Событие, вероятность события. Сложение и умножение вероятностей

Лекция. Событие, вероятность события. Сложение и умножение вероятностей

Цель: применение теории при решении задач

План лекции:

1. Введение. Теория вероятности .

2. События и действия над событиями. Примеры

3. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности. 

4.  Теоремы о сложении и умножении вероятностей

Основные понятия и определения: событие, сумма событий, произведение событий, противоположное , невозможное, случайное, достоверное событие, совместные, противоположные, равновозможные,  независимые события, полная система событий. Определение вероятности. Свойства вероятностей, теоремы о сложении и умножении вероятностей.

Основное содержание материала:

1.  Введение. Теория вероятности

 Теория вероятностей возникла в середине XVII века. У ее истоков стояли французские математики Б. Паскаль и П. Ферма, а также голландский математик  Х. Гюйгенс. В переписке между ними, вызванной анализом задач, связанных с азартными играми, формировались основные понятия теории вероятностей. При этом великие математики предвидели фундаментальную роль создаваемой науки, изучающей случайные явления.

В настоящее время интерес к теории вероятностей постоянно возрастает, а методы теории вероятностей находят применение в различных областях науки и жизнедеятельности: теории массового обслуживания, теории информации, экономике, теории надежности, физике, астрономии, геодезии и др.

Все явления окружающего нас мира связаны между собой в той или иной степени. Для изучения явлений и процессов мы не можем, конечно, учесть все связи, а оставляем только самые основные. При этом, однако, могут возникать различные ситуации. В одних случаях можно сказать почти однозначно, как поведет себя явление, например, подбрасывая камень вверх, мы знаем, что он упадет на землю. В других случаях такая однозначность может не иметь место. Например, стреляя в тире, можем попасть в цель, а можем не попасть; направляя мяч в сторону ворот, можем забить гол, можем попасть в штангу, а можем пробить совсем мимо ворот, но при многократном повторении результат удара начинает подчиняться некоторой закономерности. Выяснением закономерностей появления определенного результат и занимается теория вероятностей.

2.    События и действия над событиями.

Изучение любого явления в процессе наблюдения или производства опыта связано с осуществлением некоторого набора испытаний. Всякий результат или исход испытания называется событием.  Например, бросание монеты – испытание, а появление герба или решки – событие. Обозначают события: А = «выпала решка».

Суммой событий А и В называется такое событие С, при котором наступает хотя бы одно из событий А и В.

Пример 1: А = «выпало одно очко при бросании игрального кубика»,

               В = «выпало два очка при бросании игрального кубика»

Решение: С = А + В = «выпало одно или два очка»

Произведением событий А и В называется такое событие С, при котором наступают оба события одновременно.

Пример 2: А = «студенту на экзамене попался билет с четным номером»

В = «студенту на экзамене попался билет с номером, кратным 5»

Решение:   С = «студенту на экзамене попался билет с номером, кратным 10»

Противоположным событием для А называется такое событие Ā, которое происходит тогда, когда не происходит А.

Пример 3: Испытание: выстрел по мишени.

               А = «попал в цель»;  Ā = «не попал в цель»

Пример 4: Испытание: бросили кубик.

   А = «выпало 6 очков»

  Ā =«не выпало 6 очков, т.е. выпало 1, 2, 3, 4 или 5 очков»

2.1 Виды событий

Событие, которое происходит всегда, независимо ни от каких обстоятельств, называется достоверным.

Пример 5: Испытание: в коробке 10 белых шаров. Достаем один шар.

Событие А = «шар белый» - достоверное -  происходит всегда, т.к. все шары в коробке белые.

Событие, которое не происходит никогда, ни при каких обстоятельствах, называется невозможным.

Пример 6: Испытание: в коробке 10 белых шаров. Достаем один шар. Событие А = «шар черный» - невозможное -  не произойдет никогда, т.к.  все шары в  коробке  белые.

Событие, которое может произойти, а может не произойти, в зависимости от обстоятельств, называется случайным.

Пример 7: Испытание: в коробке 5 белых и 5 черных шаров. Достаем один шар.  Может произойти два события А = «шар черный» и В = «шар белый» – случайные – т.к. в коробке есть и белые и черные шары.

События называются несовместными, если никакие два из них не могут произойти вместе (или появление одного исключает появление другого).

Пример 8: При бросании монеты не могут выпасть сразу орел и решка.

 События называются совместными, если появление одного  не исключает появление другого.

Пример 9: При бросании двух монет  могут одновременно выпасть орел и решка. События называются противоположными, если в условиях испытания они, являясь единственными исходами, несовместны.

Пример 10: В ящике два шара: черный и белый. Испытание: достаем один шар.  События А = «белый шар» и В = «черный шар» – единственные события в этом испытании, а так как они несовместны, то являются  противоположными.

События называются равновозможными, если они имеют одинаковую возможность произойти.

Пример 11: а) В ящике два шара: синий и красный. Достаем один шар. С одинаковой  возможностью можно достать либо синий, либо красный; б) В ящике три шара: два синих и один красный. Естественно, достать синий шар более вероятнее, чем красный.

События называются независимыми, если появление или не появление одного не влияет на появление или не появление другого.

Пример 12: В двух коробках есть 5-копеечные и 10-копеечные монеты. Событие А = «достали 5-копеечную монету из одной коробки» и событие   В = «достали 10-копеечную монету из другой коробки» - независимые –  ни никак не влияют на появление друг друга

Совокупность всех событий испытания называется полной системой событий (обозначают U).

Пример 13: Бросаем игральную кость (кубик). Могут произойти следующие события: А₁ = «выпало 1 очко», А₂ = «выпало 2 очка», А₃ = «выпало 3 очка»,

 А₄ = «выпало 4 очка», А₅ = «выпало 5 очков», А₆ = «выпало 6 очков».Таким образом, полная система событий U = {А₁, А₃, А₃, А₄, А₅, А₆}.

Замечание: Так как в результате испытания обязательно произойдет одно из противоположных событий, то противоположные события образуют полную систему событий.

3. Классическое определение вероятности события

Вероятность события A в рамках классического 

определения — это отношение числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных и несовместимых элементарных исходов испытания.

Формула:

P(A)=n/m​, где: P(A) — вероятность события A;

m (количество исходов, благоприятствующих событию A (то есть таких, при которых событие A наступает))

 n (общее количество всех возможных равновозможных элементарных исходов испытания)

Свойства вероятности:

1) Р (невозможного события) = 0;

2) Р (достоверного события) = 1;

3) Р (случайного события)[0; 1].;

4) Р (U) = 1;

5) Р(А) + Р(Ā) = 1.                                     

4. Теоремы о сложении и умножении вероятностей

Теоремы сложения вероятностей. Теорема о сложении вероятностей несовместных событий:

Вероятность суммы попарно несовместных событий равна сумме вероятностей. Р(А + В)  =Р(А) + Р(В); Р(А₁ +…+ А_n) = Р(А₁) +…+ Р(A_n).

Теорема о сложении вероятностей совместных событий:

Вероятность суммы совместных событий равна сумме вероятностей без вероятности их произведения. Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Теоремы умножения вероятностей. Теорема об умножении вероятностей независимых событий:

Вероятность совместного появления независимых событий равна произведению вероятностей. Р(А·В) = Р(А) · Р(В).

 Теорема об умножении вероятностей независимых событий: Вероятность совместного появления нескольких независимых в совокупности событий равна произведению вероятностей. Р(А₁ ·…·А_n) = Р(А₁) ·…· Р(A_n).