Элементарные задачи на построение

1.Построить на данной прямой отрезок СО, равный данному отрезку АВ.

Пусть даны прямая а и отрезок АВ. 
1.Отмечаем на прямой точку С и строим с центром в точке С окружность радиусом, равным отрезку АВ.
 2.Точку пересечения окружности с прямой а обозначаем О. Получаем отрезок СО, равный АВ.

Задача 2 Отложить от данного луча угол, равный данному

Пусть даны угол А и полупрямая с начальной точкой О.
Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла .
Точки пересечения окружности со сторонами угла обозначим В и С.
Радиусом АВ проведем окружность с центром в точке О
Точку пересечения этой окружности с данной полупрямой обозначим D.
Опишем окружность с центром D и радиусом ВС. Точка E пересечения данных окружностей, лежит на стороне искомого угла. Построенный угол DОE равен углу ВАС, так как это соответствующие углы равных треугольников АВС и DОE .

Задача 3.Найти середину отрезка

Пусть АВ - данный отрезок.
1) Построим две окружности одного радиуса с центрами А и В. Они пересекаются в точках D и E,лежащих в разных полуплоскостях относительно прямой АВ.
2) Проведем прямую DE. Она пересечет прямую АВ в точке О. Эта точка и есть середина отрезка АB.
Действительно, треугольники EАDи EВD равны по трем сторонам. Отсюда следует равенство углов АDО и ОDВ. Значит, отрезок DО - биссектриса равнобедренного треугольника АDВ и, следовательно, его медиана, т.е. точка О - середина отрезка АВ.

Задача 4. Построить биссектрису данного угла

1)Из вершины А данного угла как из центра описываем окружность произвольного радиуса.
2)Пусть В и С - точки ее пересечения со сторонами угла.
3)Из точек В и С описываем окружности одного радиуса. Пусть D - точка их пересечения, отличная от А.
Тогда полупрямая АD и есть биссектриса угла А.
Докажем это. Для этого рассмотрим треугольники АВD и АСD. Они равны по трем сторонам. Отсюда следует равенство соответствующих углов DАВ и DАС, т.е. луч АD делит угол ВАС пополам и, следовательно, является биссектрисой.

Задача 5. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой

Пусть даны точка О и прямая а. Возможны два случая:
точка О лежит на прямой а;
Построение выполняется так же, как и в задаче 4, потому что перпендикуляр из точки О, лежащей на прямой, - это биссектриса развернутого угла.

2) точка О не лежит на прямой а.
Из точки О как из центра проводим окружность, пересекающую прямую а.
Затем из точек А и В тем же радиусом проводим еще две окружности.
Пусть О' - точка их пересечения, лежащая в полуплоскости, отличной от той, в которой лежит точка О.
Прямая 00' и есть перпендикуляр к данной прямой а.

Докажем это.
Обозначим через С точку пересечения прямых АВ и ОО'. Треугольники АОВ и АО'В равны по трем сторонам. Поэтому угол ОАС равен углу О'АС и, значит, треугольники ОАС и О'АС равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда их углы АСО и АСО' равны. А так как углы смежные, то они прямые. Таким образом, ОС есть перпендикуляр к прямой а.

Задача 6. Через данную точку провести прямую параллельную данной.

Пусть даны прямая а и точка А вне этой прямой.
Возьмем на прямой а точку В и соединим с точкой А;
Через точку А проведем прямую с, которая образует с прямой АВ такой же угол, какой образует прямая а с прямой АВ.
Построенная прямая будет параллельна прямой а, что следует из равенства накрест лежащих углов, образованных пересечением прямых а и с прямой АВ.

Этапы решения задач на построение.

Анализ. Установление последовательностей, алгоритма, состоящего из основных элементарных построений, приводящих к построению искомой фигуры.
Построение. Непосредственная реализация на чертеже найденного алгоритма с помощью выбранных инструментов построения.
Доказательство того, что фигура искомая, то есть удовлетворяет всем поставленным в задаче условиям.
Исследование. Этот этап решения состоит в выяснении того, всегда ли задача имеет решение. Если не всегда, то при каких конкретных данных и сколько решений она имеет.

Пример

Построить параллелограмм по стороне а, высоте h и одной из диагоналей d.

Анализ

Выполним чертеж, считая, что параллелограмм ABCD уже построен.
Отмечаем на чертеже данные элементы.
Устанавливаем связи и зависимости между элементами параллелограмма.
Отмечаем!!!Противоположные стороны лежат на параллельных прямых. Расстояние между которыми равно высоте h.

Построение.

Строим параллельные прямые MK и PQ на расстоянии h друг от друга.
На прямой MK откладываем отрезок равный а.
Из точки D, как из центра , проводим окружность радиусом d и находим точку B её пересечения с прямой PQ.
На луче PQ откладываем отрезок BC равный a.
Строим отрезки AB и CD.

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник ABCD.
Противоположные стороны AD и BC параллельны, так как лежат на параллельных прямых MK и PQ.
Эти же стороны равны по построению: AD = BC =a.
Значит, ABCD – параллелограмм.