Тема. Производная функции. Производная сложной функции. Дифференциал функции.

 1. Производная функции. Производная сложной функции.

Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную в некоторой окрестности точки x. Пусть Dx  приращение аргумента в точке x. Обозначим через Dy или Df приращение функции, равное f(x+Dx) – f(x). Отметим здесь, что функция непрерывна в точке x, если в этой точке бесконечно малому прира­щению аргу­мента Dx соответствует беско­нечно малое приращение функции Df.

Отношение Df /Dx, как видно из рисунка 2.2.1, равно тангенсу угла a, который составляет секущая MN кривой y = f(x) c положительным направлением горизонтальной оси координат.

Представим себе процесс, в котором величина Dx, неограниченно уменьшаясь, стремится к нулю. При этом точка N будет двигаться вдоль кривой y = f(x), приближаясь к точке M, а секущая MN будет вращаться около точки M так, что при очень малых величинах Dx её угол наклона a будет сколь угодно близок к углу j наклона касательной к кривой в точке x. Следует отметить, что все сказанное относится к случаю, когда график функции y = f(x) не имеет излома или разрыва в точке x, то есть в этой точке можно провести касательную к графику функции.

Отношение Dy / Dx или, что то же самое (f(x + Dx) - f(x)) / Dx, можно рассматривать при заданном x как функцию аргумента Dx. Эта функция не определена в точке Dx = 0. Однако её предел в этой точке может существовать.

Если существует предел отношения (f(x + Dx) – f(x)) / Dx в точке Dx = 0, то он называется производной функции y = f(x) в точке x и обозначается y¢ или f¢(x):

                                  .

Нахождение производной функции y = f(x) называется дифференцированием.

 Если для любого числа x из открытого промежутка (a, b) можно вычислить f¢(x), то функция f(x) называется дифференцируемой на промежутке (a, b).

Геометрический смысл производной заключается в том, что произ­водная функции f(x) в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Производная - это скорость изменения функции в точке x (физический смысл производной). Из определения производной следует, что f¢ (x) » Df / Dx, причем точность этого приближенного равенства тем выше, чем меньше Dx. Производная f¢ (x) является приближенным коэффициентом пропорциональности между Df  и Dx.

Производная функции f(x) не существует в тех точках, в которых функция не является непрерывной. В то же время функция может быть непрерывной в точке x₀, но не иметь в этой точке производной. Такую точку назовём угловой точкой графика функции или точкой излома. Графические примеры приведены на рисунке 2.2.2.

Так функция y = êx ê не имеет производной в точке x = 0, хотя является непрерывной в этой точке.

Ниже приводится таблица производных элементарных функций.

Приведем теперь основные свойства производной:

1. Если функция имеет производную в точке, то она непрерывна в этой точке.

2. Если существует f¢ (x) , и С ‑ произвольное число, то функция  имеет производную: (Cf(x))¢ = Cf¢ (x).

3. Если существуют f¢ (x) и g¢ (x), то функция S(x) = f(x) + g(x) имеет производную: S¢ (x) = f¢ (x) + g¢ (x).

4. Если существуют f¢ (x) и g¢ (x), то функция P(x) = f(x)g(x) имеет производную:  P¢ (x) = f¢ (x)g(x) + f(x)g¢ (x).

5. Если существуют f¢ (x) и g¢ (x) и при этом g(x) ¹ 0, то функция D(x) = f(x) / g(x) имеет производную: D¢ (x) = (f¢ (x) g(x)  f(x) g¢ (x)) / g²(x).

Пример 1. Найдите производную функции:

;  2)   3)  

Решение

1)

2)

Учитывая, что ; имеем

3)

Учитывая, что  имеем

Пример 2. Вычислите значение производной функции  в точках х = 4 и х = 0,01.

Решение.

Пример 3. Найдите значения х, при которых  производная  функции  равна 0.

Решение.

 Тогда

Ответ: х = 2.

Производная сложной функции

Определение. Пусть функция   определена на множестве  и  - множество значений этой функции. Пусть, множество  (или его подмножество) является областью определения функции . Поставим  в соответствие каждому  из  число . Тем самым на множестве  будет задана функция . Ее называют композицией функций или сложной функцией.

В этом определении, если пользоваться нашей терминологией,   - внешняя функция,  - промежуточный аргумент.

Производная сложной функции находится по такому правилу:

Чтобы найти производную сложной функции, нужно

1. Определить, какая функция является внешней и найти по таблице производных соответствующую производную.

2. Определить промежуточный аргумент.

В этой процедуре наибольшие затруднения вызывает нахождение внешней функции. Для этого используется простой алгоритм:

а) Запишите уравнение функции.

б) Представьте, что вам нужно вычислить значение функции при каком-то значении х. Для этого вы подставляете это значение х в уравнение функции и производите арифметические действия. То действие, которое вы делаете последним и есть внешняя функция.

Приведем примеры вычисления производной сложной функции.

Пример 1. Заданы функции . Задайте формулой сложную функцию h, если: а) ; б) .

Решение. а) Функцию h можно представить в виде сложной функции  таким образом:

.

         б) Функцию h можно представить в виде сложной функции  таким образом:

.

Пример 2. Задайте формулами элементарные функции f и g, из которых составлена сложная функция : а) ; б) .

Решение. а) Функцию h можно представить в виде сложной функции , где

.

б) Функцию h можно представить в виде сложной функции , где  .

Пример 3. Найдите производные сложных функций: а) ; б) .

Решение. а) Так как , где , то  и , откуда  .

               б) Так как , где , то  и , откуда  .

Пример 4. Найдите производную функции:

 1)  2)

Решение.

1)

Учитывая, что  получаем

2. Дифференциал функции

Рассмотрим две функции: y₁ = f₁(x) и y₂ = f₂(x), которые  имеют производные f₁¢ (x) и f₂¢ (x) в каждой точке некоторой области D. Возьмем какую-либо точку x из области D и дадим аргументу приращение Dx. Тогда  функции  получат соответственно приращения Dy₁ = f₁(x + Dx) - f₁(x) и Dy₂ = f₂(x + Dx) - f₂(x). Из графиков, изображенных на рисунке 3, видно, что в обоих случаях приращения Dy₁ и Dy₂ можно представить в виде сумм двух слагаемых:

                                                                   Рис.2.3.1

                 Dy₁ = (C₁ - A₁) + (B₁ - C₁);    Dy₂ = (C₂ - A₂) + (B₂ - C₂)            (2.4.1)

Первые слагаемые в правых частях обоих выражений (2.4.1) легко вычисляются из сходных формул: C₁ – A₁ = tga₁ Dx = f₁¢ (x)Dx; C₂ – A₂ = tga₂ Dx = f₂¢ (x)Dx.

Величина f¢ (x) Dx называется главной частью приращения функции y = f(x) в точке x. (Здесь мы говорим только о функции, имеющей в точке x производную). Главная часть приращения функции линейна относительно приращения аргумента Dx (можно сказать – пропор­циональна приращению Dx). Это означает, что если приращение аргумента Dx уменьшить в k раз, то и главная часть приращения функции уменьшится в k раз.

Формулы (2.4.1) можно переписать в виде:

                               Dy₁ = f₁¢ Dx + r₁;   Dy₂ = f₂¢ Dx + r₂.                         (2.4.2)

Здесь r₁ = B₁ – C₁; r₂= B₂– C₂.

Величины r₁ и r₂ в формулах (2.4.2) при уменьшении Dx  в k раз уменьшаются более чем в k раз, что можно видеть, сравнивая рисунки 2.3.1 и 2.3.2, говорят, что r₁

  Рис.2.3.2

и r₂ стремятся к нулю быстрее, чем Dx .

Назовем функцию b (z) бесконечно малой в точке z = z₀, если .

Пусть функции b (z) и g (z) являются бесконечно малыми в точке z = z₀.. Функция b (z) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция g (z), если .

Величины r₁ и r₂ в формулах (2.4.2) являются функциями аргумента Dx, бесконечно малыми в точке Dx = 0. Можно показать, что. Это означает, что функции r₁(Dx) и r₂(Dx) являются бесконечно малыми функциями более высокого порядка, чем Dx, в точке Dx = 0.

Таким образом, приращение функции y = f(x) в точке, в которой существует её производная, может быть представлено в виде

                                         Dy = f¢(x) Dx +b (Dx),

где b (Dx) ‑ бесконечно малая функция более высокого порядка, чем Dx, в точке Dx = 0.

Главная, линейная относительно Dx, часть приращения функции y = f(x), равная f¢ (x) Dx, называется дифференциалом и обозначается dy:

                                           dy = f¢ (x) Dx.                                              (2.4.3)

Если сюда подставить функцию f(x) = x, то, так как x¢ = 1, формула (2.4.3) примет вид: dx = Dx. Эта формула легко истолковывается с помощью графика функции y = x, из которого видно, что приращение этой функции содержит лишь главную часть. Таким образом, для функции y = x приращение совпадает с дифференциалом. Теперь формулу дифференциала (2.4.3) можно переписать так

                                               dy = f¢ (x) dx.

Отсюда следует, что

                                                 ,

то есть производная функции f(x) равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента x.

Очевидны следующие свойства дифференциала.

1. dC = 0 ( здесь и в следующей формуле C - постоянная );

2. d(Cf(x)) = Cdf(x);

3. Если существуют df(x) и dg(x), то d(f(x) + g(x)) = df(x) + dg(x), d(f(x)g(x)) = g(x)df(x) + f(x)dg(x). Если при этом g(x) ¹0, то  

Пусть y = f(x) ‑ функция, имеющая производную в точке x, тогда dy = df(x) = f¢ (x)dx. Если аргумент x является функцией x(t) некоторой независимой переменной t, то y = F(t) = f(x(t)) -сложная функция от t, и её дифференциал вычисляется по формуле dy = F¢(t)dt = f¢ (x)x¢ (t)dt. Однако по определению дифференциала x¢ (t)dt = dx и последняя формула преобразуется к виду: dy = f¢ (x)dx.

Таким образом если аргумент функции y=f(x) рассматривать как функцию другого аргумента так, что равенство Dx = dx не выполняется, формула дифференциала функции f(x) остается неизменной. Это свойство принято называть свойством   инвариантности  дифференциала.

3.  Производные высших порядков

Может оказаться что функция f¢(x), называемая первой производной, тоже имеет производную (f¢(x))¢. Эта производная называется второй производной функции f(x) и обозначается f¢¢(x). Если f есть координата движущейся точки и является функцией времени, то мгновенная скорость точки в момент времени t равна f¢(t), а ускорение равно f¢¢(t).

Вторая производная также может быть функцией, определенной на некотором множестве. Если эта функция имеет производную, то эта производная называется третьей производной функции f(x) и обозначается f¢¢¢(x).

Если определена n-я производная f ⁽ⁿ⁾(x) и существует её произ­водная, то она называется (n+1)-й производной функции f(x): f ^(n + 1)(x) = (f⁽ⁿ⁾(x))¢.

Все производные, начиная со второй, называются производными высших порядков.

Пример. Найти производную второго порядка:

.

Решение. Сначала найдем производную первого порядка:

.

Теперь найдем производную от производной первого порядка. Это и будет производная второго порядка:

.

Ответ. У^”=6х + 84х²

Литература

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. Элементы высшей математики. М.: Издательский центр «Академия», 2015 г

Скачано с www.znanio.ru