Умозаключения и их виды

Элементы логики

Лекция 3. Умозаключения и их виды
44.02.01 Дошкольное образование
ЕН.01 Математика
Преподаватель: Невенкина Оксана Ивановна

Умозаключения и их виды

Умозаключение – это способ получения нового знания на основе некоторых имеющихся. Умозаключение состоит из посылок и заключения.

Посылки – это высказывания, содержащие исходные знания.

Заключения – это высказывания, содержащие новое знание, полученное из исходных.

Ответьте на вопросы и проведите рассуждения, выявив посылки и заключение:

Какой день недели будет завтра?

Какие из чисел: 576, 80, 401, 3200 не делятся на 10?

Любой ли квадрат можно назвать ромбом?

Дедуктивные умозаключения

Умозаключения бывают разные, одни приводят к истине, другие могут быть ошибочными.
Дедуктивные умозаключения – умозаключения, в котором посылки и заключения находятся в отношении логического следования. (всегда истинные при истинных посылках).
Если 𝐴 1 𝐴 2⋅ …, 𝐴 𝑛 - посылки, В – заключение, то схема дедуктивного умозаключения:
𝐴 1 𝐴 2⋅ …, 𝐴 𝑛 ⇒ В

Правильно строить дедуктивные умозаключения и анализировать их помогают правила логики.

Правила дедуктивных умозаключений:




Заключения отрицания силлогизма другие

Правило заключения

А(х) ⇒ В(х) и А(а) ⇒В(а)

Утверждение А(х) ⇒ В(х) называют общей посылкой
А(а) – частной посылкой, В(а) – заключением.

Например: «Если число x называют при счете раньше числа y, то х< y»

Пример для дошкольника

Имеется одинаковое число чашек и блюдец.
Задание ребенку: «Покажи, что чашек столько же, сколько блюдец».
Рассуждения ребенка: «Поставим на каждое блюдце чашку».

В процессе предметно-практической деятельности ребенка и сопровождающих ее рассуждений можно выявить те же компоненты правила заключения.

Правило отрицания

(А(х) ⇒ В(х) и Не В(а)) ⇒ Не А(а)
Пример: « Число 17 не делится на 5, так как оно не заканчивается цифрами 5 или 0 (признак делимости на 5)»

Пример для дошкольника

Задание ребенку: «Установить поровну ли чашек и блюдец».
Рассуждения ребенка; «На одном блюдце нет чашки, значит блюдец больше, чем чашек».

Правило силлогизма

(А(х) ⇒ В(х) и В(х) ⇒С(х)) ⇒ (А(х) ⇒С(х))

Пример 1. «Если число натуральное, то оно положительное. Все положительные числа больше нуля. Следовательно, все натуральные числа больше нуля».

Многие предложения часто не произносят вслух, но подразумевают их наличие.
Пример 2. «Отрезки можно измерять»
Имеют ввиду умозаключение «Все отрезки имеют длину. Длину можно измерить. Следовательно, все отрезки можно измерить»

Задание.

Постройте по данным правилам дедуктивные умозаключения, доказывающие справедливость предложений:
«741 делится на 3»;
«Используя только цвета спектра, нельзя обозначить по-разному месяцы года»;
«У прямоугольного листа бумаги есть стороны и углы».

Недедуктивные умозаключения

Недедуктивнные умозаключения не всегда приводят к истинным выводам и требуют доказательства или опровержения.
К недедуктивным умозаключениям относятся:
умозаключения по аналогии;
неполная индукция и др.

Умозаключение по аналогии – умозаключения, в которых знания с изученного объекта переносятся на другой, менее изученный, но сходный по существенным свойствам с первым.

Пример 1. «У четырехугольника 4 угла и 4 стороны, следовательно, у пятиугольника 5 углов и 5 сторон» – истинное умозаключение.

Пример 2. «Если треугольник разделить пополам, то получится два треугольника, следовательно, если квадрат разделить пополам, получится два квадрата» – ложное умозаключение.

Выводы, полученные по аналогии, могут быть истинными или ложными, их надо доказывать дедуктивным способом или опровергать с помощью контрпримера.

Неполная индукция – это умозаключение, при котором на основании того, что некоторые объекты совокупности обладают определенным свойством, делается вывод, что этим свойством обладают все объекты этой совокупности.
Пример 1. Известно, что 15 делится на 5, 25 делится на 5, 35 делится на 5.
Следовательно, можно утверждать, что любое число, запись которого оканчивается цифрой 5, делится на 5. Заключение истинно.
Пример 2.
3+2<3·2
4+3<4·3
7+5<7·5
Можно сделать вывод, что сумма двух любых натуральных чисел всегда меньше их произведения. Это утверждение ложное (3+1 и 3·1)

Использование неполной индукции в обучении способствует развитию умений сравнивать, обобщать, делать выводы.
Пример для дошкольников
Используя игру «Чудесный мешочек» с объемными геометрическими фигурами, даем задание ребенку: «Достань объемную фигуру».
После нескольких попыток ребенок делает предположение.

Упражнение 1

В каждом последующем умозаключении выделите посылки и заключения:
а) если число натуральное, то оно целое; если число целое то оно рациональное, следовательно, если число натуральное, то оно рациональное;
б) если число натуральное, то оно целое; число 138 натуральное, следовательно, оно целое;
в) всякое натуральное число целое; число 138 целое, следовательно, оно натуральное;
г) всякое натуральное число целое; число 0,2 не является целым, следовательно, не является натуральным.
Проанализируйте схему каждого умозаключения. Есть ли среди них умозаключения, не являющиеся дедуктивными?

Упражнение 2

Используя правило заключения, закончите умозаключение так, чтобы оно было дедуктивным:
а) если четырехугольник – прямоугольник, то в нем диагонали равны. В четырехугольнике ABCD…..
б) Равные треугольники имеют равные площади. Треугольники ABC и KLM…
в) для того чтобы ромб был квадратом, достаточно, чтобы в нем был прямой угол. В ромбе ABCD….
Используя правило отрицания, закончите умозаключения из упражнения так, чтобы они были дедуктивными.

Упражнение 3

Восстановите общую посылку в умозаключении:
а) число 12 – натуральное, следовательно, оно положительное;
б) число 15 – нечетное, следовательно, оно не делится на два.

Упражнение 4

Постройте дедуктивное умозаключение, доказывающее, что
а) 130 делится на 10;
б) 137 не делится на 10;
в) четырехугольник ABCD – прямоугольник;
г) четырехугольник ABCD не является прямоугольником.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое умозаключение? Какое умозаключение называется дедуктивным?
2. Какие умозаключения называют неполной индукцией? А какие умозаключения по аналогии?
3. Запишите с помощью символов правило заключения, правило отрицания, правило силлогизма.

Задания для самостоятельной работы

Приведите примеры дедуктивных рассуждений по правилам заключения, отрицания, силлогизма.

Список используемых источников

1.Математика для педагогических специальностей : учебник и практикум для среднего профессионального образования / Н. Л. Стефанова, В. И. Снегурова, Н. В. Кочуренко, О. В. Харитонова ; под общей редакцией Н. Л. Стефановой. — Москва : Издательство Юрайт, 2022. — 218 с.
2. Фрейлах, Н. И. Математика для воспитателей : учебник / Н.И. Фрейлах. — 2-е изд., перераб. и доп. — Москва : ФОРУМ : ИНФРА-М, 2021. — 136 с.
3. Стойлова Л. П. Теоретические основы начального курса математики : электронный учебно-методический комплекс / Л. П. Стойлова. – М. : Издательский центр «Академия», 2021.