➗ 6 КЛАСС

1. Делимость чисел

· Признаки делимости:

  · На 2: Число оканчивается четной цифрой (0, 2, 4, 6, 8).

  · На 5: Число оканчивается на 0 или 5.

  · На 10: Число оканчивается на 0.

  · На 3: Сумма цифр числа делится на 3.

    · 117 → 1+1+7=9, а 9 делится на 3 → значит, и 117 делится на 3.

  · На 9: Сумма цифр числа делится на 9.

· НОД (Наибольший Общий Делитель) — самое большое число, на которое делятся два числа без остатка.

  · Для 12 и 18: делители 12 (1,2,3,4,6,12), делители 18 (1,2,3,6,9,18). Общие делители — 1,2,3,6. Самый большой — 6.

· НОК (Наименьшее Общее Кратное) — самое маленькое число, которое делится на оба числа без остатка.

  · Для 4 и 5: кратные 4 (4,8,12,16,20...), кратные 5 (5,10,15,20...). Первое общее — 20.

2. Действия с дробями

· Сложение/вычитание дробей с разными знаменателями:

  1. Найти общий знаменатель (обычно НОК).

  2. Записать дополнительные множители.

  3. Умножить числители на доп. множители.

  4. Сложить/вычесть числители, знаменатель переписать.

  · 1/4 + 1/6

    1. Общий знаменатель для 4 и 6 — 12.

    2. Доп. множитель для 1/4 — 3 (12:4=3), для 1/6 — 2 (12:6=2).

    3. (1*3)/(4*3) + (1*2)/(6*2) = 3/12 + 2/12 = 5/12

· Умножение дробей:

 Умножить числитель на числитель, знаменатель на знаменатель.

  · 2/5 * 3/7 = (2*3)/(5*7) = 6/35

· Деление дробей:

 Деление заменяем умножением на перевернутую (обратную) дробь.

  · 2/5 : 3/7 = 2/5 * 7/3 = (2*7)/(5*3) = 14/15

3. Положительные и отрицательные числа

 Числа бывают > нуля (положительные: 1, 2, 3...) и < нуля (отрицательные: -1, -2, -3...).

Ноль (0) — ни то, ни другое.

· Модуль числа — это расстояние от нуля до этого числа. Обозначается так: |−5|.

Модуль всегда положительный.

  · |5| = 5, |−5| = 5

· Правила знаков:

  · (+) + (+) = (+) → 5 + 3 = 8

  · (−) + (−) = (−) → -5 + (-3) = -8

  · Если числа с разными знаками, из большего модуля вычитаем меньший и ставим знак числа с большим модулем.

    · -7 + 4 = -3 (модуль -7 равен 7, он больше. 7-4=3, ставим знак -).

    · 8 + (-5) = 3 (модуль 8 равен 8, он больше. 8-5=3, знак +).

· Умножение и деление:

  · (+) * (+) = (+) → 6 * 2 = 12

  · (−) * (−) = (+) → (-6) * (-2) = 12

  · (−) * (+) = (−) → (-6) * 2 = -12

  · То же самое для деления!

4. Пропорции

Пропорция— это равенство двух отношений: a : b = c : d (читается: "а относится к b, как с относится к d").

· Основное свойство пропорции:

 Произведение крайних членов равно произведению средних. a * d = b * c

  · Проверить, верна ли пропорция 6:3 = 4:2:

    · Крайние: 6 и 2. Их произведение: 6 * 2 = 12

    · Средние: 3 и 4. Их произведение: 3 * 4 = 12

    · 12 = 12 → пропорция верна!

5. Решение уравнений

Главная цель— найти x и оставить его одного.

· Что делать?

  1. Раскрыть скобки (если есть).

  2. Перенести слагаемые с x в одну сторону, а числа — в другую. При переносе знак меняется на противоположный!

  3. Привести подобные.

  4. Разделить обе части уравнения на число перед x.

  · Пример: 3*(x - 5) = 2*x + 4

    1. 3x - 15 = 2x + 4 (раскрыли скобки)

    2. 3x - 2x = 4 + 15 (перенесли 2x влево с -, а -15 вправо с +)

    3. x = 19 (привели подобные)

Пользуйся этим справочником, и у тебя всё получится! 👍