МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ - Тема: Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методами хорд и касательных.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ В СПО

Разработал преподаватель: Игнатьева Елена Сергеевна

Тема:

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методами хорд и касательных.

Цель работы:

-          применить умения отделять корни алгебраических уравнений;

-          применить умения решать алгебраические уравнений приближенными методами (метод хорд и касательных);

Оборудование:

1. Рабочая тетрадь в клетку.

2. Раздаточный материал: инструкционные карты-20шт.

3. Калькулятор простой.

Задание:

Вариант 1    

1. Методом хорд с точностью до 0,01 найдите приближенное значение наибольшего действительного  корня следующего алгебраического уравнения.

2. Методом касательных с точностью до 0,01 найдите приближенное значение наибольшего действительного корня следующего алгебраического уравнения.

3. Комбинированным методом хорд и касательных решить уравнение с точностью до 0,01.

Вариант 2

1. Методом хорд с точностью до 0,01 найдите приближенное значение наибольшего действительного  корня следующего алгебраического уравнения.

2. Методом касательных с точностью до 0,01 найдите приближенное значение наибольшего действительного корня следующего алгебраического уравнения.

3. Комбинированным методом хорд и касательных решить уравнение с точностью до 0,01.

Порядок выполнения:

1.      Внимательно прочитать тему и цель практической работы.

2.      Изучить учебный материал по теме.

3.      Ответить на вопросы.

4.      Выполнить задания.

5.      Подготовить отчет.

Пояснения к работе (учебный материал):

Метод хорд.

Предположим, что удалось найти достаточно малый промежуток , содержащий ровно один действительный корень уравнения (1).

Тогда, согласно теореме 5, непрерывная и дифференцируемая функция  принимает на его концах значения разных знаков, т.е. .

Предположим, также, что промежуток  столь мал, что во всех его точках   сохраняют постоянный знак.

На рис. 1 – 4 изобразим схематические графики четырёх типов расположения дуги кривой.

Отдельно  рассмотрим и опишем два случая.

Случай 1.  на , т.е. либо  и  на , либо  и  на

Случай 2.  на , т.е. либо и  на , либо  и  на

Приведем алгоритм решения задачи в первом случае:

а) через точки  и  кривой  проведем хорду AB. Ее уравнение имеет вид:

 или ;

б) найдём абсциссу точки пересечения хорды АВ с осью Ох. Положив , получим ;

в) подставив значение  в уравнение кривой , получим . Точка  имеет координаты ;

г) через точки  и  кривой  проведем хорду . Ее уравнение имеет вид:

 или

д) найдем абсциссу точки пересечения хорды  с осью . Положив , будем иметь:

;

е) в результате получим последовательность значений,,,…, сходящуюся к .

После выполнения неравенства , где  - выбранная нами точность приближения, процесс следует закончить.

Итак, в первом случае вычисления производятся по формулам:

;

                                                                                   (2)

Приведем алгоритм решения задачи во втором случае:

а) значения  и  находятся так же, как и в первом случае. Точка  имеет координаты ;

б) через точки  и  кривой  проведем хорду . Ее уравнение имеет вид:  или ;

в) найдем абсциссу точки пересечения хорды с осью Ox. Положив , будем иметь: ;

г) дальнейшие действия такие же, как и в первом случае. Итак, во втором случае вычисления производятся по формулам:

Метод касательных (метод Ньютона).

При тех же предложениях, что и в методе хорд на рис. 5 и 8, изобразим схематически графики четырех типов расположения дуги кривой.

Отдельно рассмотрим и опишем два случая.

Случай 1. .  на  (см. рис. 5 и 8), т.е. либо  и  на , либо  и  на .

Случай 2.  на (см. рис. 6 и 7), т.е. либо и  на , либо  и  на .

Приведем алгоритм решения задачи в первом случае:

а) через точку  проведем касательную к кривой . Ее уравнение имеет вид:

 или ;

б) найдём абсциссу точки пересечения этой  касательной с осью Ox. Положив , получим ;

в) подставив значение  в уравнении кривой  получим: . Точка  имеет координаты ;

г) через точку  проведем касательную к кривой . Ее уравнение имеет вид:

 или ;

д) найдём абсциссу точки пересечения этой касательной с осью Ox. Положив , получим ;

е) в результате получим последовательность значений ,,…, сходящуюся к .

После выполнения неравенства , где  - выбранная нами точность приближения, процесс следует закончить.

Итак, в первом случае вычисления производятся по формулам:

Алгоритм решения задачи во втором случае будет таким же, как и в первом случае, только  первая касательная будет проводиться через точку .

Итак, во втором случае вычисления проводятся по формулам:

Комбинированный метод хорд и касательных.

 Пусть требуется найти действительный корень уравнения  изолированный на отрезке . Предполагается, что  и  имеют разные знаки, а каждая из производных сохраняет определенный знак на отрезке изоляции. Возьмем на отрезке  такую точку что  и  (при x, принадлежащем промежутку изоляции) имеют одинаковые знаки.

Воспользуемся формулами методов хорд и касательных:

Величины  и  принадлежат промежутку изоляции, причем  и

Построим новую пару приближений к корню:

       .

Точки  и  на числовой оси расположены между точками  и , причем  и  имеют разные знаки.

Вычислим теперь значения

       и т.д.

Каждая из последовательностей

   …,  …;    …,  …

стремится к искомому корню, причем одна из последовательностей монотонно возрастает, а другая – монотонно убывает. Пусть, например,  тогда. Задав заранее достаточно малое  мы  можем, увеличивая  добиться выполнения неравенства  следовательно, при этом же значении  будет выполняться неравенство  Таким образом,  является приближенным значением корня  вычисленным с погрешностью, не превышающей  

Так, например, для нахождения приближенного значения  с точностью до 0,001 нужно определить  таким образом, чтобы значения  и  вычисленные с точностью до 0,001, совпадали.

При выполнении практической работы рассмотрите следующие примеры:

Пример 1.

Методом хорд найти положительный корень уравнения

С точностью

Прежде всего, отделяем корень. Так как

 и

То искомый корень х лежит в интервале . Полученный интервал велик, поэтому разделим его пополам. Так как

 и

То искомый корень х лежит в интервале . Полученный интервал велик, поэтому разделим его пополам. Так как

 то

Так как  при  и , то воспользуемся формулой (5) для решения поставленной задачи:

 следовательно, продолжаем вычисления;

Таким образом, можно принять  с точностью .

Заметим, что точный корень уравнения .

Пример2.

С помощью графического метода отделить корни трансцендентного уравнения и уточнить их методом Ньютона с точностью е=0,00001.

.

Решение. Запишем наше уравнение в виде . Строим графики данных функций.

Из рис. 3 видно, что данное уравнение имеет два корня: первый корень принадлежит отрезку [0,1; 1], а второй [1,1; 2].

Уточним корни методом касательных. Для этого вычислим производные.

Итерационная формула метода Ньютона в данном случае принимает вид.

где n=1, 2, 3, ... .

Результаты вычислений представим в виде таблиц

Аналогично получаем результаты для второго корня

Пример 3.

Используя комбинированный метод хорд и касательных, найти приближенное значение корня уравнения  изолированного в промежутке (1,2), с точностью до 0,001.

Имеем    В указанном промежутке  поэтому за первое приближение в способе касательных берем  так как

Искомый корень принадлежит промежутку (1,9; 1,94); имеем  

Так как значения  и  вычисленные с точностью до 0,001, совпали, то приближенное значение корня  вычисленное с точностью до 0,001, есть 1,936.

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Какие знаете приближенные методы решения алгебраических уравнений?

2. В чем суть решения уравнений комбинированным методом хорд и касательных?

Содержание отчета:

Название практической работы.

Учебная цель.

Решение заданий практической работы.

Ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

Литература:

- Численные методы и программирование: Учебное пособие / В.Д. Колдаев; Под ред. Л.Г. Гагариной. - М.: ИД ФОРУМ: НИЦ Инфра-М, 2016. - 336 с…

- Гателюк, О. В. Численные методы : учеб. пособие для СПО / О. В. Гателюк, Ш. К. Исмаилов, Н. В. Манюкова. — М. : Издательство Юрайт, 2018. — 140 с. — (Серия : Профессиональное образование)

- Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. «Численные методы в задачах и упражнениях»/ Под ред. В.А.Садовничего – М.:Высш.шк.,2016

-  Вержбицкий В.М. «Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения» - М.: Высшая школа, 2017

- Волков Е.А. «Численные методы» - СПб.: Издательство «Лань», 2015

- Исаков В.Н. «Элементы численных методов» - М.: Издательский центр «Академия», 2016.

- Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В.; Под ред. Садовничий В.А Численные методы в задачах и упражнениях: Учебное пособие /., - 4-е изд., (эл.) - М.:БИНОМ. Лаб. знаний, 2015. - 243 с.: ISBN 978-5-9963-2980-9 - Режим доступа: http://znanium.com/

- А.В. Гулин, О.С. Мажорова, В.А. Морозова Введение в численные методы в задачах и упражнениях : учеб. пособие /. — М. : ИНФРА-М, 2017. — 368 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). - Режим доступа: http://znanium.com/

- Калиткин Н.Н., Численные методы: Учебное пособие / - 2-е изд., исправленное. - СПб:БХВ-Петербург, 2015. - 587 с. ISBN 978-5-9775-2575-6 - Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/94450.

Скачано с www.znanio.ru