Филиал бюджетного профессионального образовательного учреждения Чувашской Республики
«Чебоксарский медицинский колледж»
Министерства здравоохранения Чувашской Республики в городе Канаш
РАССМОТРЕНО и ОДОБРЕНО на заседании ЦМКОГСЭ Протокол № ____ «____» _______________ 20 ___ г. Председатель ЦМК |
утверждено Зав. филиалом БПОУ «ЧМК» МЗ Чувашии в г. Канаш _________ |
Методическая разработка теоретического занятия
Перпендикулярные плоскости.
учебная дисциплина БД. 04 Математика
специальность 34.02.01Сестринское дело
(базовая подготовка)
Канаш, 2025
Составитель: Семенова А.М., преподаватель высшей квалификационной категории филиала БПОУ ЧР «Чебоксарский медицинский колледж» Министерства здравоохранения Чувашии в г. Канаш
|
Рецензент: Иванова Л.М., преподаватель, высшей квалификационной категории филиала БПОУ ЧР «Чебоксарский медицинский колледж» Министерства здравоохранения Чувашии в г. Канаш
|
Аннотация
Данная разработка предназначена для изучения темы «Перпендикулярные плоскости» обучающимися 1 курсов СПО. Эта тема является введением в последующие, следовательно, именно ее успешное понимание и отработка послужат базой под изучение других.
Для того чтобы установить связи преемственности в изучении нового материала с изученным, включить новые знания в систему ранее усвоенных, повторяется тема «Стереометрия», которая подготавливает учащихся к восприятию нового материала.
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. методический блок
1.1. Учебно-методическая карта
Формы деятельности
1.2. Технологическая карта
2. Информационный блок
2.1. План лекции
2.2 Текст лекции
2.3. Глоссарий
3. Контролирующий блок
Методическая разработка занятия на тему «Перпендикулярные плоскости» на основе Рабочей программы по математике и календарно-тематического плана. Темы занятия взаимосвязаны содержанием, основными положениями.
Цель изучения данной темы ознакомиться перпендикулярными прямыми, признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Программный материал данного занятия базируется на знаниях математики. Методическая разработка занятия составлена для проведения теоретических занятий по теме: «Перпендикулярные плоскости» –2 часа. В процессе практического занятия студенты закрепляют полученные знания.
Методическая разработка предназначена для оказания методической помощи студентам при изучении занятий по теме «Перпендикулярные плоскости». Методическая разработка основывается на учебнике для базового и профильного обучения: Геометрия, А. В. Погорелов. 1
Тема занятия |
Перпендикулярные плоскости |
||||||
Учебная дисциплина |
ОБД.07 Математика |
||||||
Специальность |
34.02.01 Сестринское дело (базовая подготовка) |
||||||
Курс |
I |
||||||
Группа |
9М-11-25, 9М-12-25, 9М-13-25, 9М-14-25. |
||||||
Место проведения |
Кабинет № 5 |
||||||
Продолжительность занятия |
90 мин. |
||||||
Характеристика занятия |
Вид |
Вид занятия: Лекция текущая, обзорная.
|
|||||
Тип |
Типы учебных занятий урок изучения нового материала; комбинированный урок
|
||||||
Форма |
Изложение, рассказ, объяснение с демонстрацией наглядных пособий. Формы деятельностиФронтальная.
|
||||||
Технологии обучения |
Традиционная технология обучения
|
||||||
Методы обучения |
Метод Репродуктивный: упражнения, действия по алгоритму. Интерактивные методы – практическая отработка осваиваемых знаний, умений, навыков на уровне компетенций
|
||||||
Средства обучения |
1.По характеру воздействия на обучаемых: ИКТ - презентации; 2.По степени сложности: простые: учебники, печатные пособия.
|
||||||
Методическая цель |
Методическая цель - отрабатывать методику контроля результатов выполнения письменных упражнений. - реализовывать индивидуальный дифференцированный подход в процессе выполнения обучающимися заданий для самостоятельной работы; |
||||||
Цели и задачи занятия |
Воспитательная |
Формулировать интеллектуальных, нравственных, эмоционально-волевых качеств у обучающихся.
|
Воспитывать положительное отношение к приобретению новых знаний; Воспитывать ответственность за свои действия и поступки; Вызвать заинтересованность новым для студентов подходом изучения математики. Воспитывать интерес к математике путём введения разных видов закрепления материала: устной работой, работой с учебником, работой у доски, ответами на вопросы и умением делать самоанализ, самостоятельной работой; стимулированием и поощрением деятельности учащихся.
|
||||
Образовательная |
Обобщение и систематизирование приобретенных знаний по теме. Освоение основных понятий стереометрии. Ознакомление с основными понятиями: Перпендикулярные плоскости. Отработка умения переноса знаний из планиметрии в стереометрию.
|
Поспособствовать развитию навыков аналитического и образного мышления; Закрепить знания студентов о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве. Включить новые знания в систему ранее усвоенных; закрепить изученный на этом уроке.
|
|||||
Развивающая |
Развитие речи, мышления, сенсорной восприятие внешнего мира через органы чувств сферы;
|
Формировать навыки познавательного мышления. Продолжить развитие умения выделять главное. Продолжить развитие умения устанавливать причинно-следственные связи. Развивать
навыки и умения, в выполнении заданий по теме, умение работать в группе и
самостоятельно. Развивать логическое мышление, правильную и грамотную
математическую речь, развитие самостоятельности и уверенности в своих знаниях
и умениях при выполнении разных видов работ. |
|||||
Планируемый результат |
Уметь: |
распознавать пространственные геометрические фигуры; раскрывать сущность геометрических понятий; объяснять способы задания плоскости и соотношение принадлежности прямой и плоскости; |
|||||
Знать: |
· Определение перпендикуляра, наклонной и проекции наклонной на плоскость; · Доказательство теоремы о трех перпендикулярах; · Определение угла между прямой и плоскостью.
|
||||||
Формированиекомпетенций у обучающихся |
Общие (ОК)
|
Л1. Сформированность представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, идеях и методах математики; Л5. Готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности; Л8. Отношение к профессиональной деятельности как возможности участия в решении личных, общественных, государственных, общенациональных проблем; М2. Умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффективно разрешать конфликты; М5. Владение языковыми средствами: умение ясно, логично и точно излагать свою точку зрения, использовать адекватные языковые средства;
|
|||||
Профессиональные (ПК) |
П1. Сформированность представлений о математике как части мировой культуры и месте математики в современной цивилизации, способах описания явлений реального мира на математическом языке; П3. Владение методами доказательств и алгоритмов решения, умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;
|
||||||
Межпредметные связи |
Входящие |
Геометрия |
стереометрия |
||||
Выходящие |
Стереометрия |
Геометрия |
|||||
|
|
||||||
|
|
||||||
Внутрипредметные |
Перпендикулярные плоскости. |
||||||
|
|||||||
Оснащение занятия |
Методическое |
Методическая разработка занятия. |
|||||
Материально-техническое |
Ручка, карандаш, тетрадь, линейка. |
||||||
Информационное |
Компьютер, интерактивная доска. |
||||||
Список литературы |
Основная |
Погорелов, А. В. Математика : алгебра и начало математического анализа, геометрия. Геометрия. 10-11 классы : учебник для общеобразовательных организаций : базовый и углубленный уровни / А. В. Погорелов. – Москва : Просвещение, 2021. – 175 с.
|
|||||
Дополнительная |
1.Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – 255 с 2. Богомолов, И.Д. Математика: учебник / И.Д. Богомолов. – М., 2018. - 384 с.
|
||||||
Интернет-ресурсы |
1. Калашникова В.А. Методическое пособие: «Конспекты лекций по математике» [Электронный ресурс] /В.А. Калашникова. 2. Яковлев Г.Н. Алгебра и начала анализа (Математика для техникумов) [Электронный учебник] /Г.Н Яковлев. - Режим доступа: http://lib.mexmat.ru/books/78472. 3.http://fcior.edu.ru/ - Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов 4.http://school-collection.edu.ru/ - Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов
|
||||||
Деятельность преподавателя |
Деятельность обучающихся |
Методическое обоснование |
Формируемые ОК и ПК |
|
1. Организационный этап -5 мин. |
||||
Проверяет готовность обучающихся к занятию. дает положительный эмоциональный настрой, организует, проверяет готовность уч-ся к уроку |
Готовятся к началу занятия. |
Включение обучающихся в деятельность на личностно значимом уровне. |
ОК 1, ОК 4. П1. |
|
2. Этап всесторонней проверки домашнего задания - 10мин. |
||||
Выявляет правильность и осознанность выполнения всеми обучающимися домашнего задания; устранить в ходе проверки обнаруженные пробелы в знаниях. |
По очереди комментируют свои решения. Приводят примеры. Пишут под диктовку.
|
Повторение изученного материала, необходимого для открытия нового знания, и выявление затруднений в индивидуальной деятельности каждого обучающегося. |
ОК1, ПК 1, ПК4 |
|
3. Постановка цели и задач занятия. Мотивация учебной деятельности обучающихся - 5 мин. |
||||
Озвучивает тему урока и цель, уточняет понимание обучающегося поставленных целей урока. Эмоциональный настрой и готовность преподавателя на урок.
|
Эмоционально настраиваются и готовятся обучающихся на урок. Ставят цели, формулируют тему урока. |
Обсуждение затруднений; проговаривание цели урока в виде вопроса, на который предстоит ответить. Методы, приемы, средства обучения: побуждающий от проблемы диалог, подводящий к теме диалог. |
ОК 1, ОК 4. П1. |
|
4. Актуализация знаний -30 мин. |
||||
Уточняет понимание обучающимися поставленных целей занятия. Выдвигает проблему. Создает условия, чтобы обучающийся смогли систематизировать знания о множестве действительных чисел, имели представление о пределе числовой последовательности
|
Под диктовку, все выполняют задание, а один проговаривает вслух.
|
Создание проблемной ситуации. Уч-ся- фиксируют индивидуальные затруднения. Создание условия, чтобы обучающийся смогли систематизировать знания о множестве действительных чисел. |
ОК 1, ОК 4. П1. |
|
5. Первичное усвоение новых знаний- 10 мин. |
||||
Создаёт эмоциональный настрой на усвоение новых знаний.
|
Внимательно слушают, записывают под диктовку в тетрадь. |
Создание условий, чтобы обучающийся смогли систематизировать знания о множестве действительных чисел. |
ОК1, ПК 1, ПК4 |
|
6. Первичная проверка понимания- 10 мин. |
||||
Проводит параллель с ранее изученным материалом. Проводит беседу по уточнению и конкретизации первичных знаний;
|
Отвечают на заданные вопросы преподавателем. |
Осознание степени овладения полученными знаниями - каждый для себя должен сделать вывод о том, что он уже умеет. |
ОК1, ПК 1, ПК4 |
|
7. Первичное закрепление- 5 мин. |
||||
Контролирует выполнение работы. Осуществляет: индивидуальный контроль; выборочный контроль. Побуждает к высказыванию своего мнения. Показывает на доске решение, опираясь на алгоритм. |
записывают решение, остальные решают на местах, потом проверяют друг друга;
|
Тренировка и активизация употребления новых знаний, включение нового в систему Режим работы: устная, письменная, фронтальная, индивидуальная. |
ОК1, ПК 1, ПК4 |
|
8. Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция (подведение итогов занятия 5 мин |
||||
Отмечает степень вовлеченности обучающихся в работу на занятии. Задает вопросы по обобщению материала. |
Под диктовку, все выполняют задание, а один проговаривает вслух; |
Оценивание работу обучающихся, делая акцент на тех, кто умело взаимодействовал при выполнении заданий |
ОК 1, ОК 4. П1. |
|
9. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению5 мин |
||||
Обсуждение способов решения домашнего задания. Записывает номера заданий на доске.
|
Обобщают полученные знания, делают вывод о выполнении задач урока. |
Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению
|
ОК 1, ОК 4. П1. |
|
10. Рефлексия (подведение итогов занятия),5 мин |
||||
Акцентирует внимание на конечных результатах учебной деятельности обучающихся на занятии.
|
1. Проводят самоанализ: “Чему научились и что нового узнали?”
|
Осознание своей учебной деятельности; самооценка результатов деятельности своей. |
ОК1, ПК 1, ПК4 |
|
№ п/п |
Изучаемые вопросы |
Уровень усвоения |
1. |
Объяснение темы «Перпендикулярные плоскости» |
1 |
|
1.1. Перпендикуляр и наклонная. |
2 |
|
1.2. Теорема о трех перпендикулярах. |
2 |
2. |
Закрепление нового материала. |
|
|
2.1 Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля. |
3 |
|
2.2Решение примеров устно № 1,2,3. |
|
3. |
Решение упражнений на закрепление темы № 52, 56. |
3 |
4. |
Домашнее задание № 56, 59. |
3 |
Конспект урока
Перпендикулярность плоскостей
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме.
· Свойства двугранного угла;
· Доказательство признака перпендикулярности двух плоскостей;
· Свойства прямоугольного параллелепипеда.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей в виде прямой а, не принадлежащими одной плоскости. Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями. Прямая а, которая является общей границей полуплоскостей, называется ребром двугранного угла (рис. 1а и 1б).
Двугранный угол с ребром CD, на разных гранях которого отмечены точки A и B называют двугранным углом CABD.
Перпендикуляры к ребру AO и BO образуют линейный угол двугранного угла AOB (рис. 1в). Так как луч ОА перпендикулярен прямой CD и луч OB перпендикулярен прямой CD, то плоскость АОВ перпендикулярна к прямой CD. Таким образом, плоскость линейного угла перпендикулярна к ребру двугранного угла. Двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов
Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла. Так же как и плоские углы, двугранные углы могут быть прямыми, острыми и тупыми.
Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.
Рассмотрим два линейных угла АОВ и А1О1В1 (рис. 1г). Лучи ОА и О1А1, лежат в одной грани и перпендикулярны к прямой ОО1, поэтому они сонаправлены. Точно так же сонаправлены лучи OB и O1B1. Поэтому углы АОВ и А1О1В1 равны как углы с сонаправленными сторонами.
(Рис. 1)
Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром.
Если один из этих двугранных углов равен фи, то другие три угла равны соответственно 180 градусов минус фи, фи и 180 градусов минус фи (рис. 2 а). В частности, если один из углов прямой, то и остальные три угла прямые. Если угол между пересекающимися плоскостями равен 90 градусом, будем называть такие плоскости перпендикулярными (рис. 2б).
(Рис. 2)
Для доказательства теоремы рассмотрим плоскости альфа и бетта такие (рис. 3), что плоскость альфа проходит через прямую АВ, перпендикулярную к плоскости бетта и пересекающуюся с ней в точке А. Докажем, что плоскости альфа и бетта перпендикулярны. Плоскости альфа и бетта пересекаются по некоторой прямой АС. При этом прямая АВ перпендикулярна прямой АС, так как по условию прямая АВ перпендикулярна плоскости бетта, это означает, что прямая АВ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости бетта.
Проведем в плоскости бетта прямую AD, перпендикулярную к прямой АС. Тогда угол BAD — линейный угол двугранного угла, образованного при пересечении плоскостей альфа и бетта. Но угол BAD равен 90 градусов так как прямая АВ перпендикулярна плоскости бетта. Следовательно, угол между плоскостями альфа и бетта равен 90 градусов. Что и требовалось доказать.
(Рис. 3)
Из этой теоремы вытекает важное следствие:
Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.
На рисунке 4 представлен прямоугольный параллелепипед. У этой фигуры все боковые ребра перпендикулярны основанию. Его основаниями служат прямоугольники ABCD и A1B1C1D1, а боковые ребра АА1,BB1,CC1 и DD1 перпендикулярны к основаниям. Отсюда следует, что ребро АА1 перпендикулярно к ребру АВ, т. е. боковая грань АА1В1В является прямоугольником. То же самое можно сказать и об остальных боковых гранях. |
Таким образом, прямоугольный параллелепипед обладает следующими свойствами: 1) В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней — прямоугольники. 2) Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда — прямые. 3) Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. Измерениями прямоугольного параллелепипеда называются длины трех ребер, имеющих общую вершину. Докажем последнее свойство. |
(Рис. 4)
Так как ребро СС1 перпендикулярно к основанию ABCD, то угол АСС1, прямой. Из прямоугольного треугольника АСС1, по теореме Пифагора получаем
АС12 равно АС2 +СС12.
Но АС — диагональ прямоугольника ABCD, поэтому АС2 равно АВ2 + АD2. Кроме того, ребро СС1 равно ребру АА1. Следовательно, AC1 равно АВ2 + AD2 + АА12. Что и требовалось доказать.
Следствием из этого свойства является то, что диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
Стоит отметить, что если у прямоугольного параллелепипеда все три измерения равны, то он называется, а все его грани являются равными друг другу квадратами.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 (рис. 5) боковая грань DD1C1C – квадрат, DC равно 4 см, BD1 равно 6 см. Найдите BC и докажите, что плоскости BCD1 и DC1 B1 взаимно перпендикулярны.
Сначала найдем BC. Воспользуемся тем свойством прямоугольного параллелепипеда, что квадрат его диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.
Тогда диагональ BD1 в квадрате равна AD в квадрате плюс DD1 в квадрате плюс DC в квадрате. BD1 – известно из условия, DD1 и DC – стороны квадрата и тоже известны из условия, тогда отсюда мы можем выразить ребро AD, которое ребру BC. Отсюда находим, что BC равно 2 сантиметрам.
Для доказательства перпендикулярности плоскостей BCD1 и DC1 B1 воспользуемся признаком перпендикулярности плоскостей. Этот признак звучит следующим образом: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Заметим, что плоскость BCD1 проходит через диагональ грани DD1 C1C – CD1. Эта диагональ перпендикулярна плоскости DC1 B1 в соответствии с признаком перпендикулярности прямой и плоскости, так как CD1 перпендикулярна второй диагонали квадрата – C1D и перпендикулярна ребру прямоугольного параллелепипеда C1 B1. Что и требовалось доказать.
(Рис. 5)
Пример №2. В прямом двугранном угле дана точка A. Расстояния от точки A до граней угла: AA1=6 см и AB1=8 см. Определите расстояние от точки A до ребра двухгранного угла.
Решение.
Отрезки AA1 и AB1 перпендикулярны граням двугранного угла, поэтому AA1BB1 – прямоугольник. Искомое расстояние – диагональ этого прямоугольника, которую найдем с помощью теоремы Пифагора: сантиметров.
Ответ: 10 см.
Пример № 3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 длины рёбер: AB = 2, BC=3, AA1 = 4. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, B и C1.
Решение. Нарисуем рисунок.
В рассматриваемом прямоугольном параллелепипеде проведем отрезок BC1. Затем построим плоскость на прямых BC1 и AB. Так как плоскости прямоугольного параллелепипеда AA1D1D и BB1C1C параллельны, поэтому искомым сечением является прямоугольник ABC1D1.
Нам известны отрезки AA1 и BC, из них по теореме Пифагора вычислим длину отрезка BC1: Теперь найдем площадь искомого прямоугольника: 10 .
Ответ: 10.
3.
Глоссарий по теме
Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей в виде прямой а, не принадлежащими одной плоскости. Перпендикуляры к ребру двугранного угла образуют линейный угол двугранного угла. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.
Если угол между пересекающимися плоскостями равен 90 градусом, то плоскости перпендикулярны.
Признак перпендикулярности плоскостей: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Следствие из признака перпендикулярности плоскостей: Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.
Прямоугольный параллелепипед – фигура, у которой все боковые ребра перпендикулярны основанию.
Основная литература:
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. Кадомцев С.Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – 255 с.
Дополнительная литература:
Глазков Ю.А., Юдина И.И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 10 класса. Базовый и профильный уровень. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Скачано с www.znanio.ru
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.