Методическое пособие по информатике на тему "Системы счисления" (8-9 класс, информатика)

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ   ПО     ТЕМЕ:   «СИСТЕМЫ  СЧИСЛЕНИЯ» 1 СОДЕРЖАНИЕ: 1. Понятие  о  системах  счисления.  История  вопроса ……………….….…..3 2. Основные определения………………………………………………………...4 3. Виды непозиционных систем счисления……………………………………..7 4. Представление чисел  в  позиционных  системах счисления. Недесятичные   системы  счисления. Развернутая  и  свернутая  формы  записи чисел. Схема  Горнера……………………………………………… ………………….……….23  5. Двоичная система счисления.                                                       5.1 Общие  сведения……….…………………………………………..…..…25            5.2 Арифметические    операции     в    двоичной   системе счисления…...27  6. Связь  между  системами  счисления.            6.1.Системы  счисления, родственные двоичной…  ……………………....29              6.2.Геометрическое  представление  чисел……………………...………….30               6.3. Перевод    десятичных     чисел    в    двоичную    систему счисления..31             6.3.1. Перевод  целых  чисел…………………….…………………………...31            6.3.2.Перевод  правильных  дробей…………………………….………...….32             6.3.3.Перевод  смешанных  чисел………….……………………………...…34              6.3.4.Перевод  целых  чисел  из  одной  системы  счисления  в  другую…  34            6.3.5.Перевод  дробных  чисел  из  одной  системы в  другую……………..35            6.3.6. Перевод  чисел  из  систем  счисления  с  основанием  2n  в систему                         счисления  с  основанием  2  и  обратно……..………………………..37               6.3.7.  Перевод  чисел  из  произвольной  системы  счисления  в                        десятичную………………………………………………………………39      7. Системы счисления, используемые в ЭВМ……………………….……………41      Литература…………………………………………………….………………………43 1 2 2 1. Понятие  о  системах  счисления История вопроса. Кодирование  информации – это просто­напросто представление сведений в той или иной  стандартной форме. Одни  и  те же сведения могут  быть представлены,  закодированы  в  нескольких  разных  формах. Совершенно  разные сведения могут   быть представлены  в похожей  форме.                                      появлением  компьютеров  возникла  необходимость  кодирования ( т.е.  представления  в  формальном, стандартизированном  виде)  всех  видов   информации,  с  которыми  имеют  дело  и  отдельный  человек,  и  человечество  в   целом. Но  решать задачу  кодирования  информации  человечество  начало  задолго   до  появления компьютеров.  Грандиозные  достижения  человечества –  письменность  и  арифметика  ­  есть  не  что  иное,  как  системы  кодирования  речи   и  числовой  информации. Дарвин  считал, что  обезьяну  сделал  труд. Другие  ученые считают, что человек стал  Человеком  благодаря  своим  успехам  в  кодировании   информации,  благодаря  изобретению  языка, письменности  и  способов   кодирования  и  записи  числовой  информации. С   Считать  могут  не  только  люди. Установлено, что  считать  до  трех  могут  и   птицы  (и  многие  другие  животные). Если  у  птицы  забрать  из  гнезда  одно  яйцо   из  пяти, то она  не  заметит  пропажи, а  вот  если  забрать  одно  из  трех, то  птица   начинает  проявлять  беспокойство. Но  от  такого  элементарного  счета  до  понятия  число  еще  очень  и  очень  далеко.     Первобытные  люди  не  знали  чисел  и  использовали    наглядное   представление  информации  для запоминания  того  или  иного  количества   предметов.  Например, чтобы  запомнить,  что на охоте  было  убито  пять  оленей,  пещерный «летописец»  просто  рисовал  их всех  на  стене  пещеры. Способы  кодирования  числовой  информации – способы  счета  и   представления  чисел – в  истории  человечества  последовательно  менялись. Следы   древних  систем  счета  и  представления  чисел  встречаются  и  сегодня в культуре  и обычаях  многих  народов. К  Древнему  Вавилону  восходит  деления  часа  на  60   минут  и  угла  на  360  градусов. К  Древнему  Риму  восходит  традиция  записывать  в  римской  записи  небольшие  числа:   I , II , III , IV ,  V ,  VI ,  VII , VIII , IX , X , XI ,  XII , … . Например  , часто  пишут  « XIX   век» ,  «XX  век» вместо   «19­й век»  и   «20­й век» . к  англосаксам – жителям  Британских  островов – восходит  традиция   счета  дюжинами:  в  году  12  месяцев.  В  футе  12  дюймов,  сутки  делятся  на  два   периода  по  12  часов. Много  информации  о  распространенных  в  прошлом   единицах  счета  до  сих  пор  сохранилось  в  современных  языках. Особую  роль   числа  40  при  счете  помнит  русский  язык:  сохранилось  выражение  «сорок   сороков», да  и само  слово  сорок  выбивается    из  основанного  на  десятке  ряда   числительных: двадцать, тридцать, пятьдесят, шестьдесят, семьдесят, восемьдесят.  Во  французском  языке  сохранились  следы  счета  двадцатками: если  в русском   слово  восемьдесят  означает  «восемью десять» , то  французское  числительное    quatre­vingts  может  быть переведено  как  «четырежды  двадцать». 1 2 3 «Все  есть число»,­  говорили  пифагорийцы, подчеркивая необычайно важную   Историкам  не   роль чисел  в  практической  деятельности. Известно  множество способов  представления чисел. В любом  случае  число изображается группой символов  (словом) некоторого алфавита. Будем называть такие символы цифрами,  символические изображения чисел – кодами, а правила получения кодов – системами  счисления (кодирования).  известно, когда  появились  понятия  числа  и  количества, но  они  склонны  считать,  то  это  произошло  на  самых  ранних  стадиях  развития  нашей  цивилизации.  Началось  всё  с  подсчётов  одинаковых  конкретных  предметов: пять  ножей, пять   оленей,  пять  деревьев. Затем  мало­помалу  понятие  количества  предметов – пять ­  стало  отделяться  от  того, какие  именно  предметы  считаются. Это  и  привело к   возникновению  понятия  число. Следы  того, как  люди  в  глубокой  древности   обходились  без  общего  понятия  число, можно  найти  в  языках  и  доныне   живущих  на  земле  примитивных  племён. У  них  в  языке  сохранились  различные   числительные  для  различных  предметов. Одни  числительные  используются  для   подсчёта  людей, другие ­ для  подсчёта  круглых  предметов, третьи ­ для   продолговатых  и  т. д. Например, в  языке  народа  чишмиенов ( Канада, провинция   Британская  Колумбия ) есть  целых  семь  видов  числительных  для  подсчёта   предметов  разной  природы. Да  и  в  русском  языке  для  счета  одушевленных   предметов  есть  особые  формы  числительных. Вспомните: “Один  с  сошкой,   семеро   с  ложкой”. Чтобы  использовать  числа, нужно  их  как­то  называть  и  записывать,  нужна  какая­то  система  записи  числа – нужна  система  нумерации. Разные  народы  в  разные  времена использовали  разные  системы  нумерации. Еще  недавно  существовали  племена,  в  языке  которых  было  всего  два   числительных : “один”  и  “два”. Это,  конечно,  не  означает,  что  представители   этих  племен  не  могли  сосчитать  три  предмета. Большие  числа  представлялись   комбинациями. Так,  например,  у  туземцев  островов,  расположенных    в   Торресовом  проливе,  было  всего  два  числительных:  урапан (один)  и  окоза (два).  Большие  числа  назывались  так : окоза­урапан  (три), окоза­окоза­урапан (пять)  и   т. д.  Правда,  эта  нумерация  не  успевала  стать  слишком  громоздкой.  Числа,   начиная  с  семи,  имели  единственное  обозначение  ­  много.  Наверное,  на  первых  порах  счета  до  семи  и  хватало  для  повседневных  нужд,  но  жизнь  не  стояла  на   месте.  Появлялись  новые  способы  охоты,  развивалось  земледелие,  и  такого   маленького  запаса  чисел  начинало  не  хватать.  Возникло  желание  увеличить   верхнюю  границу  счета.  Считать  стали  при  помощи  пальцев  рук,  ног  и  других   частей  тела.  Например,  те  же  островитяне  для  счета  употребляли  локти,   запястья,  плечи. Так  прокладывались  пути  к  счету  пятерками (пальцы  одной   руки),  двадцатками  (пальцы  рук  и  ног)  и  десятками ­  счету  предметов  с   помощью  пальцев  двух  рук.  Из  счета  десятками  и выросла  современная   десятичная  система.                              2. Основные определения. 1 2 4 Определение 1. Система счисления – это совокупность  правил          для    обозначения  и  наименования  чисел.    Системы счисления делятся  на  следующие  виды:            1)непозиционные системы счисления;           2)позиционные системы счисления. Простейшая  и  самая  древняя  ­ так называемая унарная система счисления.  В  ней  для  записи  любых  чисел  используется  всего  один  символ – палочка,  узелок, зарубка, камушек. Длина  записи  числа  при  таком  кодировании прямо   связана  с  его  величиной,  что роднит  это  способ  с  геометрическим   представлением  чисел  в  виде  отрезков.  Сами  того  не  осознавая, этим  кодом  пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст. Именно унарная система  счисления до сих пор вводит  детей в мир счета. Определение 2. Непозиционной называется такая система счисления, в  которой количественный эквивалент каждой цифры не зависит  от ее положения  (места, позиции) в коде числа.     Непозиционные, системы счисления имеют ряд недостатков: 1. Для записи больших чисел приходится вводить новые цифры. Например, пользуясь  только цифрами I, V, X, число "тысяча" записать неудобно. И всегда есть числа, которые трудно изобразить даже вновь введенными цифрами. 2. Невозможно записывать дробные и отрицательные числа. 3.  Сложно выполнять арифметические операции. Различные  системы  счета  и  записи  чисел  тысячелетиями   сосуществовали  и   соревновались  между  собой,  но  к  концу  «докомпьютерной  эпохи»  особую  роль  при   счете    стало  играть  число  десять,  а  самой  популярной  системой  кодирования  чисел   оказалась  так  называемая  позиционная  десятичная  система.  Определение 3. Система счисления называется позиционной, если количественный  эквивалент (значение) цифры зависит от ее места (позиции) в коде числа. В привычной нам системе счисления для записи чисел используются десять  различных знаков (цифры О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9). Поэтому ее называют  десятичной. Десятичная  система  счисления  пришла  из  Индии,  где  она   появилась  не  позднее  VI   в.н.э.  Из двух написанных рядом цифр (55) левая  выражает число, в десять раз большее, чем правая. Имеет значение не только сама  цифра, но и ее место, позиция. Именно поэтому такую систему счисления называют  позиционной (поместной). Потребовалось много тысячелетий, чтобы люди научились называть и записывать  числа так, как это делаем мы с вами. Начало этому было положено в Древнем Египте и  Вавилоне и было в основном завершено индийскими математиками в V—VII вв. н.э.  Арабы, познакомившись с этой нумерацией первыми, по достоинству ее оценили.  1 2 5 Получив название арабской, эта система в XII в. н.э. распространилась по всей Европе  и, будучи проще и удобнее остальных систем счисления, быстро их вытеснила.  Произошло это еще и потому, что простейший счетный прибор, работающий в  десятичной системе счисления, был всегда у человека под рукой — это его 10 пальцев.  В XIII веке монах Беда Достопочтенный составил описание правил счета, согласно  которым различные загибы фаланг пальцев позволяли изображать единицы, десятки,  сотни и тысячи, а определенные жесты рук — считать до миллиона. Правда, такой  "инструмент" имел один весьма существенный недостаток — неудобство хранения  результатов даже в течение короткого времени. Но зато у него есть и ряд  немаловажных достоинств, которыми современные ученые пытаются наделить  современные счетные устройства. Это прежде всего простота и надежность, а также  компактность и удобство "хранения и транспортировки". Сегодня десятичными числами выражаются время, номера домов и телефонов, цены,  бюджет, на них базируется метрическая система мер. Арифметические действия над  десятичными числами производятся с помощью достаточно простых операций, в основе  которых лежат известные каждому школьнику таблицы умножения и сложения, а  также правило переноса: если в результате сложения двух цифр получается число,  которое больше или равно 10, то оно записывается с помощью двух цифр, находящихся на соседних позициях. Изучаемые в самом раннем возрасте, эти правила в результате повседневной практики  усваиваются так прочно, что мы оперируем ими уже подсознательно. По этой причине  сегодня многие люди даже не догадываются о существовании других систем счисления. Кроме десятичной истории цивилизации известны многие другие позиционные системы  счисления, в том числе двадцатеричная и шестидесятеричная системы счисления. Остатки  последней мы находим в сохранившемся до наших дней обыкновении делить один час на 60  минут, одну минуту — на 60 секунд.   В Китае долгое время пользовались пятеричной системой счисления. Широкое распространение до первой трети XX в. имели элементы  двенадцатеричной системы счисления. При этом число двенадцать (дюжина) даже  составляло конкуренцию десятке в борьбе за почетный пост основания  общеупотребительной системы счисления. Дело в том, что число 12 имеет больше  делителей (2, 3, 4, 6), чем 10 (2 и 5). Поэтому в двенадцатеричной системе счисления  гораздо удобнее производить расчеты, нежели в десятичной. Неудивительно, что в     XIX в. среди математиков раздавались голоса за полный переход на эту систему. И  только возможность счета по пальцам рук склонила чашу весов. Тем не менее дюжина  достаточно прочно вошла в нашу жизнь: в сутках две дюжины часов, час делится на  пять дюжин минут, круг содержит тридцать дюжин градусов, фут делится на  двенадцать дюймов. Влияние двенадцатеричной системы счисления ощущается сегодня хотя бы в том, что карандашей или фломастеров в наборе обычно бывает 6, 12, 24 и  т.д. А вот шведский король Карл XII в 1717 г. увлекался восьмеричной системой, считал  ее более удобной, чем десятичная, и намеревался королевским указом ввести ее как  общегосударственную. Только неожиданная смерть помешала осуществлению столь  1 2 6 необычного намерения. Основные достоинства любой позиционной системы счисления — простота  выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов,  необходимых для записи любого числа. Французский математик Пьер Симон Лаплас (1749— 1827) такими словами  оценил, "открытие" позиционной системы счисления: "Мысль выражать все числа не­ многими знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значение по месту,  настолько проста, что именно из­за этой простоты трудно оценить, насколько она  удивительна". Позиционная система записи чисел удобна и экономична не только для записи чисел  знаками на бумаге и для выполнения над ними арифметических действий. Она удобна и  для механического представления чисел. Вспомним, например, счеты. Каждому разряду  числа (единицам, десяткам, сотням, тысячам и т.д., а также десятым и сотым долям еди­ ницы) на счетах соответствует своя проволока. Костяшки на этой проволоке могут  занимать десять различных положений (одиннадцатое положение — когда все десять  косточек находятся с левой стороны — допускается лишь в середине вычислений, а в  конце их является запретным: все десять косточек должны быть переброшены направо, а  на следующей по старшинству проволоке одна косточка переброшена справа налево) . На  практике применяются и другие способы физического представления десятичных чисел: ­ с помощью нескольких колес, каждое из которых может фиксироваться в одном  из десяти возможных положений; ­ перфокарт, в каждой из вертикальных колонок которых может пробиваться  отверстие на одном из десяти уровней по высоте, и т.п. Общим для всех этих представлений является то, что некоторый физический носитель состоит из некоторого числа п однородных элементов (проволок с костями, колес,  вертикальных колонок перфокарты или мест по отношению к правому краю записи),  каждый из которых может находиться в  одном из десяти состояний. Любая такая  система пригодна для изображения или записи 10n различных чисел. Определение 4. Основанием (базисом) позиционной системы счисления  называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в заданной системе счисления. Основание в любой системе записывается как 10, но в разных системах имеет  разное количественное значение. Оно показывает, во сколько раз изменяется количе­ ственное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию. В десятичном числе А = 255 = 2 х 102 + 5 х 101 + 5 х 10 0 цифры 5, находящиеся на разных  позициях, имеют  различные количественные значения — 5 десятков и 5 единиц. При  перемещении цифры на соседнюю позицию ее вес (числовой эквивалент) изменяется  в 10 раз. Позиционных систем очень много, так как за основание системы счисления можно  принять любое число не меньше 2. Наименование системы счисления соответствует ее  основанию (десятичная, двоичная, пятеричная и т.д.). 1 2 7 3. Примеры непозиционных систем счисления.  Непозиционные системы счисления возникли  раньше  позиционных. Вот   только некоторые примеры таких  систем. Пример 1. По  современным  данным,  развитые  системы  нумерации  впервые   появились  в  Древнем  Египте  и  Месопотамии.  Мы  многое  знаем  о  египетской   системе.  До  нас  дошли  надписи  внутри  пирамид,  на  плитах  и  обелисках.  Эти   надписи  сделаны  в  виде  картинок  иероглифов,  и  такой  способ  письма  (кодирование  речи)  вообще  характерен  для  ранних  стадий  развития   человечества.  Многие надписи  сейчас  уже  прочитаны  и  расшифрованы.   Сохранились  также  два  математических  папируса,  позволяющих  узнать  об   арифметике  древних  египтян. Для  записи  чисел  египтяне  применяли  иероглифы   один,  десять,  сто, … ,  десять  миллионов.  Все  остальные  числа  записывались  с  помощью  этих  иероглифов  и операции сложения. Так  , что  в  египетской  записи   чисел  особую  важную  роль  играли  десятки  и  ее  степени. На  рисунке   изображены  цифры системы счисления  Древнего  Египта: Делили  и  умножали  египтяне  совсем  не  так,  как  мы. Особую   роль  у  египтян   играло  число  два  и  его  степени:  2,4,8,16  и  т.д.  умножение  и  деление   проводилось  путем  последовательного  удвоения  чисел. Пусть, например,  надо  умножить  19  на  94.  Египтяне  последовательно   удваивали  число  94 , причем  в  правом    столбце  записывали  результаты   удвоения,  а  в левом  ­  соответствующие степени  двойки. (Разумеется,  записывали  они  это  по­своему, но  ниже  вычисления  показаны  в  современной  записи.  Суть   1 2 8 дела  от  этого  не  меняется.) 1 2 4 8 16 94 188 376 752 1504                                 Удвоение  продолжалось  до  тех  пор,  пока  не  оказывалось,  что  из  чисел   левого  столбца  можно  составить  множитель  (в  нашем  случае  19=1+2+16).   Египтяне  отмечали  соответствующие  строки  вертикальными  черточками  и   складывали  те  числа,  которые  стоят  в  этих  же  строках  справа. В  приведенном   примере  сложение  трех  чисел  94+188+1504  дает  искомое  произведение  1786. Деление  египтяне  проводили  удвоением  делителя.  Пусть,  например,   требуется  разделить  1786  на  19.  В  этом  случае  египтяне  последовательно   удваивали  делитель  и  продолжали  до  тех  пор,  пока  числа  правого  столбца   оставались  меньше  делимого: 1 2 4 8 16 32 64 19 38 76 152 304 608 1216                                             Затем    из  чисел  правого  столбца  они  пытались  составить  делимое,  и  если это  удавалось, то  сумма  чисел  в  левом  столбце  давала  частное.  В   рассмотренном  случае  делимое  1786  можно  составить  как    1216+304+152+76+38,  значит,  частное  будет  64+16+8+4+2+=94. Если  бы  делимое  не  делилось  без  остатка  на  делитель,  из  чисел  правого   столбца  удалось  бы  составить  лишь  число,  меньше  делимого.  Так  получились   бы  и  частное,  и остаток. Один  из  недостатков  египетской    системы  ­  невозможность  записи   больших  чисел  без  придумывания  новых  иероглифов.  Иероглиф  для  десяти   миллионов  еще  есть,  а  вот  для  ста  миллионов  уже  нет.  Этот  недостаток   преодолен  в  позиционных  системах  счисления. Другой недостаток  египетской  системы – громоздкая  запись  чисел.  Для   записи  числа  девять  египтяне  девять  раз повторяли иероглиф  для  единицы.   Этого  недостатка  лишены  алфавитные  системы  записи  чисел,  принятые  в  свое   время  у  ионийцев,  древних  евреев,  финикийцев, армян,  грузин,  а  также  и  у  славян. 1 2 9             Пример 2. Славянская  алфавитная  нумерация  напоминала  современную   позиционную.  В  ней  числа  были  закодированы  буквами,  а  над  этими  буквами,      1= a  ,   2=   чтобы  избежать  путаницы ,  ставился  специальный  знак  ­  титло:  B  ,  3=  г   и  т.д. Одной   буквой  кодировались  числа  от  1  до  9,  затем  10,20,…,90  и,  наконец,   100,200, …,900.  Для  больших  чисел  использовались  те  же  самые  буквы  с   добавленными  к  ним  специальными  значками,  например,  10 000  обозначалось   как    a Пример 3. В  старину  на  Руси  широко  применялись системы счисления,  отдаленно  напоминающие  римскую. С  их  помощью  сборщики податей  заполняли   квитанцию  об  уплате  подати (яаска)  и делали записи  в  податной  тетради.            Например, 1234 руб. 24 коп. изображается  так: 1 2 10 Вот текст   закона об этих так называемых ясачных знаках:  «Чтобы на каждой    квитанции, выдаваемой Родовитому Старосте, от которого внесен будет ясак,  кроме изложения словами, было показано особыми знаками число внесенных  рублей и копеек так, чтобы сдающие простым счетом сего числа могли быть  уверены в справедливости показания. Употребляемые в квитанции знаки  означают: звезда колесо квадрат х 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1       ­  десять  копеек, I ­ тысяча рублей, ­ сто рублей, ­ десять рублей, ­  один рубль, ­  копейку. Дабы неможно было сделать здесь никаких прибавлений, все таковые знаки  очерчивать кругом прямыми линиями". Пример  4 . До наших  дней  сохранилась римская система счисления. В  римской системе счисления цифры обозначаются буквами латинского алфавита: 1 2 11 Для промежуточных  чисел  используется правило:  Меньшие знаки,  поставленные  справа от большего прибавляются к его значению, а меньший знак ,  поставленный  слева от большего, вычитается из него.  Например, IX   обозначает  9, XI   обозначает   11. Десятичное число 28  представляется  следующим образом:  XXVIII =10+10+5+1+1+1  ,  а  десятичное  число  99  имеет  вот  такое представление   IC = ­ 1+100 Римская система счисления  сегодня  используется  в  основном  для   обозначения  знаменательных  и  юбилейных  дат, разделов  и  глав  в  книгах.    Если  складывать  и  вычитать  в  такой  системе  еще  можно  без  особого   Вместе  с  тем    в римской  системе  счисления  есть  одна   труда,  то  умножать  очень  сложно,  а  деление   представляет  собой  почти   непосильную  задачу. важная  идея  :  вклад  буквы  в  число  зависит  не  только    от  самой  буквы  .  но  и   от  порядка  следования  ( позиции)  букв  в  записи  числа.   Так, например,  буква  I   дает  вклад  +1  в  число   VI     и  вклад  ­1  в число  IV . развитие  этой  идеи   приводит  к  современным  позиционным  системам  нумерации. Пример 5. Вавилонская система счисления. Вавилонская  система  имела   основанием  60,  и  особую  роль  в  ней  играли  числа  60,  60 2  =  3600  и т.д. Младший   1 2 12 знак  числа  означал  число  единиц,  следующий  знак  ­ число «шестидесятков» и т.д.  Каждый знак был числом от 1 до 59. Поскольку основанием было число очень большое – 60, вавилоняне записывали числа от 1 до 59 в десятичной системе, применяя принцип  сложения. П пользовались всего двумя знаками: вертикальным клином для обозначения 1 и  горизонтальным для 10. ри этом они  Таким образом, цифры, т.е. все числа от 1 до 59, вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а число в целом – в позиционной системе с основанием 60.  Например, число 92 записывалось так: 1 2 13 я нумерация имела и еще одну особенность: сначала знака для нуля не было вовсе. И  если был изображен один вертикальный клин, нельзя было без дополнительных  комментариев определить, какое число изображено: 1, 60, 3600 или какая­нибудь другая степень 60. Впоследствии вавилоняне придумали знак для обозначения пропущенного  разряда (два горизонтальных клина, один над другим). Но, увы, этот знак не ставился в  конце чисел. Вавилонска 1 2 14 Наконец, из­за такого большого основания таблица умножения была просто  огромной, ее никто не запоминал, а при вычислениях использовалась готовая таблица,  как мы совсем недавно пользовались таблицами логарифмов. Все это и предопределило  судьбу вавилонской системы: дав толчок к развитию позиционных систем, вавилонская  система была забыта, хотя отголоски ее былой распространенности можно заметить  сейчас в делении часа на 60 минут и круга на 360 градусов. Пример 6. Еврейская система счисления.  Еврейская система счисления в качестве цифр использует 22 буквы еврейского  алфавита. Каждая буква имеет своё числовое значение от 1 до 400. Ноль отсутствует. Цифры, записанные таким образом, наиболее часто можно встретить в нумерации лет  по иудейскому календарю. Алфавитные обозначения чисел были заимствованы  евреями у древних греков, по­видимому из Милета, которые изобрели эти  обозначения ещё в VII в. до н. э. У евреев использование алфавитных обозначений  чисел окончательно вошло в обиход ко II в. до н. э. Еврейские числа записываются  справа налево, в порядке убывания разрядов; перед последней (левой) буквой  ставится двойная кавычка — гершаим. Если буква всего одна, то после неё ставится  одиночная кавычка — гереш.Для обозначения 1­9 тысяч используются первые девять  букв с числовым значением 1­9, после которых ставится апостроф (гереш).Еврейская  1 2 15 система счисления — аддитивная (не позиционная): числа, обозначаемые буквами,  просто складываются.  Числа 15 и 16 традиционно записываются как ו״ט (9 + 6) и ז״ט (9 + 7). Это  делается, чтобы избежать сочетаний ה"י (10 + 5) и ו"י (10 + 6), которые напоминают  написание имени Бога. В еврейском календаре эти числа месяца (15 и 16) падают  на полнолуние, так как еврейский месяц всегда начинается с новолуния. Если  сочетание букв, построенное по этим правилам, получается похоже на слово с  негативным значением, то иногда меняют порядок букв. Например, 1983­84 году по  общепринятому летоисчислению соответствует 5744 год (или 744 год текущего  тысячелетия) от Сотворения мира. В данном случае число 744, выражаемое буквами ד״משת («будешь уничтожен»), заменяется на ד"שמת («конец чёрта»). Пример 7.  Греческая система счисления.   1 2 16 Греческая система счисления, также известная,  как ионийская или новогреческая — непозиционная система счисления, в которой, в качестве символов для счёта, употребляют греческие буквы, а также дополнительные   (Ϡ сампи). Эта система пришла на смену  символы, такие как  аттической(чердаке), или старогреческой, системе, которая господствовала в Греции  в III веке до н.э. Необходимость сохранять порядок букв ради сохранения их  числовых значений привела к относительно ранней (4 век до н.э.) стабилизации  греческого алфавита.  (ς стигма),   (Ϙ копа) и  χλβ Ϡο 970 —  ПримерДанные символы позволяют записать числа лишь от 1 до 999, например:45 —  ε μ 632 —   Греческая система нумерации была основана на их алфавите. Греческий алфавит пришел от Финикийцев около 900 до н.э., когда финикийцы  изобрели алфавит, в нем содержалось около 600 символов. Эти символы занимали  слишком много места, поэтому алфавит в конечном счете сократился до 22 символов. Греки позаимствовали некоторые символы из этого алфавита, и добавили свои, новые  символы. Греки были первыми людьми, имеющие отдельные символы или буквы, для  представления гласных звуков. Наше собственное слово «алфавит» происходит от  первых двух букв, или цифр из греческого алфавита ­ ". Бета" "альфа" и  Использование буквы их алфавита позволило им использовать эти символы в более  сжатую версию своей старой системы, называемой чердаке. Система чердаке была  похожа на другие формы системы нумерации той эпохи. Она была основана на  символах выстроенных в ряд и заняла много места, при письме. Это было бы не так  плохо, за исключением того, что Греки в то время по­прежнему писали а каменных  табличках, и символы алфавита позволяли им высекать значения на монетах в  меньшем, более сокращенном варианте.  1 2 17 Например,   означает 849 Изначально Греческий алфавит состоял из 27 символов и был написан слева  направо. Эти 27 символов составляли основные 27 символов которые использовались  в их системе счисления. Позже специальные символы, которые были использовались  только для математики Vau, Koppa и Sampi, устарели. В новом Греческом алфавите  теперь используется только 24 символа.у Греков нет символа обозначающего ноль.  Они могли связать эти 27 символов чтобы обозначить любой номер до 1000 . Затем  начав ставить запятую перед любым символом они смогли обозначить любое число  вплоть до 10,000.Вот представление 1000, 2000 и номер который мы взяли выше 849. Все это хорошо работало с малыми числами, но что делать с более большими  величинами? Здесь Греки вернулись к системе Чердаке, и использовали символ М для обозначения 10,000. И умножали на число 10,000 ставя символы над М. Пример8. Кипу инков.Древняя мнемоническая и счётная система инков и их  предшественников в Андах, своеобразная письменность: представляет собой сложные 18 1 2 верёвочные сплетения и узелки, изготовленные из шерсти южноамериканских  верблюдовых (альпаки и ламы) либо из хлопка. В кипу может быть от нескольких  свисающих нитей до 2000. Она использовалась для передачи сообщений  посыльными часки по специально проложенным имперским дорогам, а также в самых  разных аспектах общественной жизни (в качестве календаря, топографической  системы, для фиксации налогов и законов, и др.). Один из испанских хронистов  писал, что «вся империя инков управлялась посредством кипу». Большая часть  информации, хранящаяся в кипу — числа в десятичной системе счисления. Некоторые из узлов, так же как другие особенности, такие как цвет, полагают,  представляют нечисловую информацию, которая до сих пор ещё не была  расшифрована. Вообще считается, что на протяжении разработки системы не было  попыток представить в ней фонетические звуки, как это имеет место в большинстве  письменностей. В настоящее время существует теория, выдвинутая Гэри Эртоном,  что кипу представляли собой двоичную систему счисления, способную к регистрации  фонологических или логографических данных. 1 2 19 В первые годы после испанского завоевания Перу испанские чиновники часто  полагались на кипу, чтобы улаживать споры о взимании местной подати или в  вопросах производства товаров. Кроме того, испанские летописцы установили, что  кипу использовались в основном как мнемонические устройства, чтобы передавать и  записывать в числовом формате информацию. Кипукамайоки могли быть вызваны в  суд, где их отчеты считались юридическим документом о произведённых в прошлом  платежах.Для передачи экономико­статистических данных кипу использовали  двойную запись, а при передаче сведений о производстве тех или иных продуктов  труда учитывали не только фактическую, но и наличную и потенциальную  производительность труда, что позволяет считать систему кипу предшественницей  современных ERP­систем. Вот что пишет известный исследователь андских  цивилизаций В. А. Кузьмищев: Кипу «знали», сколько человек проживало в любом из селений и во всём  царстве, сколько из них было мужского и женского пола, как они были разбиты  по возрасту и по состоянию здоровья, сколько среди них было женатых и вдовых,  сколько ушло на войну и на общественные работы, сколько людей и какой работой занимались сегодня и сколько они могли произвести того или иного продукта и  так далее и тому подобнее. Но не только люди и результаты их труда, а сама  природа и ее потенциальные возможности были зафиксированы в кипу. 1 2 20 Условная схема построения кипу 1. Шнур — основа кипу. 2. Нить­подвеска 1­го порядка (крепится на шнуре). 3. Нить­подвеска 2­го порядка (крепится на предыдущей). 4. Нить­подвеска 3­го порядка (крепится на предыдущей). 5. Вспомогательная нить­подвеска (крепится на других нитях). 6. Знак­определитель содержания кипу или ключ главного шнура. 7. Узел простой — бывает до девяти штук — и никогда больше — на нити (в  конкретном позиционном участке, отвечающем за расположение десятков,  сотен и более высоких чисел). Чаще всего располагаются в средней и верхней  части нитей. 8. Узел­в­виде­восьмёрки — до девяти штук на нити. Чаще располагаются в  нижней части нити. Один такой узел обозначает 1. 9. Узел сложный — до девяти витков каждый (это могли быть только  единицы). Чаще располагаются в нижней части нити. 10. Узел­петля (различных видов), особенно так называемый «сделанный  наполовину», впервые описанный Сиприани (1928), а затем Альтьери (1941). 11. Узел, закрепляющий какую­либо вещь, например, различные ниточки, или  пучки шерсти и хлопка. 1 2 21 В кипу нитей­подвесок 2­го и большего порядка, а также и знака­ определителя может не быть.Цвет нити также передавал содержание кипу и  может считаться ключом. Встречаются одно­, двух­ и трехцветные нити.  Других сочетаний цветов не бывает. Если кипу было числовым, то цифровые  знаки­узлы располагались вертикально и снизу вверх от единиц  десяткам и  сотням. В главный (несущий) шнур кипу мог вставляться ключ (такими могли быть:  кусочки дерева, камни, минералы, металлы, растения и т. п.) на кольце, указывавший  на смысловое содержание самого кипу или нити. Это имело значение, так как  позволяло избежать путаницы с прочтением цвета нити, которая в таком случае  меняла значение.  Например, жёлтый цвет нити при наличии различных заглавных ключей позволял  «прочитать» кипу по разному: листы кукурузы и золотая нить как показатели  высшего порядка (знак­определитель содержания кипу) двух главных веревок  показывают, что одно кипу относится к сельскохозяйственному классу, а другое кипу — к классу минералов. 1 2 22 Цвет нити, для разделения одного вида объектов. Если объект учёта был один, но требовалось его разделить по качественным  характеристикам, то тоже использовались различные цвета нитей. Это находило  применение: ля учёта скота (лам, гуанако, викуньи, альпака), имевших различный цвет шерсти.  Об этом сообщает Гарсиласо де ла Вега: Чтобы иметь возможность вести счет той огромной массе скота, которым владели  инки, они делили его по цвету, ибо тот скот окрашен во многие и различные цвета, как лошади в Испании, и были у них [специальные] названия каждого цвета. Очень  пятнистый скот, двухцветный они называли муру­муру, а испанцы говорят мороморо.  Если какой­либо ягненок отличался по цвету от свои родителей, после того как они  выкармливали его, его переводили в стадо его цвета; и, таким образом, они с большой  легкостью получали представление и знали о [количестве] того своего скота с  помощью узлов. ибо нити [кипу] были того же цвета, что и сам скот. Для записи законов: "…бесчисленное их число [законов] еще сегодня соблюдают верные индейцы, все  основанные на разуме и очень во многом соответствующие законам самых великих  юристов (letrado); они точно записали и доверили их узлам на нитях различного цвета,  которые имелись у них для их рассказов, и они так сумели обучить им своих сыновей  и потомков, что даже законы, установленные первыми королями — шестьсот лет тому назад, сохраняются в их памяти так, словно они сегодня были заново провозглашены. Скрученные нити смешанных цветов. Смесь цветов на кручёной нити (скручивание разноцветных нитей в одну) применялась для обозначения перечня объектов/понятий 1 2 23 «Бело­желто­голубая» нить — обозначение религиозного культа; или организации  праздника в честь Бога (Солнца).  «Дословно» это означало «Бог, живущий в голубом небе, создававший золото и  серебро, этому он [Инка] устроил первый праздник, и [кипукамайок] размещал на ней  [нити] один узел, а если то был третий, или четвёртый из тех, что устраивались в году,  на неё бы вносилось три узла, или четыре». Для определения провинций Империи Тавантинсуйу: каждая провинция имела свою  смесь цветных нитей. На этой нити, в свою очередь, могла размещаться (вставляться)  красная нить для обозначения погибших в своём войске «из/в такой­то провинции».  Также использование цвета нитей для провинций Империи встречалось в кипу,  связанных со статистикой и налогообложением таких провинций. Эта же система  распространялась на отчёты о географическом и экономическом описании Империи. 4. Представление чисел в позиционных системах счисления Недесятичные системы счисления. Развернутая и свернутая формы записи чисел. Схема Горнера 1 2 24 В повседневной жизни наиболее употребительна десятичная система счисления. И  тем не менее великий французский математик и естествоиспытатель ,Блез Паскаль пи­ сал: "Десятичная система построена довольно неразумно, конечно — в соответствии с  людскими обычаями, а вовсе не с требованиями естественной необходимости, как  склонно думать большинство людей". В ряде как теоретических, так и практических  задач некоторые системы счисления, отличные от десятичной, имеют определенные  преимущества. Наша десятичная система характеризуется тем, что в ней 10 единиц какого­либо  разряда образуют единицу следующего старшего разряда. Другими словами, единицы  различных разрядов представляют собой различные степени числа 10. В системе счисления с основанием  q (q­ичная система счисления) единицами  разрядов служат последовательные степени числа q, иначе говоря,  q единиц какого­ либо разряда образуют единицу следующего разряда. Для записи чисел в q­ичной  системе счисления требуется q различных знаков (цифр), изображающих числа О, 1, ...,q  — 1. Запись числа q в q­ичной системе счисления имеет вид 10. В позиционной системе счисления любое вещественное число может быть  представлено в следующем виде: A q = + (a n­1 q n­1 +a n­2 q n­2 +…+a 0 q 0 +a ­1 q ­1 + a ­2 q ­2 +…+a ­m q ­m )     (1)     A q = +  a i *q i  = Здесь Аq    — само число,     (1) q — основание системы счисления, а i — цифры данной системы счисления, п — число разрядов целой части числа, т — число разрядов дробной части числа.   Определение 5. Запись числа по формуле (1) называется развернутой формой  записи. Иначе такую форму записи называют многочленной, или степенной. Пример 1. Десятичное число А10=4718,63 в виде (1) запишется так: А10=4 х103+7 х102 + 1 х101+8 х100+6 х10­1+3 х10­2 Пример 2. Восьмеричная система счисления. Основание: q=8. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. 25 1 2 Формула (1) для восьмеричной системы счисления имеет вид: A 8 =(a n­1 8 n­1 +…+a 0 8  0+a ­1 8 ­1 +…+a ­m 8 ­m ) где аi — цифры 0—7. Восьмеричное число А 8 =  7764.1 в виде (1) запишется так: А8 =7 х83+7 х82+6 х81+4 х80 +1х8­1 Пример 3. Пятеричная система счисления. Основание: q=5. Алфавит: 0, 1, 2, 3 и 4. Пятеричное число А5  = 2430,21 в виде (1) запишется так: А5 =2 х53+4 х52+3 х5'+0 х5°+2 х5­1+1 х5­2 Вычислив это выражение, можно получить десятичный эквивалент указанного  пятеричного числа: 365,44. Пример 4. Шестнадцатеричная система счисления. Основание: q=16. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е и F. Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение 0—9.  Для записи остальных цифр обычно используются первые пять букв латинского алфа­ вита — А, В, С, D, Е и F, означающие соответственно 10, 11, 12, 13, 14 и 15. Таким образом, запись ЗАF 16 означает: ЗАF16=Зх162+10х161+15х16°=Зх256+160+15=94310. Из (1) легко получить формулу (2) для записи произвольного целого числа: A ц  =  + (a n­1 q n­1 +a n­2 q n­2 +…a 0 q  0 )  (2) и формулу (3) для записи произвольного дробного числа: А др = ± (а_­1 q­1+а­2  q ­2  +...+а­m q­m  )           (3) Рассмотрим несколько примеров.  Пример 5. А10=1996 А10=1х103+9х102+9х101+6х100=(1х102+9х10+9)х10+6= =(((1х10+9) х10)+9)  х10+6= 1 2 26 =(((1+0) х10+9)х 10+9) х10+6 Пример 6. А10=0,2345  А10= 2/10+3/100+4/1000+5/10000= =(2+3/10+4/100+5/1000)/10=  =(2+(3+4/10+5/100)/10)/10= =(2+(3+(4+5/10)/10)/10)/10= =(2+(3+(4+(5+0)/10)/10)/10)/10 Преобразования такого рода называются преобразованиями по схеме Горнера. Преобразуем степенные ряды для целой (2) и дробной (3) частей по схеме Горнера: Ац= [А] = (...(a n­1 +0) х q+ a n­2 )хq + …+а1 )х q + а0 (2') Aдр=[A]=(…(a­m+0)/q+a­m­1)/q+…+a­1)/q                    (3')    Определение 6.   Свернутой формой записи числа называется запись в виде                         A = a n­1 a n­2 … a 1 a 0 a ­1 …  a –m            (4) Именно такой формой записи чисел мы и пользуемся в повседневной жизни. Иначе  свернутую форму записи называют естественной, или цифровой 5. Двоичная система счисления. 5.1.Общие  сведения. Из   всех   позиционных систем  счисления особенна  проста  и  поэтому  интересна  1 2 27 двоичная система  счисления  . В  ней  для  записи  чисел  ипользуются  всего  две   цифры : 0 и 1 . Запись  10  означает  число  2,  как  как  две  единицы  данного  разряда  составляют  единицу  старшего  разряда . В  двоичной системе счисления   основание  q = 2 . В  этом  случае  формула  (1)   примет  вид: A2  = ( an­1  * 2 n­1 + … + a0 * 20 + a­1 2­1 + … + a –m 2 –m) (5) Здесь  ai  ­  возможные  цифры  ( 0  и  1 ) Выпишем  начало  натурального  ряда  чисел  в  десятичной  и  двоичной системах   счисления  : Вопреки  распространённому  заблуждению, двоичная  система  счисления  была придумана  не  инженерами – конструкторами  электронно­вычислительных  машин, а  математиками  и  философами  задолго  до  появления  компьютеров, ещё      в  XVII­XIX  в.в. Великий  немецкий  учёный  Лейбниц  считал:___           “Вычисление  с  помощью  двоек… является для  науки  основным  и   порождает  новые  открытия… При  сведении  чисел  к  простейшим  началам,  каковы  0  и  1, везде  появляется  чудесный  порядок.”         Позже  двоичная  система  была  забыта, и  только  в  1936­1938  г.г.   американский  инженер  и  математик  Клод Шеннон  нашёл  замечательные   применения  двоичной  системы  при  конструировании  электронных  схем.       Стоит  отметить, что  двоичная система  счисления  издавна  была  предметом   пристального  внимания  многих  ученых. Вот  что  писал  П.С.Лаплас  об  отношении   к  двоичной  (бинарной) системе  счисления  великого  немецкого  математика   Г.Ф.Лейбница : « В  своей  бинарной  арифметике  Лейбниц  видел  прообраз   творения. Ему  представлялось,  что  единица  представляет  божественное  начало, а   1 2 28 едиица – небытие  и  что  высшее  существо  создает  все  сущее  из  небытия  точно   таким  же  образом  .  как  единица  и  нуль  в  его  системе  выражает  все  числа». Эти  слова  подчеркивают  удивительную  универсальность  алфавита,  состоящего  всего   из  двух  символов. Представим  десятичное  число  1579  в  двоичной системе счисления. Для  этого  составим  таблицу  степеней  числа  2.   n  0   2n 1   1 2   2 4   3 8   4   5    6   7   8    9  10 16 32 64 128 256 512 1024 Воспользуемся  так  называемым  методом  разностей  . Берем  степень  чила  2 , ближайшую  снизу  к  переводимому  числу,  и   составляем  разность: 1579 – 1024 = 555 Затем  находим  следующую  степень  числа  2, меньшую  555,  и  составляем   разность:  555 – 512 = 43. Три  очередные  степени  числа 2 (256,128,64) больше  остатка  43  и  поэтому   пропускаются. Последующие  разности: 43 – 32 = 11, 11 – 8 = 3, 3 –2 = 1. В  итоге:  1579 = 1024 + 512 +  0 + 0 + 0 + 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1 = 1 * 210 + 1*29 + 0*28 + 0*27 + 0*26 + 1*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 +  + 1*21 + 1*20. Это  число  в  свернутой  форме  записи  будет  иметь  вид: 11000101011. Итак, двоичное  число  представляет  собой  цепочку  из  нулей  и  единиц. Обычно  у  него  достаточно  большое  число  разрядов. Быстрый  рост  числа  разрядов – самый существенный  недостаток  двоичной системы  счисления. 5.2. Арифметические  операции  в  двоичной системе  счисления. Для  того  чтобы  лучше  освоить  двоичную систему  счисления, изложим  вкратце   правила  выполнения  арифметических  операций  над  числами,  представленными  в   двоичной  записи. Арифметика  двоичной системы  счисления 1 2 29 означает  заем  из  старшего  разряда. Рассмотрим  подробно  каждую  операцию. Сложение. Таблица  двоичного  сложения  предельно  проста. Так  как   1 + 1 = 10,  то  0  остается  в  данном  разряде,  а  1  переносится  в  следующий   разряд. Рассмотрим  пример: Вычитание. . При  выполнении операции  вычитания  всегда  из  большего по  абсолютной   величине  числа  вычитается  меньшее  и  ставится  соответствующий  знак.  В  таблице вычитания  1 (единица  с  чертой)  означает  заем  в  старшем  разряде. Рассмотрим  пример: 1 2 30 Умножение.. Операция  умножения  выполняется  с  использованием  таблицы  умножения  по   обычной  схеме,  применяемой  в  десятичной системе  счисления  с   последовательным  умножением  множимого  на  очередную  цифру  множителя.  Это   видно  из  примеров  : Вы  видите,  что  умножение  сводится  к  сдвигам  множимого  и  сложениям. Деление. Операция  деления  выполняется  по  алгоритму  ,  подобному алгоритму   выполнения  операции  деления  в  десятичной системе  счисления,  например : 1 2 31 6.Связь между системами счисления. 6.1. Системы   счисления, родственные  двоичной. При  работе  с  компьютерами  иногда  приходится  иметь  дело  с  двоичными  числами,  поскольку  двоичные  числа  заложены  в конструкцию  компьютера.   Двоичная  система  удобна  для  компьютера, но  неудобна  для  человека – числа   получаются  очень  длинными  и  их  трудно  записывать  и  запоминать.  Конечно,   можно  перевести  двоичное  число  в  десятичную  систему  и  записать  его  в  таком   виде,  а  потом,  когда  оно  понадобится,  перевести  его  обратно,  но  все  эти   переводы  очень  трудоемки.  На  помощь  приходят  системы,  родственные   двоичной, ­  восьмеричная  и  шестнадцатеричная.  Перевод  из  родственной   системы  в  двоичную  и  обратно  может  быть  мгновенно  выполнен  в  уме. Начнем  с  восьмеричной  системы.  В  этой  системе  8  цифр:  0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7. Цифра1,  записанная  в  самом  младшем  разряде,  означает,  как и  в  десятичном   числе, просто  единицу.  Та  же  цифра  1  в  следующем  разряде  означает  8,  в   следующем  ­  64  и  т.д. число  1008    есть  не  что  иное,  как  6410   ,  а  число  6118   равно  6     6410   +  1    810   +  1   =  39310  . Давайте  переведем  число  6118  в  двоичную  систему.  Нет  ничего  проще:   достаточно  заменить  каждую  цифру  на  ее  перевод  в  двоичную  систему  ­   получится  9­значное  двоичное  число: 6 110 1 001 1 001 Обратно,  если  есть  многозначное  двоичное  число  ,  то  для  перевода,  в  8­ ричную  систему  его  нужно  разбить  на  группы  по  три  цифры  справа  налево  и   заменить  каждую  группу  одной      8­ричной  цифрой. Запись  числа  в  8­ричной  системе  достаточно  компактна,  но  еще   компактнее  получается  в  16­ричной  системе.  Для  первых  10 и  16   шестнадцатиричных  цифр используют  привычные  цифры   0,1,2,3,4,5,6,7,8,9  ,  а  вот   для  остальных  6  цифр  используют  первые  буквы  латинского  алфавита: A  ­  10           D  ­  13 32 1 2 B  ­  11 C  ­  12 E  ­  14 F  ­  15      21 Цифра  1,  записанная  в  самом  младшем  разряде,  оначает  просто  единицу.   Та  же  цифра  1  в  следующем  разряде  означает  1610   ,  в  следующем  разряде   ­   25610  и  т.д.  Цифра   F  ,  записанная  в  самом  младшем  разряде,  означает  1510  ,  в   следующем  разряде  ­  1510  1610  и  т.д..  Число     10016  есть,  не  что  иное, как  25610 ,  а  число  AF016  равно   1010     162 10  +  1510    1610  =  280010. Часто  нижний  индекс  16  опускают,  например,  вместо  BAD16  пишут  просто  BAD  ,  и  это  не  приводит  к    ПЛОХИМ  последствиям,  поскольку  в  каждый   момент  понятно,  о  чем  говорится  ­  о  числе  или  об  английском  слове   bad( плохой). 6.2. Геометрическое  представление  чисел. Числа  могут  быть  представлены  не  только  алгебраически  специальными   знаками  на  бумаге,  папирусе  или  бересте,  но  и  геометрически.  Такое   представление  чисел  широко  используется  в  различных  механических  устройствах ,  например  в спидометре. Спидометр  кодирует  числовое  значение  скорости  геометрически,  как  положение  стрелки  на  круговой  или  линейной  шкале.  И  это  геометрическое   представление  ничуть  не  хуже  представления  цифрами,  а  в  чем­то  даже  и   лучше.  Летчик,  посмотрев  на  число,  может  ошибочно  принять  600  км/ч  за   900км/ч,  начать  снижать  скорость,  и  из­за   нехватки  скорости  самолет  войдет в   штопор.  Со  стрелочным  спидометром  вероятность  такой  ошибки  значительно   меньше.  Поэтому  даже  на самых  современных  самолетах  часть  приборов  выводит  данные  не  в  виде  символов,  а  в виде  положения  стрелки  на  циферблате,  шкале  и т.п. Геометрическое  представление  экономических  данных,  результатов  выборов, опросов  общественного  мнения  широко  используется  в  газетах,  журналах,  книгах. Такое  представление  называется  диаграммой.  6.3.Перевод  десятичных  чисел  в  двоичную  систему  счисления. Как  мы  уже  отмечали,  человек  привык  работать  в  десятичной системе   счисления,  а  ЭВМ  ориентирована  на   двоичную систему  счисления.  Поэтому   общение  человека  с  машиной  было  бы  невозможно  без  создания  простых   алгоритмов  перевода  чисел  из  одной системы  счисления  в  другую. Рассматривая  пример  представления  десятичного  числа  в  двоичной системе   счисления  ,  мы  показали  один  из  возможных  способов перевода  чисел  из   десятичной  системы  в  двоичную  ­  метод  разностей. Существуют  и другие,  более  эффективные  способы  преобразования  чисел  из 33 1 2 одной  системы  счисления   в  другую. Рассмотрим  отдельно  перевод  целых  чисел  и  правильных  дробей. 6.3.1.Перевод  целых  чисел. Пусть  А – десятичное  целое  число. Тогда  в  его  разложении  отсутствуют   коэффициенты  с  отрицательными  индексами   и его  можно  представить  в виде: Aц = an­1 * 2n­1 + … + a1 * 21 + a0 * 20 Разделим  число  Ац  на  2.  Неполное  частное  будет  равно An­1 * 2n­1 + … + a1 а  остаток  равен  а0 . Полученное  неполное  частное  опять  разделим  на  2,  остаток  от деления   будет  равен  а1. Если  продолжить  этот процесс  деления,  то  на    ­м  шаге  получим  набор   цифр а0 , а1 , а2 , … , аn­1 , Которые  входят  а  двоичное  представление  числа  Ац  и  освпадают  с  остатками   при  последовательном  делении  данного  числа  на  2.  Но  мы    их  получили  в   порядке,  обратном    порядку  расположения  в  двоичном  представлении  числа  Ац: Ац = а n­1а n­2…а 1а 0 Пример  1. Перевести  десятичное  число  73  в  двоичную систему счисления.   Рассмотренную  выше  последовательность  действий   ( алгоритм  перевода)  удобнее   изобразить  так: Собирая  остатки  от  деления  в  направлении,  указанном  стрелкой,  получим:   7310 = 10010012 . 1 2 34 Пример 2. Если  десятичное  число  достаточно  большое, то  можно   порекомендовать  следующий  способ  записи  рассмотренного  выше  алгоритма: Число 363 181 90 45 22 11 Делитель Остаток 2 1 2 1 2 0 2 1 2 0 2 1 5 2 1 2 2 0 1 2 1 36310 = 1011010112 . 6.3.2. Перевод  правильных  дробей. Пусть  Адр  ­ парвильная  десятичная  дробь. Тогда  в  разложении  отсутствуют   коэффициенты  с  положительными  индексами: Адр = а­1 * 2­1 + а­2 * 2­2 + … (7) Таким  образом, необходимо  найти  коэффициэнты а­1 , а­2 , ….,  входящие  в   запись  числа  в  двоичной системе счисления. Умножим  правую  и  левую  части   выражения  (7)  на  2. 24  В результате  в  правой  части  получим: а­1 +  а­2 * 2­1 + а­3 * 2­2 + … Целая  часть  здесь  равна  а­1 , она  и  даст  нам  старший  коэффициент  в   разложении  числа Адр  по  степеням  2. Оставшуюся дробную часть умножим на 2: а 2+ а­3 * 2­1 + … Цифра а_­2 представляет собой второй коэффициент после запятой в двоичном  представлении исходного числа. Описанный процесс необходимо продолжать до тех пор, пока в правой части не  получим нуль или не будет достигнута необходимая точность вычислений. Пример 3. Перевести десятичную дробь 0,5625 в двоичную систему счисления. Вычисления лучше всего оформлять по следующей схеме: 1 2 35 562 5 0 ,  1 125 0 0 250 0 0 500 0   0000 1  Результат: 0,562510=0,10012 Пример 4. Перевести десятичную дробь 0,7 в двоичную систему счисления. 0, 7 X 2  1  4 X 2  0  8 X 2  1  6 X 2     2 Очевидно, что этот процесс может продолжаться бесконечно, давая все новые и  1  новые знаки в изображении двоичного эквивалента числа 0,7]0. Так, за четыре шага мы  получаем число 0,10112, а за семь шагов — число 0,10110012, которое является более  точным представлением числа 0,710 в двоичной системе счисления, и т.д. Такой  бесконечный процесс обрывают на некотором шаге, когда считают, что получена  требуемая точность представления числа. 6.3.3. Перевод смешанных чисел Перевод смешанных чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляется в два  этапа. Отдельно переводится целая часть, отдельно — дробная. В итоговой записи  полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой (точкой). Пример 5. Перевести число 17,25]0 в двоичную систему счисления. Переводим  целую  часть: 17      2   1 2 36 1      8     2     4               0     2                      0    2       2                              0      1                                        1       2       0 Переводим дробную часть: 0,  25  2х  0  50  2х  1  00  Таким образом, 17,2510=10001,012 6.3.4. Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую По аналогии с рассмотренными алгоритмами можно сформулировать общее правило  перевода целых чисел из системы счисления с основанием р в систему с основанием q: 1) основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы  счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления; 2) последовательно выполнять деление данного числа  и получаемых неполных  частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим  неполноечастное, меньшее делителя; 3) полученные остатки, являющиеся цифрами числа в  новой системе счисления,  привести в соответствие с алфавитом новой системы  счисления; 4) составить число в новой системе счисления, записывая его начиная с последнего  остатка. Пример 1. Перевести десятичное число 173 в восьмеричную систему счисления:     173     8       5  21      8             5  2                       2     8   0 17310=2558 1 2 37 Пример 2. Перевести десятичное число 173 в шестнадцатеричную систему  счисления:         16  10 173 11 (D)    (A)      173 10  =  AD16 6.3.5. Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую Можно сформулировать следующее правило перевода правильной дроби, записанной в  системе счисления с основанием р, в дробь, записанную в системе счисления с основанием  q: 1)основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы  счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления; 2)последовательно умножать данное число и получаемые дробные части  произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть  произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа; 3)полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой  системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления; 4)составить дробную часть числа в новой системе счисления начиная с целой части  первого произведения. Пример 1. Перевести число 0,65625]() в восьмеричную систему счисления.  0,          65625           *           8 5   25000                 *            8 2    00000                                                                                 0,65625К)=0,528 1 2 38           Пример 2. Перевести число 0,6562510 в шестнадцатеричную систему счисления. 0, 65   65625 х  16  10  50  50000 16  (А )   00000 8  0,6562510  =0,А816 Пример 3. При переводе смешанных чисел отдельно переводятся целые и дробные  части. Перевести число 124,2510 в восьмеричную систему. 124 8         4  15    8 7   1    8                     1    0 Дробная  часть : 0,  25          *          8  1    00 124,2510 = 174,28      6.3.6. . Перевод чисел из систем счисления с основанием 2n в систему счисления с основанием 2 и обратно Если основание q ­ ичной системы счисления является степенью числа 2, то перевод  чисел из q ­ичной системы счисления в 2­ичную и обратно можно проводить по более  простым правилам. Пусть q=2 3 и дано некоторое двоичное число (аЬсdеf)2 (abcdef)2 = a * 25 +  b * 24 + c * 23 + d * 22 + e * 21 + f * 20 =  = (a * 22  + b * 21 + c * 20) * 23 +( d * 22 + e * 21 + f * 20) =  39 1 2      = A * 23 +B = A *8 + B = AB8 , A8 = = a * 22  + b * 21 + c * 20  = abc2 , B8 =  d * 22 + e * 21 + f * 20  = def2 .  Исходя из приведенных выше рассуждений, можно сформулировать следующий  алгоритм перевода целых двоичных чисел в систему с основанием q=:2n. Для того чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием q =  2n, нужно: 1) 2) 3) данное двоичное число разбить справа налево на группы по п цифр в каждой; если в последней левой группе окажется меньше п разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов; рассмотреть каждую группу как п­разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q = 2n. Пример 1. Число 1011000010001100102 перевести в восьмеричную систему  счисления. Разбиваем число справа налево на триады и под каждой из них записываем  соответствующую восьмеричную цифру: 101  100  001  5  4  1  000  0  110  010  6  2  Получаем восьмеричное представление исходного числа: 5410628. Пример 2. Число 10000000001111100001112 перевести в шестнадцатеричную  систему счисления. Разбиваем число справа налево на тетрады и под каждой из них записываем  соответствующую шестнадцатеричную цифру: 0010  0000  0000  1111  1000  0111  2  F  0  0  8  7  1 2 40 Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 200F8716 Для того чтобы дробное двоичное число (целая часть равна нулю) записать в системе  счисления с основанием q=2n, нужно: 1) данное двоичное число разбить слева направо если в последней правой группе окажется на группы по п цифр в каждой; 2) • меньше п разрядов, то ее надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов; 3) рассмотреть каждую группу как п­разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2n. Пример 3. Число 0,101100012 перевести в восьмеричную систему счисления. Разбиваем число слева направо на триады и под каждой  из них записываем  соответствующую восьмеричную цифру: 000,         101         100    010        0,             5            4     2 Получаем восьмеричное представление исходного числа: 0,5428. Пример 4. Число 0,1000000000112  перевести в шестнадцатеричную систему  счисления. Разбиваем число слева направо на тетрады и под каждой из них записываем  соответствующую шестнадцатеричную цифру: 0000,         1000        0000      0011           0,           8         0           3 Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа:      0,803 16. Для того чтобы произвольное двоичное число записать в системе счисления с основанием  q=2n, нужно: 1)данное двоичное число разбить слева  и справа (целую и дробную части) на группы  по п цифр в каждой; 2)если в последних правой и левой группах  окажется меньше п разрядов, то их надо    дополнить справа и слева нулями до нужного числа разрядов; 3)рассмотреть каждую группу как п­разрядное  двоичное число и записать ее  соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2n. Пример 5. Число 111100101,01112 перевести в восьмеричную систему счисления. Разбиваем число справа налево на триады и под каждой  из них записываем  соответствующую восьмеричную цифру: 1 2 41 111       100  101, 011     100   7         4          5,         3          4 Получаем восьмеричное представление исходного числа: 745,348. Пример 6. Число 11101001000,110100102 перевести в шестнадцатеричную систему  счисления. Разбиваем число справа налево на тетрады и под каждой из них записываем  соответствующую шестнадцатеричную цифру: 0111        0100        1000, 1101       0010 7              4               8,             D           2 Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа:  748,D2 16. Для того чтобы произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q=2n, перевести в двоичную систему счисления, нужно каждую цифру этого числа заменить ее n­значным эквивалентом в двоичной системе счисления. Пример 7, Переведите шестнадцатеричное число 4АС3516 в двоичную систему  счисления. В соответствии с алгоритмом: 4      C            3           5 0100        1010         1100  0011       0101 А Получаем 10010101100001101012. Описанные алгоритмы позволяют достаточно быстро и просто осуществлять  переводы десятичных чисел в двоичную систему счисления и обратно с использованием  в качестве промежуточной восьмеричной или шестнадцатеричной системы счисления. 6.3.7.  Перевод чисел из произвольной системы счисления в десятичную Существует несколько способов перевода чисел из системы счисления с произвольным основанием в десятичную. 1. Перевод по правилам  Такой способ перевода достаточно затруднителен для систем с основанием q>2,  так как требует хорошего знания соответствующих таблиц сложения и  умножения. Пример 1. Перевести двоичное число 10101101,1 в десятичную систему счисления. 1 2 42 Основание десятичной системы в двоичной имеет вид 1010.                          0, 1000        * 10101101  1010 1010           10001             1101      1010             1010        111             1                 11         (7)            (1)                          100 0         (3)                                                         101 000  1010                                      1    1010                     1010             0               + 1  000    2.Перевод по степенному ряду (формула (1)) описан в п. 2. Пример 2. Перевести двоичное число 1010110,11 в десятичную систему  счисления. А2=1х26+1х24+1х22+1х21+1х2 ­1+1х2 ­2=86,75 10 5. Перевод по схеме Горнера (формулы (2'), (3')). 6. В этом случае порядок действий для целых чисел определяется формулой:  Si = Si+1 * q + ai , где i=n­1, п­2, ..., 1, 0;     S n=0; А10 = S0 . Пример 3. Переведем двоичное число 1 10101 1 в десятичную систему счисления. S6 = 0 * 2 + 1 = 1    S5=1x2+1=3 S4 = 3 * 2 + 0 = 6    S3=6x2+1=13 S2 = 13 * 2 + 1 =26    S5=26x2+1=53 S6 = 53 * 2 + 1 = 107    Результат: 11010112 = 10710 . Перевод по схеме Горнера можно оформлять и так:  (((((1х2+1)х2+0)х2+1)х2+0)х2+1)х2+1=107 Порядок действий для правильных  дробей определяется формулой: Si = Si+1 : q + a ­i , где  i = m, m­1 , … , 1 ;   S m+1 = 0 ; a 0 = 0;    A10 = S0. 43 1 2 Пример 4. Переведем двоичное число 0,1110101 в десятичную систему счисления.  Счет будем вести с четырьмя знаками после запятой. S7=0:2+1=1 S5=0,5:2+1=1,25 S,=0,625:2+1=1,3125     S2= 1,3125:2+1=1,6563  S,= 1,6563:2+1=1,8281    S0=1,8281:2+0=0,9140  S6= 1:2+0=0,5 S4 = 1,25:2+0=0,625 Результат: 0,11101012=0,914010  Иначе это можно записать так: 1/2х(1+1/2*(1+1/2*(1+1/2*(0+1/2*(1+1/2*(0+1/2х1))))))= =  0,9140625 7. Системы счисления, используемые в ЭВМ. От того, какая система счисления будет использована в ЭВМ, зависят скорость  вычислений, емкость памяти, сложность алгоритмов выполнения арифметических  операций. Дело в том, что для физического представления (изображения) чисел необходимы  элементы, способные находиться в одном из нескольких устойчивых состояний. Число  этих состояний должно быть равно основанию принятой системы счисления. Тогда  каждое состояние будет представлять соответствующую цифру из алфавита данной  системы счисления. Десятичная система счисления, привычная для нас, не является наилучшей для  использования в ЭВМ. Для изображения любого числа в десятичной системе счисления  требуется десять различных символов. При реализации в ЭВМ этой системы счисления  необходимы функциональные элементы, имеющие ровно десять устойчивых состояний.  Так, в арифмометрах используются вращающиеся шестеренки, в которых фиксируется  десять устойчивых положений. Но арифмометр и другие подобные механические  устройства имеют серьезный недостаток — низкое быстродействие. Создание электронных элементов, имеющих много устойчивых состояний,  затруднено. Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются так  называемые двухпозиционные элементы, способные находиться в одном из двух  устойчивых состояний, например: ­ электромагнитное реле замкнуто или разомкнуто; ­ ферромагнитная поверхность намагничена или размагничена; — магнитный сердечник намагничен в одном направлении или в противоположном; — транзисторный ключ находится в проводящем состоянии или запертом и т.д. Одно из этих устойчивых состояний может представляться цифрой 0, другое — цифрой  1. С двоичной системой связаны и другие существенные преимущества. Она обеспечивает  максимальную помехоустойчивость в процессе передачи информации как между  отдельными узлами автоматического устройства, так и на большие расстояния. В ней  1 2 44 предельно просто выполняются арифметические действия и возможно применение  аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований. Благодаря таким особенностям двоичная система стала стандартом при  построении ЭВМ. Большое применение в ЭВМ нашли также восьмеричная и шестнадцатеричная  системы счисления. Обмен информацией между устройствами большинства ЭВМ  осуществляется путем передачи двоичных чисел. Пользоваться такими числами из­за  их большой длины и зрительной однородности человеку неудобно. Поэтому спе­ циалисты (программисты, инженеры) как на этапах составления программ для ЭВМ,  их отладки, ручного ввода/вывода данных, так и на этапах разработки, создания,  настройки вычислительных систем заменяют коды машинных команд, адреса и  операнды на эквивалентные им величины в восьмеричной или шестнадцатеричной  системах счисления. В результате длина исходного слова сокращается в три, четыре  раза соответственно. Это делает информацию более удобной для рассмотрения и  анализа. Таким образом, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления  выступают в качестве простейшего языка общения человека с ЭВМ, достаточно  близкого как к привычной для человека десятичной системе счисления, так и к  двоичному "языку" машины. Как правило, пользователь ЭВМ вводит исходную информацию и получает результат  решения задачи в десятичной системе счисления. При вводе информации в ЭВМ каждая десятичная цифра заменяется ее двоичным  эквивалентом в виде тетрады (четыре двоичных разряда). Десятичное число требует  для своего изображения стольких тетрад, сколько имеется десятичных разрядов в  числе. Таким образом, десятичные цифры представляются в двоичной системе счис­ ления, а все разряды без изменения — в десятичной системе счисления. Это позволяет  выполнять арифметические операции в десятичной системе счисления, используя  двоичные элементы для хранения и переработки числовой информации. Такая форма  представления данных называется двоично­десятичной. Говорят о двоично­ десятичном  коде (ДДК) или смешанной двоично­десятичной системе счисления. Пример 1. Число 38 в смешанной двоично­ десятичной системе будет иметь вид: 0011   1000 Обратите внимание на то, что приведенная запись не соответствует двоичному  представлению десятичного числа 38 и 3810=1001102 Для преобразования двоично­десятично кода в двоичное число в ЭВМ используется  схема Горнера.       При выводе информации из ЭВМ производится обратное преобразование: двоичное  число переводится в ДДК и затем десятичное число выводится на печать.  1 2 45 ЛИТЕРАТУРА: 1.Касаткин В.Н. Информация, алгоритмы, ЭВМ: Пособие  для  учителя. –  М.:Просвещение, 1991. 2.Нестеренко А.В. ЭВМ и профессия  программиста: Книга  для  учащихся  старших классов средней школы, ­  М.: Просвещение, 1990. 3.Зотов В.В. Пособие оператора ЭВМ:Практическое пособие, ­ М.:Высшая школа,  1993. 4.Лавров С.С. Введение  в  программирование. – М.: Наука, 1977. 5.Перельман Я.Н. Занимательная  арифметика. – М.: Триада­Литера, 1994. 6.Симонович С Общая  информатика. – М.:АСТ­ПРЕСС КНИГА, 2002        7.Кушниренко   А.Г.  и  др.   Информационная  культура  . Кодирование  информации, класс 9. – М., «Дрофа», 1995. 1 2 46