Промежутки знакопостоянства. Чётные и нечётные функции. Промежутки монотонности

Нули функции разбивают область определения на несколько промежутков, в каждом из которых функция, сохраняет свой знак, принимая положительные или отрицательные значения. На графике, изображённом на рисунке схематично, представлены промежутки знакопостоянства функции.
Промежуток, на котором функция принимает значения только одного знака, называется промежутком знакопостоянства функции.

На промежутках [-9; -2) и (4; 8) график функции y = f(x) лежит ниже оси абсцисс. Значения функции на этих промежутках отрицательны, то есть y  0 при
x [-9; -2)  (4; 8).
На промежутках (-2; 4) и (8; 9] график функции y = f(x) лежит выше оси абсцисс. Значения функции на этих промежутках положительны, то есть y  0 при
x (-2; 4)  (8; 9].
Промежутки [-9; -2), (-2; 4), (4; 8) и (8; 9] являются промежутками знакопостоянства данной функции.

Найдем промежутки знакопостоянства функции f(x) = -2х + 6
Решение
Для этого решим неравенства:
-2х + 6  0, -2х  -6, х 3
-2х + 6  0, -2х  -6, х  3
Ответ: y  0 при x (3; +), y  0 при x (-; 3)

Монотонность функции

Монотонность функции

Промежутки возрастания и убывания функции называют промежутками монотонности функции, а функцию называют монотонной на промежутке возрастания или убывания.
Если функция возрастает на всей области определения, то ее называют возрастающей функцией, а если убывает, то убывающей функцией.

Задание 2. Определите промежутки монотонности по графику функции

Функция y = f(x) возрастает на промежутках, выделенных на рисунке зеленым цветом, то есть при x [-9; -8], [-6,5; 1,5], [6; 9].
Функция y = f(x) убывает на промежутках, выделенных на рисунке желтым цветом, то есть при x [-8; -6,5], [1,5; 6].

Подчеркните возрастающие функции красной чертой, а убывающие функции синей чертой.
f(x) = 27 – 23х,
f(x) = 3х,
f(x) = – 2х,
f(x) = 2х + 5,
f(x) = − 4 𝑥 4 4 𝑥 𝑥𝑥 4 𝑥 ,
f(x) = 7 𝑥 7 7 𝑥 𝑥𝑥 7 𝑥
 
 

По графику функции найдите:
а) нули функции;
б) промежутки знакопостоянства функции;
в) промежутки монотонности функции.

Определить, является ли данная функция четной, нечетной, общего вида: а) f(х) = 2х4 + 3х2 + 7; Решение. f(– х) = 2(– х)4 + 3(– х)2 + 7 = 2х4 + 3х2 + 7 = f(х). Данная функция четная. б) f(х) = x3 + x5;
f(– х) = (-x)3 + (-x)5 = -x3 -x5 = -f(х).
Данная функция нечетная.
в) f(х) = x2 + x,
f(– х) = (-x)2 + (-x) = x2 -x  f(х)  -f(х).
Данная функция не является ни четной, ни нечетной. Она является функцией общего вида.

Установите четность или нечетность функции: а) у = х4 – х6; г) у = 4х х 2 +1 4х 4х х 2 +1 х 2 х х 2 2 х 2 +1 4х х 2 +1 ; б) у = х 3 +х х 3 −х х 3 х х 3 3 х 3 +х х 3 +х х 3 −х х 3 х х 3 3 х 3 −х х 3 +х х 3 −х ; д) у = х2 – 5х + 6; в) у = х5 + х3; е) у = 3х3 + 5х2 – 2.

Найдите промежутки знакопостоянства функции: у = (х – 3)(х + 4)2; у = (х – 5)(х + 6)3;
у = 2х−7 5−3х 2х−7 2х−7 5−3х 5−3х 2х−7 5−3х ; у = х 2 −5х+6 х 2 −16 х 2 х х 2 2 х 2 −5х+6 х 2 −5х+6 х 2 −16 х 2 х х 2 2 х 2 −16 х 2 −5х+6 х 2 −16 ; у = х 2 −5х х 2 +5х+6 х 2 х х 2 2 х 2 −5х х 2 −5х х 2 +5х+6 х 2 х х 2 2 х 2 +5х+6 х 2 −5х х 2 +5х+6 . 

Найдите нули функции:а) у = х2 – 8х + 15
б) у = (х + 1 2 1 1 2 2 1 2 )(х – 1 4 1 1 4 4 1 4 )в) у = −3−6х 10х+1 −3−6х −3−6х 10х+1 10х+1 −3−6х 10х+1 г) у = 9 х 2 −4 х 2 −9 9 х 2 х х 2 2 х 2 −4 9 х 2 −4 х 2 −9 х 2 х х 2 2 х 2 −9 9 х 2 −4 х 2 −9

Ответ: 3; 5.Ответ: – 1 2 1 1 2 2 1 2 ; 1 4 1 1 4 4 1 4 .Ответ: – 0,5 Ответ:  2 3 2 2 3 3 2 3 .

https://lc.rt.ru/classbook/matematika-11-klass/podgotovka-k-ekzamenam/5290
https://resh.edu.ru/subject/lesson/6124/conspect/38969/
https://interneturok.ru/lesson/repetitorskiy-proekt/prakticheskie-zanyatiya-po-podgotovke-k-ege-po-matematike/tema-4-pokazatelnye-i-logarifmicheskie-funktsii-trigonometriya/teoreticheskaya-spravka-funktsii-svoystva-funktsiy