Математические основы криптографии

Лекция(семинар) на тему: Математические основы криптографии

Автор: преподаватель ГБ ПОО ЛНР «ККПК им.П.Л.Дремова»

                            Гурбанов Андрей Алексеевич

Введение

В современном мире, где информация является одной из самых ценных валют, защита этой информации становится первостепенной задачей. От банковских транзакций до личной переписки, от государственных секретов до коммерческих тайн – все нуждается в надежной защите от несанкционированного доступа. Именно здесь на сцену выходит криптография, наука о шифровании и дешифровании информации. Но что лежит в основе этой невидимой стены, защищающей наши цифровые данные? Ответ прост: математика.

Криптография – это не просто набор хитрых алгоритмов. Это глубоко укоренившаяся в математических принципах дисциплина, которая использует свойства чисел, алгебры, теории вероятностей и других разделов математики для создания надежных систем защиты. Без этих математических основ современная криптография была бы невозможна.

Основная часть

Алгебра и Теория Чисел

Два основных столба, на которых держится большая часть современной криптографии, – это алгебра и теория чисел.

Теория чисел изучает свойства целых чисел. В криптографии она играет ключевую роль в создании и анализе алгоритмов, основанных на таких понятиях, как:

Простые числа: Числа, которые делятся только на 1 и на самих себя. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... Их уникальные свойства делают их основой для многих криптографических алгоритмов, таких как RSA. Нахождение очень больших простых чисел и проверка их простоты – это сложные вычислительные задачи, которые лежат в основе безопасности этих систем. Представьте себе поиск иголки в стоге сена, но где "иголка" – это число, которое невозможно разделить ни на что, кроме себя и единицы, а "стог сена" – это бесконечное множество чисел.

Модульная арифметика: Арифметика по модулю, также известная как "часовая арифметика", является фундаментальным инструментом в криптографии. Она оперирует остатками от деления. Основная операция – взятие остатка от деления на некоторое число n, называемое модулем. Обозначается как a(modn).

 Например, в часах 12 часов, и после 12 снова идет 1. Это похоже на модульную арифметику, где числа "заворачиваются" после достижения определенного значения (модуля).

Представьте себе циферблат часов. Если сейчас 10 часов, и мы добавим 5 часов, то время будет 3 часа. Это можно представить как:
10+5≡15(mod12)
15÷12=1 с остатком 3.
Следовательно, 15≡3(mod12).

Модульная арифметика широко используется в шифровании, позволяя выполнять операции в ограниченном диапазоне чисел. Это как вращать ручку старого радиоприемника: когда вы доходите до конца шкалы, вы возвращаетесь к началу.

Применение в криптографии:

·         Алгоритмы шифрования с блочным шифрованием (AES): AES (Advanced Encryption Standard) использует операции в конечном поле GF(2^8). Это поле состоит из 256 элементов и имеет более сложную структуру, чем GF(p). Операции в GF(2^8) оптимизированы для аппаратной реализации и обеспечивают высокую скорость шифрования.

Пример (упрощенный, концептуальный): В AES используются такие операции, как "SubBytes" (замена байтов на основе таблицы подстановок, которая строится с использованием конечных полей) и "MixColumns" (линейное преобразование столбцов матрицы состояния, также основанное на операциях в конечных полях). Эти операции обеспечивают диффузию и конфузию, делая шифр устойчивым к криптоанализу.

·         Эллиптическая криптография (ECC): ECC использует точки на эллиптических кривых над конечными полями. Сложение точек на эллиптической кривой является основой для построения криптографических примитивов. Задача дискретного логарифмирования на эллиптических кривых считается более сложной, чем задача дискретного логарифмирования в обычных конечных полях, что позволяет использовать более короткие ключи для достижения того же уровня безопасности.

Дискретное логарифмирование: Обратная операция к возведению в степень по модулю. Если в обычной математике логарифм найти относительно легко, то в модульной арифметике эта задача становится вычислительно сложной для больших чисел. Это свойство лежит в основе таких алгоритмов, как Диффи-Хеллмана и Эль-Гамаля. Это как пытаться угадать, сколько раз вы повернули ручку радио, зная только конечную частоту и начальное положение, но при этом ручка имеет бесконечное количество оборотов.

Протокол Диффи-Хеллмана: Этот протокол для обмена ключами использует циклическую группу (например, мультипликативную группу целых чисел по модулю простого числа p, или группу точек на эллиптической кривой). Задача дискретного логарифмирования в этой группе считается вычислительно сложной.

Пример (упрощенный): Пусть мы работаем в мультипликативной группе целых чисел по модулю 23. Выберем генератор g=5.

Алиса выбирает секретное число a=6. Вычисляет A = g^a (mod 23) = 5^6 (mod 23).
5^2 = 25 ≡ 2 (mod 23)
5^4 ≡ 2^2 = 4 (mod 23)
5^6 = 5^4 5^2 ≡ 4 2 = 8 (mod 23). Алиса отправляет A=8 Бобу.

Боб выбирает секретное число b=15. Вычисляет B = g^b (mod 23) = 5^15 (mod 23).
5^15 = 5^(8+4+2+1) = 5^8 5^4 5^2 5^1 (mod 23)
5^8 = (5^4)^2 ≡ 4^2 = 16 (mod 23)
5^15 ≡ 16 4 2 5 (mod 23)
≡ 64 10 (mod 23)
64 = 2 23 + 18 ≡ 18 ≡ -5 (mod 23)
5^15 ≡ (-5) 10 = -50 (mod 23)
-50 = -3 23 + 19 ≡ 19 (mod 23). Боб отправляет B=19 Алисе.

Алиса получает B=19. Вычисляет общий секретный ключ: K = B^a (mod 23) = 19^6 (mod 23).
19 ≡ -4 (mod 23)
19^2 ≡ (-4)^2 = 16 (mod 23)
19^4 ≡ 16^2 = 256 (mod 23)
256 = 11 23 + 3 ≡ 3 (mod 23)
19^6 = 19^4 19^2 ≡ 3 16 = 48 (mod 23)
48 = 2 23 + 2 ≡ 2 (mod 23). Общий секретный ключ K=2.

Боб получает A=8. Вычисляет общий секретный ключ: K = A^b (mod 23) = 8^15 (mod 23).
8^2 = 64 ≡ 18 ≡ -5 (mod 23)
8^4 ≡ (-5)^2 = 25 ≡ 2 (mod 23)
8^8 ≡ 2^2 = 4 (mod 23)

8^15 = 8^8 8^4 8^2 _8^1 ≡ 4 2 (-5) 8 (mod 23)
≡ 8 (-40) (mod 23)
-40 = -2 _23 + 6 ≡ 6 (mod 23)
8^15 ≡ 8 _6 = 48 (mod 23)
48 = 2 _23 + 2 ≡ 2 (mod 23). Общий секретный ключ K=2.
Алиса и Боб успешно обменялись секретным ключом, не передавая его напрямую

Факторизация больших чисел: Разложение большого числа на его простые множители. Для обычных чисел это легко, но для очень больших чисел эта задача становится чрезвычайно трудоемкой. Алгоритм RSA основан на предположении, что факторизация больших составных чисел является вычислительно непрактичной. Это как пытаться разбить очень прочный кирпич на его исходные составляющие – песок, глину и воду, но при этом кирпич настолько велик и сложен, что процесс разборки занимает годы, даже десятилетия.

Алгебра предоставляет инструменты для работы с абстрактными структурами и операциями. В криптографии она находит применение в:

Группы, кольца и поля: Это абстрактные алгебраические структуры, которые определяют набор элементов и операции над ними. Криптографические алгоритмы часто работают в конечных полях или группах, где свойства этих структур обеспечивают безопасность. Например, эллиптические кривые, используемые в криптографии на эллиптических кривых (ECC), формируют абелеву группу, операции в которой обладают нужными свойствами для создания эффективных и безопасных криптосистем.

Криптография на основе решеток (Lattice-based cryptography): Некоторые современные криптографические алгоритмы, которые считаются постквантово-устойчивыми, основаны на сложности решения задач в решетках. Решетки можно рассматривать как обобщение концепции колец.

Пример (концептуальный): В криптографии на основе решеток используются операции с векторами в многомерном пространстве, где структура решетки определяет сложность задач. Например, задача поиска кратчайшего вектора в решетке является основой для безопасности некоторых алгоритмов.

Линейная алгебра: Используется в симметричных шифрах, таких как AES, где операции над блоками данных могут быть представлены как матричные преобразования. Это позволяет эффективно перемешивать и заменять биты информации, делая шифр устойчивым к различным атакам. Это как жонглировать несколькими шариками одновременно, но при этом каждый шарик меняет свое положение и цвет по строго определенным правилам, которые можно описать математически.

Другие математические дисциплины в криптографии

Помимо теории чисел и алгебры, криптография активно использует и другие разделы математики:

Теория вероятностей и математическая статистика: Эти дисциплины необходимы для анализа безопасности криптографических систем. Они помогают оценить вероятность успешной атаки, определить энтропию ключей и случайность генераторов псевдослучайных чисел, которые являются критически важными для криптографии. Это как предсказывать погоду, но вместо облаков и ветра вы анализируете случайность чисел и вероятность взлома.

Теория сложности вычислений: Изучает ресурсы (время, память), необходимые для решения вычислительных задач. Криптография опирается на задачи, которые легко решить в одном направлении, но чрезвычайно сложно в обратном (так называемые "односторонние функции"). Безопасность многих криптосистем гарантируется тем, что взлом требует решения NP-трудной задачи, что на практике невозможно за разумное время. Это как пытаться найти выход из лабиринта, который настолько огромен и запутан, что даже самый быстрый компьютер будет блуждать в нем миллиарды лет.

Комбинаторика: Используется для подсчета возможных комбинаций ключей, перестановок и других элементов, что важно для оценки пространства ключей и устойчивости к брутфорс-атакам. Это как подсчитывать все возможные способы расставить шахматные фигуры на доске, чтобы понять, насколько сложно угадать правильную расстановку.

Уникальность: Криптография как "Математический Дзен"

Что делает математические основы криптографии по-настоящему уникальными? Это не просто применение существующих математических теорий, а скорее создание новых математических задач и поиск их решений, которые специально разработаны для обеспечения безопасности. Криптография – это своего рода "Математический Дзен", где гармония и баланс между простотой выполнения операций и сложностью их обращения являются ключом к успеху.

"Асимметричная красота": В основе многих современных криптосистем лежит асимметрия – легкость выполнения одной операции и чрезвычайная сложность обратной. Это не просто математическая задача, это элегантное инженерное решение, воплощенное в числах. Представьте себе дверь, которую легко открыть изнутри, но практически невозможно снаружи без ключа, который сам по себе является математической загадкой.

"Гонка вооружений" интеллектов: Криптография – это постоянная интеллектуальная "гонка вооружений" между создателями шифров и их взломщиками. Каждое новое математическое открытие или алгоритм, повышающий безопасность, стимулирует поиск новых математических методов для его обхода. Это динамичный процесс, который постоянно подталкивает развитие как криптографии, так и самой математики. Это как бесконечная шахматная партия, где каждый ход – это новое математическое открытие, а цель – всегда быть на шаг впереди противника.

"Невидимая архитектура": Математика в криптографии – это невидимая архитектура, которая поддерживает весь наш цифровой мир. Мы не видим ее напрямую, но именно она обеспечивает конфиденциальность наших сообщений, целостность наших данных и подлинность наших транзакций. Это как фундамент небоскреба: его не видно, но без него все здание рухнет.

От абстракции к реальности

Уникальность математических основ криптографии также заключается в их способности служить мощным инструментом для обучения и развития критического мышления. Изучение криптографии – это не просто запоминание алгоритмов, это погружение в мир, где абстрактные математические концепции обретают осязаемое, практическое применение.

Визуализация абстракции: Криптография позволяет студентам и исследователям увидеть, как такие абстрактные понятия, как группы, поля или модульная арифметика, используются для решения реальных проблем. Это помогает преодолеть барьер между теоретической математикой и ее практическим применением, делая обучение более увлекательным и осмысленным. Представьте, что вы изучаете грамматику, а затем сразу же начинаете писать стихи, которые защищают секреты.

Развитие логического мышления: Проектирование и анализ криптографических систем требует глубокого логического мышления, способности к дедукции и индукции. Понимание того, почему определенные математические свойства делают систему безопасной, а другие – уязвимой, развивает аналитические способности. Это как решать сложную головоломку, где каждый элемент – это математическое свойство, и только правильное их сочетание приводит к безопасному решению.

Междисциплинарный подход: Криптография по своей сути междисциплинарная, объединяя математику, информатику, инженерию и даже философию (в вопросах конфиденциальности и свободы информации). Изучение криптографии стимулирует понимание взаимосвязей между различными областями знаний. Это как дирижировать оркестром, где каждый инструмент – это отдельная научная дисциплина, а общая мелодия – это безопасная передача информации.

Постоянное обновление знаний: Поскольку криптография является динамичной областью, она требует постоянного изучения новых математических открытий и их потенциального применения или, наоборот, использования для взлома существующих систем. Это формирует привычку к непрерывному обучению и адаптации. Это как быть детективом, который постоянно изучает новые методы преступников, чтобы разработать новые способы защиты.

Таким образом, математические основы криптографии – это не только фундамент для защиты нашего цифрового мира, но и мощный катализатор для интеллектуального развития. Они демонстрируют, как глубокие абстрактные идеи могут быть преобразованы в практические решения, формируя новое поколение мыслителей, способных решать самые сложные задачи современности. В этом симбиозе абстрактной красоты и практической необходимости и заключается истинная уникальность математики в криптографии.

Заключение

Математические основы криптографии – это не просто сухие формулы и абстрактные концепции. Это  живой, развивающийся организм, который постоянно адаптируется к новым угрозам и вызовам. От древних шифров Цезаря до современных алгоритмов на эллиптических кривых, математика всегда была и остается краеугольным камнем этой жизненно важной дисциплины. Понимание этих основ не только раскрывает красоту и элегантность криптографии, но и подчеркивает ее критическую роль в построении безопасного и доверенного цифрового будущего.

Список использованных источников

http://sppsk.perm.ru/abilympiks/

https://www.r21.spb.ru/empl/analytics_archive.htm?id=11080993@cmsArticle

https://bykhov.gov.by/index.php/vacans/item/4606-adaptacia?gdbaimopphlfcjec

https://rcbutovo.mos.ru/legislation/rehabilitation-and-habilitation/Федеральный закон от 24.11.1995 N 181-ФЗ (ред. от 26.05.2021.pdf

https://base.garant.ru/104540/

http://ipkfp.nspu.ru/file.php/1/Prjazhnikov_P.S._Psikhologija_truda_i_chelovecheskogo_dostoinstva.pdf

Скачано с www.znanio.ru