Параллелепипед, прямоугольный параллелепипед и его свойства.

Параллелепипед — это многогранник с шестью гранями. Каждая грань — параллелограмм.
У параллелепипеда 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.
АВСD – нижнее основание
𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐵 1 𝐵𝐵 𝐵 1 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 - верхнее основание
А А 1 А А 1 1 А 1 𝐵 1 𝐵𝐵 𝐵 1 1 𝐵 1 В, В В 1 В В 1 1 В 1 С 1 С С 1 1 С 1 С, D 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝐶𝐶,А 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 𝐷𝐷 – боковые грани
А, В, С, D, 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 ,𝐵 1 ,𝐵𝐵 ,𝐵 1 1 ,𝐵 1 , 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 , 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 - вершины
АВ, ВС, СD, АD – ребра нижнего основания
𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐵 1 𝐵𝐵 𝐵 1 1 𝐵 1 , 𝐵 1 𝐶 1 , 𝐶 1 𝐵 1 𝐵𝐵 𝐵 1 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 , 𝐶𝐶 𝐵 1 𝐶 1 , 𝐶 1 1 𝐵 1 𝐶 1 , 𝐶 1 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 , 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 − ребра верхнего основания
А 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 , В𝐵 1 В𝐵𝐵 В𝐵 1 1 В𝐵 1 , С 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 , 𝐷𝐷 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 - боковые ребра

Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными, а не имеющие общих рёбер — противоположными.
Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда:
A1C, D1B, AC1, DB1.
Длины непараллельных рёбер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями) – AB, AD, AA1.

В зависимости от видов параллелограммов и их расположения выделяют разные виды параллелепипедов: параллелепипеды могут быть прямые и наклонные.

У прямых параллелепипедов боковые грани — прямоугольники, у наклонных — параллелограммы. Прямой параллелепипед, у которого основанием тоже является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом.

1. Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.
2. Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
3. Боковые грани прямого параллелепипеда — прямоугольники.

Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию. Основание прямого параллелепипеда — параллелограмм. В прямом параллелепипеде боковые грани — прямоугольники. На рисунке: ребро А 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 перпендикулярно основанию ABCD. А 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 перпендикулярна прямым АB и АD, которые лежат в плоскости основания.

1. Основания прямого параллелепипеда — одинаковые параллелограммы, лежащие в параллельных плоскостях.
2. Боковые ребра прямого параллелепипеда равны, параллельны и перпендикулярны плоскостям оснований.
3. Высота прямого параллелепипеда равна длине бокового ребра.
4. Противолежащие боковые грани прямого параллелепипеда — равные прямоугольники.
5. Диагонали прямого параллелепипеда точкой пересечения делятся пополам.

Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольным параллелепипедом называется параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию. На рисунке: основание прямоугольного параллелепипеда ABCD - прямоугольник; боковое ребро А 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 перпендикулярно АВСD;  BAD = 90°.

Прямоугольный параллелепипед содержит 6 граней. Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.
Противолежащие грани параллелепипеда попарно параллельны и равны.
Все углы прямоугольного параллелепипеда, состоящие из двух граней — 90°.
Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
В прямоугольный параллелепипеде четыре диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Если все ребра прямоугольного параллелепипеда равны, то такой параллелепипед является кубом.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Формулы прямоугольного параллелепипеда:

Объем прямоугольного параллелепипеда
V = a · b · h
a — длина, b — ширина, h — высота
Площадь боковой поверхности
Sбок = Pосн·c=2(a+b)·c
Pосн — периметр основания, с — боковое ребро
Площадь поверхности
Sп.п = 2(ab+bc+ac)

Синус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.Косинус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.Тангенс острого угла α – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.Котангенс острого угла α – это отношение прилежащего катета к противолежащему.

Катет b, противолежащий углу α, равен произведению гипотенузы на sin α:
b = c · sin α
Катет a, прилежащий к углу α, равен произведению гипотенузы на cos α:
a = c · cos α
Катет b, противоположный углу α, равен произведению второго катета на tg α:
b = a · tg α
Катет a, прилежащий к углу α, равен произведению второго катета на ctg α:
a = b · ctg α

Три ребра параллелепипеда, имеющие общую вершину равны 2 м, 3 м, 5 м, а одна из его диагоналей равна 6 м. Является ли этот параллелепипед прямоугольным?

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что BD1=5, DD1=3, ВС= 7 7 7 7 . Найти длину ребра АВ.

Дан прямоугольный
параллелепипед

Дан прямоугольный
параллелепипед

Основание прямого параллелепипеда – ромб с острым углом 60 и большей диагональю 6 3 3 3 3 см. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45. Найдите боковую поверхность параллелепипеда.
Решение
АВСD 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐵 1 𝐵𝐵 𝐵 1 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 - прямой параллелепипед, АВСD – ромб,
BAD = 60, AC = 6 3 3 3 3 см. ВB1 перпендикулярно плоскости основания, B1D – меньшая диагональ, ВD – её проекция на плоскость основания, значит,  B1DB – угол, который меньшая диагональ образует с плоскостью основания,  B1DB = 45, Sбок. – ?
Т. к.  BAD = 60   ABC = 120
AC2 = AD2 + BC2 – 2AB  BC  cos  ABC
(6 3 3 3 3 )2 = x2 + x2 – 2x  x  cos 120
108 = 2x2 – 2x2 − 1 2 − 1 2 1 1 2 2 1 2 − 1 2
108 = 3x2
x2 = 36
x = 6, х = -6 – не уд.
 ABD – равнобедренный, равносторонний 
BD = AB = AD = 6 (см)
 B1BD: BB1 = BD = 6 (см) (т. к.  BB1D =  B1DB = 45)
Sбок. = p  h = 4  6  6 = 144 (см2)
Ответ: 144 см2

В прямоугольном параллелепипеде диагональ d образует с основанием угол . Угол между диагональю основания и его стороной равен . Определите боковую поверхность.
Решение
 BD1B1 = , BD1 = d,  C1A1D1 = , Sбок. – ?
 BB1D1: BB1 = BD1  sin  BD1B1 = d  sin 
B1D1 = BD1  cos  BD1B1 = d  cos 
2)  B1A1D1: A1B1 = B1D1  sin  B1D1А1 = d  cos   sin 
A1D1 = B1D1  cos  B1D1A1 = d  cos   cos 
3) Sбок. = p  h = 2  (A1B1 + A1D1)  BB1 = 2(d cos   sin  +
+ d cos  cos )  d sin  = 2d2 cos  sin (sin  + cos ) =
= d2 sin 2(sin  + cos )
Ответ: d2 sin 2(sin  + cos )

В прямом параллелепипеде стороны основания равны 2 2 2 2 2 см и 5 см. Они образуют угол в 45, меньшая диагональ параллелепипеда равна 7 см . Определите его полную поверхность.
Решение
A1B1 = 2 2 2 2 2 см, B1C1 = 5 см,  В1А1D1 = 45, BD1 = 7 см, Sполн. – ?
Sполн. = 2Sосн. + Sбок.
Из  А1B1D1: B1D1 = 𝐴 1 𝐵 1 2 + 𝐴 1 𝐷 1 2 −2𝐴𝐵 ∙𝐵𝐷 ∙ cos 45° 𝐴 1 𝐵 1 2 + 𝐴 1 𝐷 1 2 −2𝐴𝐵 ∙𝐵𝐷 ∙ cos 45° 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐵 1 2 𝐵𝐵 𝐵 1 2 1 𝐵 1 2 2 𝐵 1 2 + 𝐴 1 𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐴 1 𝐷 1 2 𝐷𝐷 𝐷 1 2 1 𝐷 1 2 2 𝐷 1 2 −2𝐴𝐴𝐵𝐵 ∙𝐵𝐵𝐷𝐷 ∙ cos 45° cos cos 45° 45° cos 45° 𝐴 1 𝐵 1 2 + 𝐴 1 𝐷 1 2 −2𝐴𝐵 ∙𝐵𝐷 ∙ cos 45° = = 8+25−2 ∙2 2 ∙5 ∙ 2 2 8+25−2 ∙2 2 ∙5 ∙ 2 2 8+25−2 ∙2 2 2 2 2 ∙5 ∙ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8+25−2 ∙2 2 ∙5 ∙ 2 2 = 8+25−20 8+25−20 8+25−20 8+25−20 = 13 13 13 13 (см)
2) Из  ВB1D1: BB1 = 𝐵 𝐷 1 2 − 𝐵 1 𝐷 1 2 𝐵 𝐷 1 2 − 𝐵 1 𝐷 1 2 𝐵𝐵 𝐷 1 2 𝐷𝐷 𝐷 1 2 1 𝐷 1 2 2 𝐷 1 2 − 𝐵 1 𝐵𝐵 𝐵 1 1 𝐵 1 𝐷 1 2 𝐷𝐷 𝐷 1 2 1 𝐷 1 2 2 𝐷 1 2 𝐵 𝐷 1 2 − 𝐵 1 𝐷 1 2 = 49−13 49−13 49−13 49−13 = 36 36 36 36 = 6 (см)
3) Sосн. = A1D1  A1B1  sin 45 = 2 2 2 2 2  5  1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 = 10 (см2)
4) Sбок. = р  ℓ = (2 2 2 2 2 + 5)  2  6 = 24 2 2 2 2 + 60 (см2)
5) Sполн. = 2  10 + 24 2 2 2 2 + 60 = 80 + 24 2 2 2 2 (см2)
Ответ: 80 + 24 2 2 2 2 (см2)

Основанием прямого параллелепипеда является ромб, площади диагональных сечений параллелепипеда равны S и Q. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.
Решение
Пусть АА1 = ℓ
𝑆 𝐴𝐶 С 1 А 1 𝑆𝑆 𝑆 𝐴𝐶 С 1 А 1 𝐴𝐴𝐶𝐶 С 1 С С 1 1 С 1 А 1 А А 1 1 А 1 𝑆 𝐴𝐶 С 1 А 1 = S = AA1  A1C1
𝑆 𝐵𝐷 𝐷 1 𝐵 1 𝑆𝑆 𝑆 𝐵𝐷 𝐷 1 𝐵 1 𝐵𝐵𝐷𝐷 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 𝐵 1 𝐵𝐵 𝐵 1 1 𝐵 1 𝑆 𝐵𝐷 𝐷 1 𝐵 1 = Q = BB1  B1D1
A1C1 = S 𝓁 S S 𝓁 𝓁𝓁 S 𝓁 ; B1D1 = Q 𝓁 Q Q 𝓁 𝓁𝓁 Q 𝓁 ; A1O = S 2𝓁 S S 2𝓁 2𝓁𝓁 S 2𝓁 ; OD1 = Q 2𝓁 Q Q 2𝓁 2𝓁𝓁 Q 2𝓁 ;
A1D1 = 𝑆 2 2𝓁 2 + 𝑄 2 2𝓁 2 𝑆 2 2𝓁 2 + 𝑄 2 2𝓁 2 𝑆 2 2𝓁 2 𝑆 2 𝑆𝑆 𝑆 2 2 𝑆 2 𝑆 2 2𝓁 2 2𝓁 2 2𝓁 2𝓁𝓁 2𝓁 2𝓁 2 2 2𝓁 2 𝑆 2 2𝓁 2 + 𝑄 2 2𝓁 2 𝑄 2 𝑄𝑄 𝑄 2 2 𝑄 2 𝑄 2 2𝓁 2 2𝓁 2 2𝓁 2𝓁𝓁 2𝓁 2𝓁 2 2 2𝓁 2 𝑄 2 2𝓁 2 𝑆 2 2𝓁 2 + 𝑄 2 2𝓁 2 = 𝑆 2 + 𝑄 2 2𝓁 𝑆 2 + 𝑄 2 𝑆 2 + 𝑄 2 𝑆 2 𝑆𝑆 𝑆 2 2 𝑆 2 + 𝑄 2 𝑄𝑄 𝑄 2 2 𝑄 2 𝑆 2 + 𝑄 2 𝑆 2 + 𝑄 2 2𝓁 2𝓁𝓁 𝑆 2 + 𝑄 2 2𝓁
Sбок. = р  ℓ = 4  𝑆 2 + 𝑄 2 2𝓁 𝑆 2 + 𝑄 2 𝑆 2 + 𝑄 2 𝑆 2 𝑆𝑆 𝑆 2 2 𝑆 2 + 𝑄 2 𝑄𝑄 𝑄 2 2 𝑄 2 𝑆 2 + 𝑄 2 𝑆 2 + 𝑄 2 2𝓁 2𝓁𝓁 𝑆 2 + 𝑄 2 2𝓁  ℓ = 2 S 2 + Q 2 S 2 + Q 2 S 2 S S 2 2 S 2 + Q 2 Q Q 2 2 Q 2 S 2 + Q 2
Ответ: 2 S 2 + Q 2 S 2 + Q 2 S 2 S S 2 2 S 2 + Q 2 Q Q 2 2 Q 2 S 2 + Q 2

В основании прямого параллелепипеда лежит ромб с острым углом . Диагональ боковой грани наклонена к плоскости основания под углом , а площадь этой грани Q. Найдите полную поверхность этого параллелепипеда.
Решение
Пусть DC = a, ВАD = ,  C1DC = , 𝑆 𝐷 1 𝐶 1 𝐶𝐷 𝑆𝑆 𝑆 𝐷 1 𝐶 1 𝐶𝐷 𝐷 1 𝐷𝐷 𝐷 1 1 𝐷 1 𝐶 1 𝐶𝐶 𝐶 1 1 𝐶 1 𝐶𝐶𝐷𝐷 𝑆 𝐷 1 𝐶 1 𝐶𝐷 =𝑄𝑄
 C1CD: CC1 = DC  tg  C1DC = a tg 
Sбок. = р  ℓ; Sбок. = 4  DC  CC1 = 4a  a tg  = 4a2 tg 
Sбок. = 4Q (т. к. в основании ромб и все боковые грани равны)
4a2 tg  = 4Q
a2 = 4Q 4 tg α 4Q 4Q 4 tg α 4 tg α 4Q 4 tg α ; a2 = Q tg α Q Q tg α tg α Q tg α ; a = Q tg α Q tg α Q tg α Q Q tg α tg α Q tg α Q tg α
CC1 = Q tg α Q tg α Q tg α Q Q tg α tg α Q tg α Q tg α  tg  = 𝑄 𝑡𝑔 𝛼 𝑄 𝑡𝑔 𝛼 𝑄𝑄 𝑡𝑡𝑔𝑔 𝛼𝛼 𝑄 𝑡𝑔 𝛼
Sполн. = Sбок. + 2Sосн. ; Sосн. = DC2  sin  BCD = Q tg α Q Q tg α tg α Q tg α  sin 
Sполн. = 2  Q tg α Q Q tg α tg α Q tg α  sin  + 4Q = 2Q sin  ctg  + 4Q
Ответ: 2Q sin  ctg  + 4Q

Домашнее задание

Стороны основания прямоугольного параллелепипеда (2 – 2 2 2 2 ) см и (2 + 2 2 2 2 ) см, а его диагональ наклонена к основанию под углом 60. Найдите боковую поверхность параллелепипеда.

https://resh.edu.ru/subject/lesson/7731/conspect/325367/
https://www.yaklass.ru/p/geometria/10-klass/parallelnost-v-prostranstve-10435/elementy-tetraedra-i-parallelepipeda-11923/re-578cd714-b8c3-46b9-85b6-9a461259767e
https://skysmart.ru/articles/mathematic/pryamougolnyj-parallelepiped
https://foxford.ru/wiki/matematika/priamougolnyiparallelipipedkub?utm_referrer=https%3A%2F%2Fyandex.ru%2F