Курсовая работа по теме

Методика использования исторических сведений о системах счисления при изучении математики в 5 классе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

Введение. 3

Глава 1. Теоретические аспекты использования исторического материала при изучении математики в 5 классе. 6

1.1. Роль исторического материала на уроках математики. 6

1.2. Анализ учебников и методических пособий. 9

Глава 2. Методика использования исторического материала на уроках математики  21

2.1. Методика внедрения исторического материала при изучении математики на уроках и внеклассной работе. 21

2.2. Разработка фрагментов уроков математики и внеклассных мероприятий с использованием исторических сведений. 26

Заключение. 38

Список литературы. 41

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Математика, в отличие от большинства других преподаваемых в школе дисциплин имеет предметом своего изучения не непосредственно вещи, составляющие окружающий нас внешний мир, а количественные отношения и пространственные формы, свойственные этим вещам. Этой особенностью математической науки в первую очередь объясняются те, хорошо известные методические трудности, которые неизбежно встают перед преподавателем математики и которых почти не знают преподаватели других наук. Перед учителем математики стоит нелегкая задача - преодолеть в сознании учеников возникающее со стихийной неизбежностью представление о «сухости», формальном характере, оторванности этой науки от жизни и практики. 

Лучшие педагоги прошлого постоянно подчёркивали недостаточность и педагогическую ошибочность чисто абстрактного изложения математики и настаивали на том, чтобы математика получала зримые черты метода познания окружающего нас мира [1]. Уроки с привлечением исторического материала никого не оставляют равнодушными: ни тех, для кого логика - «наука первая…из всех», ни тех, для кого важна эмоциональная окраска получаемых знаний. В конечном итоге выигрывают все.

Особое место в обучении математике занимают задачи, в основу которых положен исторический материал, разнохарактерные письменные источники, например, старинные задачи, сказки, свидетельства античных авторов.
Меняются школьные программы, учебники и методики обучения, взгляды учёных на отдельные исторические явления и целые эпохи. Но исторические документы обладают непреходящей ценностью. Общеизвестно, что науки не только граничат друг с другом, но и взаимно обуславливают и дополняют друг друга. 

 Так как математика и ее история обладают богатым культурным наследием, научно-образовательными традициями и мощным потенциалом для развития и воспитания личности использование такого средства обучения, как исторический материал на уроках математики представляется наиболее предпочтительным для формирования общей культуры школьника . На это указывали и ученые, и педагоги-математики, начиная с В.В. Бобынина, В.Я. Буняковского, Д.Д. Мордухай-Болтовского, П.Л. Чебышева и др. В дальнейшем целесообразность использования элементов историзма в процессе обучения математике подчеркивали Н.Я. Виленкин, Г.И. Глейзер, И.Я. Депман, Ю.М. Колягин, В.Н. Молодший и др.

История обогащает математику гуманитарным и эстетическим содержанием, развивает образное мышление учеников. Математика, развивающая логическое и системное мышление, в свою очередь занимает достойное место в истории, помогая лучше её понять.
Как, решая проблему формирования интереса учеников к учению, использовать возможности двух школьных предметов?

Сведения из истории математики, задачи исторического характера, это лишь немногие «точки соприкосновения» этих, казалось бы, далёких, но достаточно близких наук. Как, добиться того, чтобы ученики с интересом занимались математикой, как научить их решать задачи, как убедить в том, что математика нужна не только в повседневной жизни, но и для изучения других предметов? Исходя из появившихся вопросов, и была выбрана тема курсовой работы «Методика использования исторических сведений о системах счисления при изучении математики». 

Цель работы: исследовать особенности использования исторических сведений на уроках математики 5 класса

 

Задачи:

1) Изучить роль исторического материала на уроках математики;

2) Анализировать учебные  и методические пособия ;

3) Разработать методику внедрения исторического материала ;

4) Разработать фрагменты уроков математики и внеклассных мероприятий с использованием исторических сведений о системах счислений.

Объект исследования: особенности использования исторических сведений на уроках математики в 5 классе

Предмет исследования: методика применения исторических сведений при изучении математики  в 5 классе.

Методы исследования:

 1) Теоретический анализ литературы по проблеме исследования;

2) Моделирование методики включения исторических сведений в состав уроков по математике

3) Разработка фрагментов урока и внеурочных занятий с использованием исторических сведений.

Практическая значимость исследования: в рамках данной работы были разработаны фрагменты уроков и внеклассных мероприятий  по включению исторического материала в математическое образование школьников.

Теоретическая значимость исследования: систематизирована работа по проблеме использования исторических сведений на уроках математики .

Работа включает в себя введение, две главы, заключение и список литературы.

Глава 1. Теоретические аспекты использования исторического материала при изучении математики в 5 классе

 

 

1.1. Роль исторического материала на уроках математики

 

 

В течение всей жизни человек постоянно пользуется числами, правилами, фигурами, сложившимися в математике. Привычным и естественным для нас стало использование основ математики. Мы не задумываемся о том, что когда-то, в глубокой древности люди этого не знали и большими усилиями открывали начала науки математики. Только осмыслив этот сложный путь становления математики как науки, дети  могут осознать ценность математических знаний.

Знаменитый немецкий математик Г.В. Лейбниц сказал: – «Кто хочет ограничиться настоящим, без знаний прошлого, тот никогда его не поймет». Действительно исторические знания и факты могут способствовать лучшему пониманию науки математики. Сопоставление истории возникновения математических знаний с изучаемыми фактами, будет способствовать не только увеличению познавательно интереса детей  к предмету, но и углубленному пониманию  усвояемого материала, повышению общей культуры, расширению кругозора [8, с.45].

Математика, в отличие от других предметов, имеет отвлеченный, абстрактный характер. На уроках оперируют такими понятиями, как число, мера, пространственные формы. Они воспринимаются учащимися как формальные понятия, оторванные от жизни. Поэтому перед учителем стоит задача: связать обучение с жизнью, показать, что возникновение математических понятий связано с практической деятельностью человека. С этой целью рекомендуется знакомить детей с некоторыми сведениями из истории математики, показывать отдельные явления в динамике, изменении [10, с. 50].

В нынешнее время остро встает вопрос о наличии исторического материала в учебниках по математике. В различные варианты учебников  математики 5 класса включены  исторические факты о величинах, возникновении цифр, доступные для учащихся. Но, к сожалению, не всегда на уроках  математики оказывается достаточно времени для изучения таких фактов.

В то же время включение исторических сведений в образовательное пространство школьника способствует решению  следующих методологических и педагогических задач: установление диалектической взаимосвязи между историей страны, края, человечества и историей развития математики;  раскрытие причинно-следственных связей, закономерностей исторического процесса;  углубление, расширение, конкретизация, повторение и закрепление знаний по предмету;  активизация познавательной деятельности учащихся, установление взаимосвязи между учебной и внеклассной работой учащихся и приобщение их к самостоятельному добыванию знаний [8, с. 74].

Авторы методических пособий советуют проводить такую работу во внеурочное время. Введение элементов истории математики в доступной форме положительно сказывается на развитии познавательного интереса, способствует углублению понимания изучаемого материала. Со временем меняются учебные программы, учебники и методики обучения, взгляды ученых на отдельные исторические явления и целые эпохи, но исторические документы обладают величайшей ценностью.

 С использованием исторического материала связываются две области знания – математика и история. Исторические сведения сближают эти школьные предметы, история обогащает математику гуманитарным и эстетическим содержанием, развивает образное мышление школьников. Математика в свою очередь, развивающая логическое и системное мышление, занимает достойное место в истории, помогая лучше ее понять.

 Н.А. Медникова рекомендует преподносить исторические сведения в занимательной форме, связанные с программным материалом краткие беседы, короткие сообщения учеников на заданную тему, а также в виде использования старинных математических игр, демонстрации решения старинных математических задач, сопровождаемых показом диафильмов, таблиц или рисунков [10, с. 50].

 С помощью исторических «путешествий»  учитель может дать возможность ученикам самостоятельно приходить к формулировкам математических правил, как бы вновь «открывая» их, доказывать свои высказывания и даже «спорить с древними людьми», побуждать в учениках желание самостоятельно выбирать любопытные факты истории, связанные с математическими открытиями, делиться ими со своими одноклассниками. Обычно всё это способствует обучению школьников умению находить нужную информацию,  отстаивать собственные взгляды и убеждения. Особенно интересны исторические сведения о том, как древние люди научились считать, записывать числа, измерять величины.  Это отражается в  научных исследованиях  или проектах «маленьких ученых», с которыми они выступают на конференциях.

Человек все время пытался узнать что-то новое, стремился понять, измерить. До появления всех приборов,  без которых мы в наше время не можем сейчас обойтись, люди создали систему мер, научились считать, по природным изменениям определять время, расстояние и т.д. Все это сквозь эпохи донеслось и до нас. Как они могли догадаться? Каким образом получилось так, что с развитием современных технологий и наук,  мы пользуемся всем тем, что зародилось глубоко в древности? Учащиеся с замиранием сердца слушают все эти увлекательные истории о том, как появилась математика, какими порой удивительными способами люди разгадывали тайны природы и учились изменять ее. Это несоизмеримая ни с чем информация, которую обязательно нужно донести до тех, кто должен знать, как появилось «все вокруг», и как увлекательна математика, как нужна она в практической деятельности, в жизни каждого из нас

Таким образом, изучая фрагментарно на уроках математики,  на внеурочных  занятиях  историю математики, учащиеся все больше проявляют интерес к этой науке, стараются лучше усвоить новый и незнакомый материал. Это позволяет активизировать познавательную деятельность учащихся и добиться хороших  показателей в знаниях, учит применять их в жизни.

 

 

1.2. Анализ учебников и методических пособий

 

 

Вопросом использования исторического материала в математическом образовании занимались такие педагоги, как В.В. Бобынин, Г.И. Глейзер, И.Я. Депнан, современные методисты Ю.А. Дробышев, А.В. Тихоненко, В.Ф. Ефимов и другие [4; 5; 7]. В их трудах предлагается более глубокое  изучение истории науки, так как считается, знание прошлого благосклонно сказывается в изучении настоящего и будущего. До конца прошлого столетия исторический математический материал в основном использовался при организации внеклассной работы.  Современное состояние проблемы можно проследить с помощью анализа программ по математике и практики работы учителей.

В ныне действующие программы по математике 5 класса включены познавательные исторические материалы , но их применение на уроках четко не определены, нет целеполагания, единых методических рекомендаций.

 

В основном исторические сведения предложены фрагментарно, не взаимосвязаны с основным учебным материалом, и как правило, их включение нельзя сказать органическим соединением в учебный процесс.

Анализируя методическую литературу, можно определить объем исторического материала, применяемого при школьном образовании:

·        краткие факты из истории математики;

·        сведения из истории математических понятий;

·        справки о жизни учёных-математиков;

·        практическое применение старинных приёмов счёта;

·        изучение понятия по версии его происхождения.

Текстовые задачи, старинные задачи, задания с историческим содержанием , знаменательные даты , связанные с историей науки, сведения об известных личностях ,  можно скомпоновать в отдельную группу. Возможно применение материала, связанного с возникновением математических понятий, терминов, но , как правило, такие сведения мало практикуются учителями.

Математическими понятиями, терминами  интересуется та часть школьников, кто в  будущем собирается  более глубоко заниматься учебной дисциплиной как наукой, тем самым расширяя свой кругозор, более глубже осмысливая истоки возникновения. [5, с. 124

В учебниках по математике 5 класса имеется ряд терминов, к которым для более полного понимания необходимо давать исторический комментарий Это является основой для формирования общекультурной компетентности, входящей в состав всех видов компетентности [13]:

·        ценностно-смысловой;

·        информационной;

·        коммуникативной;

·        личностного самосовершенствования.

Анализируя школьные учебники по математике на наличие исторического материала, мы произвели сопоставительный анализ учебников математики авторов А.Г.Мерзляк, Н.Я.Виленкин, С.А.Козловой (традиционный подход), программу развивающего обучения Л.Г. Петерсона.

Во всех учебниках Л.Г Петерсона большое место отводится изучению исторического материала. Имеются сведения из истории математики, справки о жизни ученых – математиков. Исторический материал дается не обособленно, а ребенок получает возможность практического применения старинных приемов счета, изучение понятия по версии его прохождения. Кроме того, отдельную группу представляют текстовые задачи с историческим содержанием, задания, где соприкасаются история и математика. Материал представлен либо после соответствующей темы, либо в конце учебника.

Учебники математики автора Л.Г. Петерсон содержат исторический материал в достаточном объеме, даются не только исторические сведения, но и много задач, связанных с историей математики.

Учебники предметной линии «Математика» для 5 класса концептуально А.Г.Мерзляка  представляют большой исторический материал. В них представлены сведения из истории математики в виде рассказов и справочных данных. После каждого параграфа предлагается система вопросов, контролирующих усвоение теоретического материала, среди которых отводится место и историческому материалу.

Среди очевидных преимуществ, следует отметить большое количество и разнообразие дидактического материала в учебниках. Дидактический материал учебника сформирован по принципу универсальности: от задач, формирующих навыки, до задач математических кружков. Все задачи разбиты на четыре уровня сложности: простые задачи, задачи среднего уровня сложности, сложные задачи, задачи повышенной сложности. Немалое место уделяется задачам с историческими сведениями, что способствует воспитанию интереса к предмету.

Большое внимание в учебнике уделяется текстовым задачам. Их фабулы разнообразны и нередко основываются на реальных фактах, исторических и краеведческих сведениях. В учебнике используются фабулы задач со сказочными героями.

Широко представлены возможности проектной деятельности учащихся. Есть список тем для педагога, по которым могли бы быть выполнены как долгосрочные, так и кратковременные проекты, среди которых большое место занимают темы проектных работ из истории математики. Кроме того, само наполнение учебника задачным материалом, ориентированным на практический и социальный опыт учащихся с применением исторических сведений, способствует реализации проектной деятельности.

Учебник содержит шесть дополнительных рассказов, размещенных в рубрике «когда сделаны уроки», в которых предлагается богатый исторический материал. «Как считали в старину», «Как называют числа великаны», «От локтей и ладоней к метрической системе»  учат детей приобщаться к истории возникновения чисел. На исторических уроках « О льняной нити и линиях», «Язык, понятный всем», «Попасть в дроби», «От шестидесятеричных к десятичным дробям», «Дружим с компьютером» рассматриваются интересные исторические сведения, которые обогащают знания, расширяют кругозор и учат детей познавать историю математики еще лучше.

Математика: Учебник для 5 класса средней школы. Авторы: Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. М.: «Мнемозина», 2017. В учебнике значительное место занимают исторические справки, они находятся в конце каждого параграфа. «Появление дробей», «Для чего требовались натуральные числа» учат детей заглядывать в далекое прошлое и почерпнуть те знания, которые остались в далеком прошлом, но и сегодня не потеряли актуальность.

В специально отмеченных рубриках, учащиеся найдут рассказы об истории возникновения и развития математики. В первой главе учебника познакомятся с различными: единицами измерения длины (саженью, локтем, футом, ядром, верстой и так далее), способами записи чисел (римской, славянской, арабской); старинными мерами массы. В старину в России применялись меры массы не такие, как в настоящее время.

Например, для взвешивания мелких, но дорогих товаров применялся золотник. В торговле использовались фунт, пуд, берковец.; знаменитыми математиками (Карлом Гауссом, А.Н. Колмогоровым, и другими); различными системами счисления (десятичной, шестидесятеричной, двоичной), с единицами измерения объема, площади (в старину площади земельных участков измеряли в десятинах… На Руси использовались в качестве единиц измерения объема ведро, штоф. В США, Англии и других странах используются баррель, галлон, бушель, пинта )узнают, как возникла метрическая система мер.

В главе «Дробные числа» учащиеся узнают о различных названиях дробей (1/2 – пол, полтина, ¼ - четь…), о названиях старинных монет достоинством меньше копейки (1/2 – грош), о происхождении дробей и их применении и различных способах записи у разных народов. Также дается представление о первых вычислительных устройствах (В Древнем Египте и Древней Греции задолго до нашей эры использовали абак – доску с полосками, по которым передвигались камешки….Первый арифмометр, выполнявший все четыре арифметических действия, создал в 1673 году немецкий физик, изобретатель и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц..), о процентах, градусах, узнают об истоках зарождения геометрии.

Поскольку исторические сведения по каждой теме приведены в конце соответствующего параграфа, учителю до начала изучения темы полезно просмотреть этот раздел с тем, чтобы обращаться к нему постепенно в ходе изучения параграфа, наметить возможные формы взаимодействия с учителем истории.

Так как в 5 классе предполагается изучение курса истории Древнего мира, то у учителя появилась возможность значительно обогатить и разнообразить форму использования исторических материалов и их содержание.

В учебнике есть нестандартные развивающие задачи, старинные задачи, исторические сведения.

Например: Задача из папируса Ахмеса (Египет, ок. 2000 лет до н.э.). Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают: - Сколько приводишь ты из своего многочисленного стада? Пастух отвечает: - Я привожу две трети от трети скота. Сочти! Сколько быков в стаде?

Занимательная задача: Квадрат содержит 16 клеток. Разделите его на две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток. Сколько решений имеет эта задача? (Способы считаются различными, если части квадрата, которые получаются при одном способе, не равны частям, полученным при другом способе.)

Это позволяет значительно расширить возможности для развития мышления и речи учащихся, разнообразить приемы решения задач, расширить представления о способах решения задач в далекие времена, может способствовать развитию учащихся, формированию у них интереса к решению задач и к самой математике.

В учебнике представлены 4 главы: «Натуральные числа и нуль», «Измерение величин», «Делимость натуральных чисел», «Обыкновенные дроби».

В первой главе повторяются и обобщаются сведения о натуральных числах, рассматриваются различные системы счисления, египетская, славянская, римская нумерация, старинные задачи.

Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с измерением величин. Учащиеся знакомятся с русскими мерами длины, с метрической системой мер, даны задачи из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого.

Третья глава посвящена вопросам делимости натуральных чисел. Школьники узнают из нее, что такое наибольший общий делитель, Решето Эратосфена. Знакомятся с такими знаменитыми учеными как: П.Л. Чебышев, Л. Эйлер. Много старинных и занимательных задач.

 Наконец, в последней четвертой главе изучаются обыкновенные дроби в полном объеме, предусмотренном программой. Рассматриваются системы записи натуральных чисел (шестидесятеричная), способы записи дробей различными древними народами.

Рассматриваемые учебники помогают учителю , практически систематически ознакомить обучающихся  с разнообразными историческими заметками, старинными задачами, занимательным материалом, содержащимся в учебнике в большом количестве.

Виленкин Н.Я. Математика. 5 класс                                                                   Таблица 1.

Тема	Биография математиков		История развития науки	История происхождения терминов	Исторические задачи
Глава 1. Натуральные числа. §1. Натуральные числа и шкалы.
3. Плоскость. Прямая. Луч.			+
5. Меньше или больше.			+
§2.Сложение и вычитание натуральных чисел.
6. Сложение натуральных чисел и его свойства.					+
10. Уравнение.	+		+
16. Степень числа. Квадрат и куб числа.	+		+
§4. Площади и объемы.
19. Единицы измерения площадей.					+
21. Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда.			+		+
Глава 2. Дробные числа. §5. Обыкновенные дроби.
28. Смешанные числа.					+
29. Сложение и вычитание смешанных чисел.			+	+	+
§6. Десятичные дроби. Сложение и вычитание десятичных дробей.
33. Приближенные значения чисел. Округление чисел.	+
§7. Умножение и деление десятичным дробей.
38. Среднее арифметическое.	+		+
§8. Инструменты для вычислений и измерений.
40. Проценты.				+
42. Измерение углов. Транспортир.				+
43. Круговые диаграммы.			+	+

 

Мерзляк А.Г . Математика. 5 класс

                                                                                                                             Таблица 2

Тема	Биография математиков	История развития науки	История происхождения терминов	Исторические задачи
Глава 1. Натуральные числа §1 Ряд натуральных чисел. §2. Цифры. Десятичная запись натуральных чисел
Когда сделаны уроки Как считали в старину. Как называют «числа –великаны»		+	+	+
§3. Отрезок. Длина отрезка
От локтей и ладоней к метрической системе		+	+	+
§4. Плоскость. Прямая. Луч
От льняной нити и линиях		+
Глава 2. Сложение и вычитание натуральных чисел §9. Числовые и буквенные выражения
Язык, понятный всем		+	+
§15. Прямоугольник. Ось симметрии
Ось симметрии				+
Глава3. Умножение и деление натуральных чисел
Умножение. Свойства умножения				+
Деление. Деление с остатком				+
Прямоугольный параллелепипед. Пирамида		+		+
Глава 4. Обыкновенные дроби §25. Понятие обыкновенной дроби
Попасть в дроби		+	+
Смешанные числа				+
Глава 5. Десятичные дроби §30. Представление о десятичных дробях
От шестидесятеричных к десятичным дробям	+	+

 

Козлова С.А. Математика. 5 класс

Практически весь исторический материал помещен отдельным блоком под названием «Исторические страницы».

Таблица 3.

Тема	Биография математи ков	История развития науки	История происхождения терминов	Исторические задачи
Раздел 1. Числа. Глава 1. Натуральные числа и нуль.
1.3. Натуральные числа и нуль. Запись, чтение чисел.		+		+
1.6. Округление натуральных чисел.				+
Глава 2. Действия с натуральными числами.
2.6. Упрощение вычислений.				+
Исторические страницы.		+
Любителям математики.				+
Раздел 2. Делимость. Глава 3. Делимость натуральных чисел.
3.7. Единицы измерения времени.		+
Исторические страницы.		+
Раздел 3. Дроби.
Исторические страницы.		+
Любителям математики.				+
Раздел 4. Геометрические фигуры.
Исторические страницы.		+
Любителям математики.				+
Проекты.		+
Исторические страницы.		+
Проекты.		+

Конечно, в учебниках мы встречаем и исторические страницы. Читая их, узнаём о появлении и развитии математических понятий, возникновении и совершенствовании методов решения задач. И, тем не менее, творчески работающему учителю тесно в рамках того исторического содержания, которое приводится в учебнике.

Таким образом, содержание исторического материала в курсе математики 5 класса в учебниках разных авторов таковы:

Класс	Название параграфа	Исторический материл
5-й класс	Натуральные числа и число нуль.	История устной и письменной нумерации.
	Математические знаки.	Египетская нумерация.
	Натуральные числа.	Вавилонская нумерация.
	Натуральные числа.	Римская нумерация.
	Десятичная нумерация.	Славянская нумерация.
	Десятичная нумерация.	Десять индусских цифр.
	Натуральные числа.	История развития натуральных чисел.
	Делители натурального числа.	О происхождении терминов: «делитель», «делимое», «частное», «деление».
	Признаки делимости.	О происхождении признаков делимости.
	Простые и составные числа.	Древнегреческие ученые (Евклид, Эратосфен), решето Эратосфена.
	Таблица простых чисел.	Вклад российских ученых (П.Л. Чебышев, И.М. Виноградов, А.Н. Колмогоров).
	Разложение натуральных чисел на множители.	Совершенные числа, дружественные числа.
	Разложение натуральных чисел на множители.	Дружественные числа.
	Наибольший общий делитель.	Алгоритм Евклида.
	Наименьшее общее кратное.	Происхождение термина «кратное» и использование его в жизненной практике (високосный год).
	Делимость натуральных чисел.	О нерешенных задачах теории делимости (формула Л. Эйлера).
	Дроби. Чтение и запись дробей.	История появления дробей (Фибоначчи, Максим Плаунд).
	Десятичные дроби.	Происхождение и развитие десятичных дробей.
	Положительные и отрицательные числа.	История появления отрицательных чисел.
	Измерения величин.	Метрическая система мер.
	Метрические единицы.	Старинные русские меры длины (Д.И. Менделеев).

 

Таким образом, использование  исторического материала на уроках имеет огромный потенциал для достижения школьниками личностных образовательных результатов. Знакомство с жизнью учёных-математиков и систематическое включение исторических экскурсов, путешествий в прошлое математики, кратких рассказов, наглядного показа древних предметов для измерения и счёта,  вызывают живой интерес к обучению, создают предпосылки к формированию общекультурной компетентности, научного мировоззрения, повышают ценностное отношение детей к изучаемому материалу.

 

 

Глава 2. Методика использования исторического материала на уроках математики

 

 

2.1. Методика внедрения исторического материала при изучении математики на уроках и внеклассной работе

 

Введение в школьное преподавание математики элементов истории очень важно и с методической стороны.

Среди целей преподавания математики в школе можно выделить одну - формирование у учащихся представлений о математике как части общечеловеческой культуры. На уроках математики учителя  не рассматривают исторические материалы  существенными, не уделяют должного внимания на их применение во время проведения уроков. Но практика  работы многих учителей утверждает, что методически грамотное применение исторических сведений на уроках  помогает достичь повышения качества знаний по предмету.

Объяснение нового учебного материала с применением материалов из истории математики , раскрывает перед детьми значимость математический науки среди других учебных дисциплин, преподаваемых в школе и подтверждает их  взаимосвязь.  Использование на уроках географических карт ( тема: масштаб), литературных произведений, сведений из жизни ученых- математиков, позволяет устанавливать межпредметные связи, которые можно увидеть на каждом уроке. 

Введение элементов из истории математики древности в учебный процесс, дает возможность учителю применять различные подходы в решении тех или иных проблем.  При выяснении истории возникновения того или иного понятия, становится легче его воспринимать, более глубоко изучить и усвоить само понятие.

На уроках по математике наиболее часто применяемые методы по привлечению исторических сведений являются эвристическая беседа, рассказ учителя, сообщения обучающихся,  лекция, проблемное изложение нового материала, исследовательская работа детей.

Немаловажным в этой области , можно считать решение задач различными способами, применяя при этом дедушкин или бабушкин способ решения , ценится даже попытки ошибочного  решения, но ребенок старался, искал новые способы, находил старинные способы решения задач.

Понятие натурального числа, целых неотрицательных чисел и действия над ними являются одним из основных тем курса математики 5 класса.  При изучении натуральных чисел у учащихся должны  быть сформированы знания, которые являются основой работы над арифметическими действиями.

Как отмечает Н.Н.Круликовский,  наиболее эффективным способом применения исторических сведений на уроках математики 5  и последующих классов, является решение задач из старинных сборников задач. Скажем, изучая признаки деления чисел на 2,3,5,10 , детей можно познакомить признаком Паскаля. И подвести их к выводу, оказывается, признаки деления на 2,3,5,10 – это частные способы признака Паскаля.

Согласно Н.Н.Круликовскому, считаем, что ознакомление учащихся с элементами истории математики с целью воспитания должно проходить, прежде всего, на уроках математики. Многолетний опыт исследования данной темы показывает, что освещать историю математики даже в самом кратком виде не предоставляется возможным. Поэтому будем говорить только о сообщении учащимся лишь некоторых сведений из истории науки. Из нестандартных форм сообщения исторических ведений науки математики Н.Я.Виленкин, А.Г.Мерзляк, С.А.Козлова  выделяет уроки истории математики, которые проводятся в конце изучения каждой темы. Материал к этим урокам располагается и  в конце разделов.

В практике учителей наряду с традиционными формами встречаются нетрадиционные, например, в виде выполнения нетрадиционных исследовательских домашних заданий. На время каникул детям можно предложить вспомнить вместе с бабушками и дедушками как в старину называли числа, какие системы счисления существовали ранее. Какие меры длины, массы помнят еще они. У многих детей бабушки и дедушки проживают в сельской местности, где еще помнят про старинные названия чисел, единицы измерений. Устаревшие слова еще встречаются в российской глубинке. Поэтому детям будет достаточно интересно провести такого рода исследования и поделиться своими наработками, свежими впечатлениями на уроках с одноклассниками при изучении соответствующих тем.

Учитель, выступая в роли координатора, помогает выступающему , подбадривает, при необходимости одобряет, задает наводящие вопросы, чтобы учащийся смог полностью реализовать свои способности. Полученные знания о старинных мерах длины, учащиеся могут применять , измеряя размеры классной комнаты, достаточно интересными будут для детей провести измерения локтями, пядями, шагами.

Учителя применяют исторический материал при организации индивидуальной образовательной траектории школьников.

История математики считается действенным инструментом для повышения интереса к математике, развивает эстетический вкус учащихся, прививает им нравственные качества. Настолько справедливы слова Г.В.Лейбница, «кто хочет ограничиться настоящим без знания прошлого, тот никогда его не поймет». И с каждым разом мы еще больше убеждаемся в справедливости великого математика.

Немаловажным является вопрос, насколько гармонично впишутся исторические сведения в материалы современного урока, оснащенного теле-инфо- коммуникациями. И в век глобальной компьютеризации особе место отводится научно- исследовательской деятельности школьников, основанной на навыках самообразования.

Разбирая тему, посвященную системам счисления, учителя находят богатые  иллюстрированные изображения шестидесятеричной системы счисления в Вавилоне.  Практическая ценность самых разных систем, в особенности двоичной и десятеричной системы , раскрывают перед детьми новые отрасли применения систем счисления.

Преподавание математики с ракурса исторических сведений дает учителю возможность не только ознакомить обучающихся с решением старинных задач, но раскрывает перед школьниками характерную эпоху, создавшую данную задачу.

Разберем на примере старинной задачи на смешение веществ.

Задача.

Некто выставляет на продажу два сорта масла: первый сорт за 10 гривен  ведро, другой сорт- за 6 гривен  ведро. Но он решил, смешав эти масла , продать ведро за 7 гривен. Какую часть первого масла и какую часть другого масла должен  он брать . чтобы получить ведро масла стоимостью 7 гривен? 

Решение:

Рассмотрим, как в старину решили эту задачу. Друг под другом напишем стоимости двух сортов масла. Посередине,  слева от этих чисел пишем стоимость масла, которое получиться после смешения. Написанные числа соединяем черточками и получаем картину (внизу):

 

 

Из смешанного масла вычитаем меньшую сумму, и результат пишем справа от большей цены. Из большей цены вычитаем стоимость смешанного масла, и полученное число пишем справа от меньшей цены. Итак, получим:

 

 

Нетрудно догадаться, что для получения масла стоимостью 7 гривен, нужно брать 1 часть масла большей цены, и 3 части масла меньшей цены. Иначе, ¼  ведра дорого масла и ¾ ведра дешевого масла потребуется брать для получения указанного масла.

Такое прекрасное решение задачи, не может не удивить детей, так как оригинальное решение восхищает , заставляет задуматься настолько четко, просто, и гениально рассуждали наши предки.

Знакомство с историческим материалом   пробуждает у школьников интерес к изучаемому материалу, а возникновение интереса служит стимулом  к творческой работе, повышает качество усвоения, развивает познавательную активность при занятиях математикой.

Помимо общих соображений методического характера, обуславливающих необходимость внесения элементов истории в школьное преподавание, исторический материал имеет и большое воспитательное значение.

Воспитывающее значение исторических материалов неоценимо. Изучая исторические факты, обучающиеся сталкиваются с великими личностями, которые в разные эпохи человеческой эволюции беззаветно служили науке, готовы были отдать всю  себя на претворение своих замыслов, идей в жизнь. 

Кроме всего прочего, изучая исторические математические факты и события, обучающиеся устанавливают связь математики с другими науками, расширяется их кругозор, раскрывается возможность для выработки философского подхода  ко всему, что тебя окружает, учит детей критически осмысливать свои действия и поступки, в общем обучающиеся получают мощный импульс для всестороннего развития обучающихся. 

Изучение исторического материала ценно еще тем, что раскрывая сущность возникновения той или иной математической идеи, обучающиеся получают возможность стать первооткрывателями в нераскрывшихся областях, в нерешенных задачах, пробуют делать первые гипотезы, проверяют  их верность в практических лабораторных заданиях под руководством наставника-учителя , получают первый опыт ученого- исследователя.

использование исторический материал познавательный интерес

2.2. Разработка фрагментов уроков математики и внеклассных мероприятий с использованием исторических сведений

 

1) Предмет: интегрированный  урок математики и истории в 5 классе

Тема: Математика - Повторение пройденного. История -  Великие защитники Отечества.

Цели:

1.Развивать умения выполнять арифметические действия с многозначными числами посредством исторического материала.

2. Ознакомить с биографией великой личности  Александра Васильевича Суворова

3.Воспитывать чувства патриотизма, гордость за свой народ.

Фрагмент урока

Знакомство с историческими фактами

*Хотите узнать, сколько отважных сражений прошло под руководством великого полководца А.В.Суворова, тогда сосчитайте, сколько букв  в каждом слове и сложите полученные цифры.  /предлагаются слова/( 8 + 12 +10 + 6 + 20 + 4 = 60)

*Под командованием А.В.Суворова прошло именно 60 сражений, и все они без единого проигрыша. Вот потому его считают Великим и Непобедимым. Из истории вы узнаете о его знаменитом походе через Альпы. 

*Суворов умел проводить свою армию через такие ущелья по навесному мосту и появляется именно там, где неприятель точно не ожидал его увидеть. И каждый его поход увенчался победой. Сражение за сражением, победа за победой. Но однажды полководец сильно простудился, заболел и в возрасте 70 лет умер. Но его имя и его заслуга живет и по сей день, память о нем  и о его замечательных победах нашло свое отражение в книге «Наука побеждать».

*Военные училище , где обучаются военному делу российские ребята, носит его имя. Курсанты с честью и достоинством называют себя суворовцами. Их обучают науке побеждать. Такое первое училище было создано в 1943 году, в годы Великой Отечественной войны, когда как никогда нужны были военные специалисты.

Курсанты  изучают математику, русский и иностранный языки, физику, этику, эстетику и танцы. В последнее время курсантами могут стать и девушки. Все выпускник суворовских училищ получают нагрудные  знаки.

***А теперь задача:

«За 3 года Московское Суворовское училище выпустило 525 офицеров. Сколько офицеров выпустит училище за 10 лет? ( 1 ученик работает у доски)

1) 525 :3 = 175 (о) за 1 год

2) 175 * 10 = 1750 ( о ) за 10 лет

2) Урок математики в 5 классе тема «Доли и дроби».

 

Цель урока: закрепить понятие обыкновенной дроби, научить учащихся называть, записывать и сравнивать доли,  применять исторический материал для воспитания интереса к предмету

 

Фрагмент урока.

Знакомство с историей дробей начнем, заглядывая в далекое прошлое, в историю математики

Долгое время  многие народы называли дробь ломаным числом. Еще на ранней ступени человеческой эволюции  возникла необходимость в дробях. Древним людям нужны было решать практические задачи: как разделить тушку мяса какого –либо дичи между племенами, разделить большое количество плодов между сородичами. Поэтому появилась первая дробь, называемая половиной. Люди понимали ее таким образом, чтобы найти половину, нужно одну единицу разломить на две равные половинки. Отсюда и пошло первое название дробей, как ломаные числа, в последствие их стали называть дробями.

Европейский ученый, итальянский купец, и путешественник Фибоначчи Леонардо Пизанский  впервые начал использовать современную запись дробей. А в 1202 году он их назвал словом «дробь».

Как же появились дроби в Древнем Египте? Так и же у египтян первая дробь оказалась половина. После нее последовали четвертинка 1/4, восьмая часть 1/8, шестнадцатая часть 1/16 и т.д. Далее стали применять дроби1/3,1/6, …, т.е. эти дроби –доли целого, называемые основными- единичными.

В записях древних египтян можно встретить представление любой дроби как сумму единичных дробей.

Письма свои египтяне оставляли на папирусах, свитках, которые были изготовлены из стебля тропических растений. Существенным по своему содержанию остается папирус Ахмеса, назвали его так по имени одного древнеегипетского писца.  Он хранится в Британском музее, в Лондоне. Старинный документ  так и называется : «Способы, помогающие понять всех темных вещей, всех неразгаданных тайн, которые заключаются в вещах».

В папирусе содержатся более 84 практических задач. Решение их сопровождается с выполнением действий над дробями, нахождением площади прямоугольника, вычислением соотношения между количеством зерен и выпекаемых хлеба и пива.

Но решение не подчиняется никаким правилам, так как их попросту нет. И теоретических обоснований   по данному поводу также отсутствуют.  

3) Тема: “Чтение многозначных чисел»

Цели : обучить чтению многозначных чисел, совершенствовать устные и письменные вычислительные навыки.

Фрагмент урока. Исторический экскурс в мир чисел

В записи чисел наших предков использовалась алфавитная нумерация, т.е. буквами изображали  числа, над которыми ставится значок – называемый «титло». Чтобы отделить такие буквы – числа от текста, спереди и сзади ставились точки.

Такой способ обозначения цифр называют цифирью, которого заимствовали у византийцев славяне. Использовались обозначение цифрами таких букв, для которых есть соответствия в греческом алфавите.

Большие числа обозначаются оригинальным способом. Например: десять тысяч – тьма, десять тем – легион, десять легионов – леорд, десять леордов – ворон, десять воронов – колода.

Обратимся в учебник. Внимательно читаем  предложенное  задание. Необходимо прочитать , данные задания с применением старинного славянского способа чтения чисел.

Как вы думаете, что нам нужно сделать?

8 000 + 342

31000+78

605000+506

500000+270

40000+1000+24

70000+6000+5

4) Тема занятия: История возникновения чисел

Цель: ознакомить обучающихся с возникновением чисел, когда оно произошло, как называются  и записываются  числа в различных странах.

Задачи урока:

- развивать интерес учащихся к истории чисел, расширить кругозор детей

- развивать внимание, логическое мышление, память, любознательность

- воспитывать толерантность, сотрудничество

Фрагмент внеклассного мероприятия  «Арифметика каменного века»

Ребята, скажите,  пожалуйста, кто придумал числа? Для чего? И какие действия с ними он производил? 

Да, конечно, не мог придумать один только человек числа и действия над ними. Произошло это в далекие от нас времена. Людям в повседневной жизни пригодились арифметические знания: чтобы поделить мясо после охоты между племенами, чтобы определить, когда посеять семена, когда поливать, когда ждать потомство домашних животных, надо было знать, сколько мешков зерна необходимо для посева, сколько отложить для хранения в амбары, сколько овец в стаде и многое другое.  

Полагается , что первые числа возникли у древних пастухов, которые стали делать по одному кружочку из глины на каждого овца. За целый день пастух должен быть следить за здоровьем и поголовьем овец, а вечером  пригоняя их в загон, он откладывал глиняные кружки с одного места в другое, из расчета- одна овца- один кружок. Только после такого отсчета количества овец. Он спокойно уходил отдыхать.

Стадо состояло не только из овец, были и коровы, козы, ослы. Поэтому пастух лепил для каждого животного разные глиняные фигуры. Такой же учет  проводили собранного урожая и земледельцы, при этом они стали уже использовать для подсчета различные камушки, зарубки, придумывали новые более рациональные способы учета своей продукции.

5) Внеклассное мероприятие «О числах всех и все»

Цель: ознакомиться  учащихся с старинными методами счета чисел.

Фрагмент занятия. « Числа начинают получать имена»

 Ребята, продолжаем изучать историю возникновения чисел. Тяжело было вести учет чего- либо с перекладыванием каких- то было камушек, глиняных фигур, это довольно утомительное занятие. Тем не менее, прошло много тысячелетий, прежде чем люди научились считать. Для этого им пришлось придумать названия для чисел.

Счет по пальцам

Первые подсчет без камушек началось  с пальцев. Действительно. Вести счет большого количества зерна какими-то фигурками, стало нереальным. И стада становились более многочисленными,  жизнь сама требовала иметь более совершенный инструмент для счета. Нужно было нечто такое, с помощью которого можно было бы считать большое количество и зерен и животных в стаде и вообще в повседневной жизни вести определенные действия.

-Попробуйте сказать слово «100» , пользуясь папуасскими названиями чисел «урапун» и «окоза».

-Сколько раз придется повторить слово «окоза»

-два?

-50 раз.

Тут был необходим совершенно другой подход. И старые методы счета вытеснил новый метод – счет пальцами. Пальцы оказались прекрасной вычислительной машиной. С их помощью можно было сосчитать до пяти, а если взять две руки, то и до 10. Затем люди сделали следующий шаг вперед и научились считать десятками. Правда, для этого пришлось приглашать сразу много счетчиков.

 Привожу пример со знаменитым русским исследователем Новой Гвинеи Миклухо-Маклаем, который должен был однажды объяснить папуасам ,через сколько дней вернется к ним корабль « Витязь». Для этого он нарезал  кусочки бумаги, а папуасы должны были их сосчитать.

Учитель рассказывает, как это делали папуасы, а дети показывают.

6) Внеклассное мероприятие « Экскурсия в историю чисел»

Цель: ознакомить обучающихся, как впервые появились цифры.

Долгое время после того, как появились названия чисел, люди их не записывали.

- Как вы думаете, ребята, почему? Причина для этого была самая уважительная – Они не умели писать. Зарубки на дереве или на кости, узелки на веревке, рисунки на мягкой глине обозначали не числа, предметы- головы скота, мешки с зерном, кувшины масла. Их приходилось изображать столько же, сколько было предметов. С возникновением государств, старые методы обозначения чисел стали не выгодными. Для записи больших чисел нельзя уже было обойтись ни зарубками на бирках, ни узелками, ни глиняными фигурками.

 И вот, примерно 5 тыс. лет назад, почти одновременно в разных странах- Вавилоне, Египте, Китае родился новый способ записи.

  А какой, мы узнаем после небольшой игры с вами. Игра  с цифрами.

Неизвестно, что случилось

Только цифры заблудились.

Раз, два, три, четыре, пять

Начинаем их искать.

 

 

 

 

(за каждую найденную цифру 1 балл)

Итак, какие цифры вы нашли: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

7) ИГРЫ С ЦИФРАМИ

«Остров Ребусов»

Р1а,  с3ж, по2л,  ви3на

(За каждый разгаданный ребус – 1 балл)

Игра «Кто самый внимательный»

На стул кладется пакет с призом. Вокруг стула участники конкурса. Ведущий читает стихотворение "Раз, два, три!". Те, кто пытается схватить приз не своевременно, выбывают из конкурса.

Расскажу я вам рассказ
В полтора десятка фраз.
Лишь скажу я слово "три"
Приз немедленно бери!

Однажды щуку мы поймали,
Распотрошили, а внутри
Рыбешек мелких насчитали
И не одну, а целых ДВЕ.
Мечтает мальчик закаленный
Стать олимпийским чемпионом.
Смотри, на старте не хитри,
А жди команду раз, два, СЕМЬ.
Когда стихи запомнить хочешь,
Их не зубри до поздней ночи,
А про себя их повтори.
Разок, другой, а лучше ПЯТЬ!
Недавно поезд на вокзале
Мне ТРИ часа пришлось прождать.
Но что ж вы приз, друзья, не брали,
Когда была возможность взять?

 «Остров геометрических фигур».

Сценка стихотворения Е. Паина « Треугольник и квадрат»

Жили-были два брата:
Треугольник с Квадратом.
Старший — квадратный,
Добродушный, приятный.
Младший — треугольный,
Вечно недовольный.
Стал расспрашивать Квадрат:
«Почему ты злишься, брат?»
Тот кричит ему:
«Смотри,
Ты полней меня и шире.
У меня углов лишь три,
У тебя же их четыре!»
Но Квадрат ответил:
«Брат!
Я же старше, я — квадрат».
И сказал еще нежней:
«Неизвестно, кто нужней!»
Но настала ночь, и к брату,
Натыкаясь на столы,
Младший лезет воровато,
Срезать старшему углы.

Уходя сказал: «Приятных
Я тебе желаю снов!
Спать ложился— был квадратным,
А проснешься без углов!»
Но на утро младший брат
Страшной мести был не рад.
Поглядел он — нет Квадрата.
Онемел... стоял без слов...
Вот так месть! Теперь у брата
Восемь новеньких углов!

 

«Цифровой человечек»

- А мы приплыли к острову «Цифрового человечка»

Конкурс «Озорной художник» Чья команда, используя больше разных цифр, нарисует цифрового человечка»

Физминутка.

Ветер сильно вдруг подул (руки вверх и наклоны в сторону)
Волны высоко взметнули (руки сцепить в замок и выполнять волнообразные движения)
Наш кораблик накренился (наклоны вперед назад)
И к Земле поторопился (бег на месте)
Мы на сушу все сойдем (ходьба)
С облегчением вздохнем (вдох, выдох).

остров «Неделька»

Что за птицы пролетают? 
По семерке в каждой стае. 
Вереницею летят, 
Не воротятся назад.  ( Дни недели)

Игра «Неделька, стройся»

Ученикам раздаются карточки с названиями дней недели. По команде «Неделька, стройся» дети должны быстро построиться по порядку, начиная с понедельника.

 

                                                                              

                                                                      

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

 

Итак, при написании выпускной квалификационной работы были решены поставленные задачи:

1) Изучить  роль исторического материала на уроках математики;

2) Анализировать учебные и методические пособия 5 класса;

3) Разработать методику внедрения исторического материала ;

4) Разработать фрагменты уроков математики и внеклассных мероприятий с использованием исторических сведений о системах счислений.

Показано, что в настоящее время к математическому образованию предъявляются несколько иные требования, чем прежде. В соответствии с ФГОС школьники по итогам обучения должны демонстрировать предметные, личностные и метапредметные результаты. Высокое качество данных результатов позволяет констатировать достижение определённого уровня культуры, одним из средств повышения которой является использование исторического материала в обучении.

Включение элементов историзма в урочную и внеурочную деятельность школьников способствует:

 – воспитанию интереса к математике;

 – освоению универсальных учебных действий, получению более полного знания в рамках предмета математики;

– формированию предпосылок научного мировоззрения;

 – обеспечению более полноценного усвоения математической терминологии;

 – ценностному отношению к математическим знаниям через примеры из истории математики;

– нравственно-патриотическому воспитанию на примерах личностей учёных-математиков, на примерах фактов из истории нашей страны и мировой истории при решении текстовых задач с историческим содержанием.

В рамках данного исследования были разработаны рекомендации для учителей по включению исторического материала в математическое образование:

 – систематическая, последовательная работа над познавательными заданиями историко-математического характера;

 – максимальное приближение заданий к потребностям интеллектуального развития и осознание учащимися роли и значения историко-математических заданий;

– при изучении исторического материала лучше использован проблемный подход, т.е. с помощью исторической информации на уроке математики, учитель может предоставить учащимся возможность самостоятельно формулировать теоремы, искать доказательства рассматриваемых учениками вопросов;

 – на уроках математики в начальной школе исторический материал успешно применяется в проектной деятельности детей и активизирует творческую деятельность учащихся.

Мы пришли к заключению, что исторический материал имеет огромный потенциал для достижения школьниками личностных образовательных результатов. Знакомство с жизнью учёных-математиков и систематическое включение исторических экскурсов, путешествий в прошлое математики, кратких рассказов, наглядного показа древних предметов для измерения и счёта вызывают живой интерес к обучению, создают предпосылки к формированию общекультурной компетентности, научного мировоззрения, повышают ценностное отношение детей к изучаемому материалу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

1. Александрова Э.И. Психолого-педагогические основы построения учебного предмета «Математика» для начальных классов./Александрова Э.И.- M.: Вита-Пресс, 2012.

2. Баврин  И.И. Занимательные задачи по математике/Баврин И.И.- М, 2009.

3. Бантова  Н.А.Методика преподавания математики в начальных классах: Учебное пособие для учащихся школ. отделений пед.училищ - 3 изд., испр. - М.: Просвещение, 2014. - 335с.

4.  Бобынин, В.В. Происхождение, развитие и современное состояние истории математики / В.В. Бобынин. - М.: ЁЁ Медиа, 2005. - 721 c.

5. Глейзер Г.И. История математики в школе/Пособие для учителя.- М.Просвещение, - 2011,-237с.

6. Груденов  Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике/Груденов Я.И.- М.: Педагогика, 2017.

7. Депнан  И.Я. История арифметики./ Депнан И.Я.- М, 2015.

8. Ефимов В.Ф.  Использование исторических сведений на уроках математики // Начальная школа. – 2004. – № 6. – С. 74-80.-

9. Леман И. И.Увлекательная математика./Леман И.И. - М., 2015.

   10. Медникова Н.А. Использование исторических сведений на уроках  математики // Начальная школа. – 2009. – № 5. – С. 50-54.

11. Немов Р.С. Общая психология./Немов Р.С.- М.: Владос, 2011.

12. Нестеренко Ю.В/.Cтаринные занимательные задачи./ - 2-е изд., испр./ 2008. - 160 с.

13. Полякова Т.С. Зарождение отечественной методики математики на рубеже XVIII-XIX вв. 2010.- № 9.- С. 15-16.

14. Сендер А. Н. Исторический материал на уроках в начальной школе/Сендер А.Н. - Минск , 2010 - 144 с.

15. Сухин И.Г. Занимательные материалы: начальная школа/Сухин И.Г. - М.: ВАКО, 2004. - 240 с.

16. Талызина, Н.Ф. Формирование познавательной деятельности учащихся / М.: Просвещение, 2013.

 

 

 

Скачано с www.znanio.ru