Методика работы над простыми задачами на движение

6. Методика работы над простыми задачами на движение.  Задачи, связанные с движением, рассматриваемые в начальных классах, включают в  себя описание процесса движения одного или двух тел. Эти задачи по существу  математических зависимостей между величинами, входящими в задачу, структуре и их  моделей нельзя отнести к особому виду задач. В качестве примера рассмотрим пару  задач и их решения: 1.А) Из двух городов, находящихся на расстоянии 280 км, выехали одновременно две  машины. Через сколько часов машины встретятся, если скорость первой машины 60  км/ч, второй – 80 км/ч. Б) Двум мастерам нужно изготовить 280 одинак4овых деталей. За сколько часов они  могут это сделать вместе, если первый за 1 ч изготавливает 60 деталей, а второй 80  деталей? Приведем арифметические и алгебраические способы решения этой пары задач:                280:(80+60) =2                     (80+60)*х=240 2.А) За 6 часов рабочий изготовил 120 одинаковых деталей. Сколько деталей он  изготовит за 3 часа? Б) Пароход прошел 120 км за 6 ч. Сколько километров он пройдет за 3 ч, если будет  идти с той же скоростью? Эту пару задач можно решить тремя способами: 1­й способ                   2­й способ                   3­й способ 1) 120:6=20                  1)6:3=2                        6ч=380 мин 2) 20*3=60                   2) 120:2=60                 3ч=180мин                                                                           1)360:120=3                                                                           2)180:3=60 Как видим, структура, модели и способы решения как арифметические, так и  алгебраические полностью совпадают. Но задачи, связанные с движением,  традиционно выделяют в особый тип, так как эти задачи имеют свою особенность.  Особенность состоит в том, что они построены на основе функциональной зависимости  между величинами: скоростью, временем и расстоянием. Подготовительная работа к решению задач, связанных с движением, предусматривает:  обобщение представлений детей о движении, знакомство с новой величиной –  скоростью, раскрытие связей между величинами: скорость, время, расстояние. С целью обобщения представлений детей о движении полезно провести специальную  экскурсию по наблюдению за движением транспорта, после чего провести наблюдение в условиях класса, где движение будут демонстрировать сами дети. На экскурсии и во  время работы в классе пронаблюдать за движением одного тела и двух тел  относительно друг друга. Так, одно тело (машина, человек, и т.п.) может двигаться  быстрее и медленнее, может остановиться, может двигаться по прямой или кривой. Два тела могут двигаться в одном направлении, а могут двигаться в противоположных  направлениях: либо приближаться друг к другу (двигаясь на встречу одно к другому),  либо удаляясь одно от другого. Наблюдая указанные ситуации в условиях класса, надо  показать детям, как выполняются чертежи: расстояние принято обозначать отрезком;  место (пункт) отправления, встречи, прибытия и т.п. обозначают либо черточкой, либо  флажком; направление движения указывают стрелкой.При ознакомлении со скоростью целесообразно так организовать работу, чтобы  учащиеся нашли скорость своего движения пешком. Для этого можно начертить во  дворе, в спортзале или коридоре «замкнутую дорожку». На дорожке надо отметить  расстояние по 10 м, чтобы удобнее было находить, какой путь прошел каждый ученик.  Учитель предлагает идти по дорожке, например, в течение 4 мин. Учащиеся сами легко  найдут по десятиметровым отметкам пройденное расстояние. На уроке каждый из  детей может вычислить, какое расстояние он проходит за 1 мин. Учитель сообщает, что расстояние, которое прошел ученик за минуту, называют его скоростью. Ученики  называют свои скорости. Затем учитель называет скорости некоторых видов  транспорта. Раскрытие связей между величинами: скорость – время – расстояние ведется по такой  же методике, как и раскрытие связей между другими пропорциональными величинами.  В результате решения соответствующих простых задач ученики должны усвоить такие  связи: если известны расстояние (S) и время (t) движения, то можно найти скорость (v)  действием деления; v=S:t если известны скорость (v) и время (t) движения, то можно найти расстояние  (S)действием умножения; S=v*t если известны расстояние (S) и скорость (v), то можно найти время (t) движения  действием деления    t=S:t. Далее, опираясь на эти знания, дети будут решать составные задачи, в том числе и  задачи на нахождение четвертого пропорционального, на пропорциональное деление, на нахождение неизвестных по двум разностям с величинами: скорость, время,  расстояние. При работе над этими задачами надо чаще использовать иллюстрации в  виде чертежа, так как чертеж помогает правильно представить жизненную задачу,  отраженную в задаче. Так же, как и при решении задач других видов, следует включать упражнения  творческого характера на преобразование и составление задач. Среди составных задач особое внимание должно быть уделено задачам на встречное  движение и в противоположных направлениях. Содержание этих задач включает  новый элемент: здесь представлено совместное движение двух тел, что требует  специального рассмотрения. До введения задач на встречное движение важно  провести соответствующую подготовительную работу. Надо познакомить с движением  двух тел навстречу друг другу. Такое движение могут продемонстрировать в классе  вызванные ученики. Например, два ученика­пешехода начинают двигаться  одновременно от двух противоположных стен навстречу друг другу, а при встрече  останавливаются. Ученики наблюдают, что расстояние между пешеходами все время  уменьшалось, что, встретившись, они прошли все расстояние от стены до стены, и что  каждый затратил на движение до встречи одинаковое время. Под руководством  учителя выполняется чертеж. Можно провести наблюдение на улице за движением  автомашин, пешеходов, велосипедистов и т.п. Расширить представления учащихся о  встречном движении можно попутно с решением задач из учебника. С помощью  упражнений надо выяснить, что значит 'вышли одновременно' пешеходы, автомашины и  т. п. и что при этом они были в пути до встречи одинаковое время. Необходимо также,  чтобы ученики твердо усвоили связь между величинами: скоростью, временем ирасстоянием при равномерном движении, т. е. умели решать соответствующие простые  задачи. При ознакомлении с решением задач на встречное движение можно на одном  уроке ввести три взаимно обратные задачи. Сначала предложить задачу на нахождение  расстояния, которое пройдут до встречи при одновременном выходе пешеходы,  велосипедисты, поезда и т. п., если известны скорость каждого и время движения до  встречи.  Ознакомление с задачами на движение в противоположных направлениях может  быть проведено аналогично введению задач на встречное движение. Проводя  подготовительную работу, надо, чтобы ученики пронаблюдали движение двух тел  (пешеходов, автомашин и т. п.) при одновременном их выходе из одного пункта.  Ученики должны заметить, что при таком движении расстояние между движущимися  телами увеличивается. При этом надо показать, как выполняется чертеж. При  ознакомлении с решением задач этого вида тоже можно на одном уроке решить три  взаимно обратные задачи, после чего выполнить сначала сравнение задач, а затем их  решении. На этапе закрепления умения решать такие задачи ученики выполняют  различные упражнения, как и в других случаях, в том числе проводят сравнение  соответствующих задач на встречное движение и движение в противоположных  направлениях, а также сравнение решений этих задач. На этом этапе эффективны  упражнения на составление различных задач на движение по данным в таблице  значениям величин и соответствующим выражениям. Таким образом, специфика этих задач обуславливается введением такой величины, как  скорость движения, а также использованием при их решении схем, которые отражают  не отношения между величинами, а процесс движения и во многом облегчают поиск  решения. 7. БОЛЕЕ МЕНЕЕ ПОДХОДИТ) Цель урока: подготовить к введению понятия «обратная задача», закрепить умение  решать задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц; повторить и  закрепить ранее пройденный материал; развитие математического мышления. Ход урока 1.Устный счет. Знакомство с обратными задачами. (КРОМЕ УРОКА НИЧЕГО НЕТ  На доске можно расположить опорные схемы задач на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц. Саша поймал 5 окуней, а карасей ­ на 4 больше. Сколько карасей поймал Саша? У рака 10 ног, а у пчелки ­ на 4 лапки меньше. Сколько лапок у пчелки? У паука 8 ног, а у рака ­ на 2 больше. Сколько ног у рака?В первом классе 8 человек занимаются музыкой, а во втором ­ на 2 человека больше. Сколько детей 2 класса занимается музыкой? У Бауржана 9 марок, а у Азизы ­ на 3 марки меньше. Сколько марок у Азизы? В первый день Дания прочитала 4 страницы, а во второй ­ на 3 страницы больше. Сколько страниц прочитала Дания во второй день? Оле 4 года, Алие 3 года. А Наташе столько лет, сколько Оле и Алие вместе. Сколько лет Наташе? У кошки 3 белых и столько же серых котят. Сколько всего котят у кошки? На березе сидели 4 вороны. Прилетели еще 2. Сколько ворон стало на березе? У Антона было 5 карамелек и столько же шоколадных конфет. Сколько всего конфет было у Антона? На цветке сидели 2 пчелы. 1 пчела улетела. Сколько пчел осталось на цветке? На пруду плавали 5 уток. 1 вышла из пруда. Сколько уток осталось? На лугу паслись 10 овец. 3 овцы загнали в сарай. Сколько овец осталось на лугу? 2.Актуализация опорных знаний.  Если число 6 на 2 больше числа 4, то число 4 на 2 меньше, чем число Карточка с цифрой 4 ­ дети выкладывают на партах 4 треугольника. Далее учитель просит выложить кругов на 3 больше. После нескольких таких упражнений следует обратить   внимание   детей   на   то,   что   если   кругов   на   3   больше,   то   треугольников, соответственно, на 3 меньше. 3.Работа над новым материалом. Задачи 1. Детям предлагается сравнить условия задач, решения и ответы. Эти задачи являются взаимосвязанными, в этих задачах говорится об одних и тех же предметах, только известное и неизвестное поменяли местами. 4.Работа над изученным материалом. Самостоятельная   работа   Задание   2.   При   выполнении   задания   учитель   объясняет детям,   что   на   основе   рисунков   надо составить   четверки   примеров   на   сложение   и вычитание. Это задание записывается в тетради и комментируется. Например, 5 домбр и 3 кобыза. Всего инструментов ­ 8. Если убрать кобызы (закрываем пальчиком), то останется 5 домбр и т. д. Задание3. 3 ­ составление равенств и неравенств ­ имеет много вариантов решений и выполняется полностью или частично в тетради. Самостоятельная работа. Задание 4 поможет закрепить таблицу вычитания. 5. Работа по методической теме. Найди в каждой группе пару предметов и соедини их линией.   8. Знакомство с взаимообратными задачами. Система взаимообратных задач.На мой взгляд, самое трудное в начальной школе – научить ребенка грамотно писать, а  самое трудное в математике – научить решать задачи. В процессе работы мне хотелось повысить процент способных детей и уменьшить  процент слабых. Кроме того, в своей работе я стремлюсь к тому, чтобы как можно больший процент  детей имел качественный показатель знаний по математике. Далее я опишу, как я  этого добиваюсь и каковы результаты молей работы. Я ознакомилась с мнением различных ученых­методистов (смотреть список  литературы) по вопросу классификации задач и решению взаимно обратных задач, как  по традиционной, так и по развивающей методике. Работа со взаимно обратными задачами просматривается у Аритской Н.И., у  Свечникова А.А., но у Аритской И.И. нет четкой классификации задач, также, как у  Истоминой Н.Б. Классификация сложных задач в принципе сходна у Эрдниева П.М., Свечникова А.А.,  Баитовой М.А. но простые задачи Свечников А.А. и Баитова М.А. классифицируют  несколько иначе, чем Эрдниев П.М. За основу я взяла работу над задачами по Эрдниеву П.М., так как на сегодняшний день  более четкой классификации задач и методики работы над взаимно обратными  задачами я пока не вижу. Следует отметить существенно важные дидактические достоинства метода обратных  задач. Во время преобразования задачи учащийся выявляет и использует взаимно обратные  связи между величинами задачи: Прямая задача Ц. К. С. 30 р.6 к. ? р. Обратная задача Ц. К. С. 30 р.? к.180 р.Во время преобразования учащийся практически познает связи между действиями.  Полезно, например, обратить внимание учащихся на то, что количество действий при  решении прямой и обратной задач совпадает (это правило нарушается крайне редко).  Кроме того, полезно знать учащимся следующее явление: каждому действию прямой  задачи соответствует действие той же ступени в обратной задаче. Количество комбинаций при составлении обратной задачи ограниченно: оно равно  количеству данных в задаче. Решая обратную задачу, учащийся перестраивает суждения и умозаключения,  использованные при решении прямой задачи, преодолевая при этом в мышлении  инерцию действий, выполненных при решении прямой задачи. Решение обратной задачи представляет проверку решения прямой задачи, то есть при  этом возникают благоприятные условия для потоков информации по целям обратных  связей в мыслительных процессах (систематическое сочетание прямых и обратных  задач вырабатывает важное качество личности – чувство самоконтроля). Учащиеся, составляя обратные задачи, знакомятся со значительно большим  разнообразием задач, чем в традиционных задачниках. При составлении и решении обратных задач выдвигается на первый план анализ и  видоизменение математических зависимостей. Итак, для развития мышления ценны не столько прямые и обратные задачи, взятые вне  времени сами по себе, а наиболее важный познавательный элемент заключается в  процессе преобразования одной задачи в другую, в сравнении условий, решений,  ответов задач, то есть тех “невидимых”, трудно уловимых и трудно изобразимых при  логическом анализе элементов мысли, которые связывают решения обеих задач  (прямой и обратной). Однако нельзя забывать, что переходы эти осуществляются во времени: чем меньше  интервал времени между противоположными процессами решения взаимно обратных  задач, тем быстрее и чаще будут совершаться эти переходы и тем прочнее будут  сохраняться в памяти следы этих переходов, то есть тем более глубокими и  основательными окажутся осваиваемые знания. 9. Методика работы над задачами, связанными с пропорциональными  величинами: на нахождение четвертого пропорционального. Методика работы над задачами на нахождение четвертого пропорционального. 1. Структура задач ­даны три величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью; ­одна величина постоянная (ее значение не меняется), две­переменные; ­даны два значения одной переменной величины и одно из соответствующих значений другой; ­второе значение этой величины является искомым. 2.Классификация задач. (См. табл. 1 на примере задач с величинами: цена, количество, стоимость) 3.Способы решения задач.Каждую   из   задач,   представленных   в  таблице,   можно   решить способом нахождения значения   постоянной   величины (названия   способов   детям   не   сообщается   ). Вначальных классах преимущественно используется этот способ. Например, рассмотрим решение задачи 1: За два кг моркови уплатили 30 руб. Сколько надо уплатить за 6 кг моркови? Решение: 1) 30 : 2= 15 (руб.)­цена моркови.(значение постоянной) 2)15*6=90(руб.) Ответ: 90 руб. надо уплатить за 6 кг моркови.       Для задач 1 и 2 видов этот способ называется также способом приведения к  единице.        С целью подготовки детей к усвоению в курсе основной школы( 5­9  кл.)функциональной зависимости необходимо познакомить младших школьников со  способом решения, основанном на понятиях прямой и обратной пропорциональной  зависимости.       Делая прикидку результата, выясняем, какое число получится в результате  решения: больше или меньше какого­либо из данных чисел(за 6 кг уплатили больше или меньше, чем за 2кг?), уточняем почему, используя наглядные пособия, узнаем, что  количество моркови увеличилось в 3 раза и, следовательно, денег потребуется также в  3 раза больше. Решение: 1)6:2=3­в 3 раза стало моркови больше. 2)30*3=90(руб.) Ответ: 90 руб. надо уплатить за 6 кг моркови. 4.Организация подготовительной работы.          Для   введения   задач   на нахождение   четвертого   пропорционального   необходимо познакомить детей с величинамицена, количество, стоимость и связями между ними. Например, можно на уроке провести игру в «магазин»: На доске товары, к которым прикреплены этикетки с указанием цены У: Сегодня будем играть в «магазин» и решать задачи про покупки.       Что продается в магазине? (Называют)       На вещах обозначена цена. Назовите цену тетради, блокнота, …       Что показывает цена?        Сколько стоит 1 тетрадь, 1 блокнот?          Купили   3   тетради.   Что   означает   число   3?   (Сколько   купили   тетрадей)   Иначе говорят,                 число тетрадей иликоличество тетрадей.      Купили 4 блокнота. Что обозначает число 4? К доске прикрепляют 4 блокнота, под каждым записана цена «10 руб.» У: Сколько денег надо уплатить за 4 блокнота?(40 руб.) Как вы узнали?(10*4=40)      Почему умножали? 40руб.­это стоимость блокнота. На доске запись: Цена                  Количество                  Стоимость 10 руб.               4 блокнота                          ?У: Что известно в этой задаче? Что нужно найти? Каким действием находили?         Далее начинается игра: один ученик становится продавцом, остальные  покупателями. Покупатели  покупают несколько вещей. Одновременно составляются и решаются задачи про эти покупки, причем каждый раз устанавливается связь: известны  цена и количество, находим стоимость умножением.         Аналогично ведется работа по ознакомлению с величинами других групп. При  этом на этапе ознакомления со связями между ними важно выполнять предметные  иллюстрации (например, изобразить 3 пакета, под каждым написано «2 кг»), а при  выборе арифметического действия сначала опираться на конкретный смысл  арифметических действий (например, в 1­м пакете­2 кг муки, во 2­м ­2 кг и в 3­м ­2 кг;  по 2 взяли 3 раза, надо 2 умножить на  3), после чего формулируется вывод (чтобы  найти общую массу пакетов надо массу одного пакета умножить на их количество).             Одновременно с работой по закреплению знаний о связях между величинами  следует наблюдать за изменением одной величины в зависимости от изменения другой  при неизменной третьей Например, решаем ряд односюжетных задач: «Блокнот стоит  10 руб. Сколько будут стоить 2 блокнота, 3 блокнота, 4 блокнота, 12 блокнотов, 15  блокнотов?» Решение записываем в таблице: Цена блокнота Число блокнотов Стоимость блокнотов 5 2 10 5 3 15 5 4 20 5 12 60 15 75          Прослеживая изменение величин, дети устанавливают: при увеличении числа  блокнотов, их стоимость увеличивается, при уменьшении количества стоимость  уменьшается.           Аналогично можно пронаблюдать и другие зависимости. 5.Ознакомление с решением задач.            Первыми рассматриваем задачи с величинами: цена, количество, стоимость, т. к.  дети имеют больший опыт оперировать этими величинами, причем сначала включаем  задачи 1­го вида (см. табл. 1).          Сначала задачи иллюстрируем рисунком и выполняем краткую запись в таблице: Цена Одинаковая Количество 6 тетрадей 3 тетради Стоимость 12 руб. ?        При анализе условия дети объясняют, что показывает каждое число, что требуется  найти, что необходимо узнать, чтобы ответить на вопрос .        Проверка выполняется способом составления и решения обратных задач. 6.Закрепление умения решать задачи.        После решения нескольких задач 1­го вида с величинами цена, количество,  стоимость вводятся задачи этого же вида с другими величинами, а затем предлагаются  задачи других видов Выполняются упражнения творческого характера по сравнению  нескольких задач одного вида, различных видов, по составлению задач. 10. Методика работы над задачами, связанными с пропорциональными  величинами: на пропорциональное деление.Методика работы над задачами на пропорциональное деление. 1.Структура задач ­даны две переменные величины, связанные прямо или обратно пропорциональной  зависимостью и одна постоянная; ­даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений  другой переменной; ­слагаемые этой суммы являются искомыми. 2.Классификация задач.      В начальной школе решаются задачи только с прямо пропорциональной  зависимостью величин. Эти задачи представлены в таблице 2 3.Способы решения задач. В начальных классах задачи на пропорциональное деление решаются только способом нахождения значения постоянной величины 4.Организация подготовительной работы. Подготовкой к решению задач на пропорциональное деление является твердое умение  решать задачи на нахождение четвертого пропорционального. 5.Ознакомление с решением задач.           Начинаем работу с решения задачи на нахождение четвертого пропорционального.  Это поможет детям увидеть связь между задачами этих видов, что позволит обобщить  способы их решения. Цена Одинаковая Количество 6 тетрадей 4 тетради Стоимость 18 руб. ?         Предлагаем детям составить задачу по краткой записи:         После ее решения учитель записывает вместо вопросительного знака число, полученное в ответе (12 руб.) Затем он предлагает найти стоимость всех тетрадей (30 руб.), и  составить задачу по новому условию: Цена Одинаковая Количество 6 тетрадей 4 тетради Стоимость ?                               30 руб. ? Дети составляют задачу на пропорциональное деление, ставя два вопроса: «Сколько  уплатил первый покупатель?» и «Сколько уплатил второй  покупатель?» учитель  поясняет , что эти два вопроса можно заменить одним: «Сколько денег уплатил каждый покупатель?» Задача формулируется в окончательном виде. У: ­ Что требуется узнать в задаче?      ­Что значит «каждый»?      ­ Можно ли сразу узнать, сколько уплатил первый мальчик?     ­  Почему нельзя?      ­ Можно ли сразу узнать цену тетради?        ­Почему нельзя?       ­Можно ли сразу узнать, сколько купили тетрадей на 30 руб.?­Почему можно?       ­Что узнаем первым действием; вторым; третьим; четвертым?       Далее решаются готовые задачи. При этом надо сначала расчленить вопрос задачи  на два вопроса; выяснить, которое из искомых чисел должно быть больше и почему. Затем переходят к составлению  плана решения, ведя рассуждение от вопроса к  числовым  данным.       Проверка решения выполняется установлением соответствия между числами,  полученными в ответе, и данными: надо сложить числа, полученные в ответе, и должно  получиться число, данное в задаче.    6.Закрепление умения решать задачи. Для  обобщения способа решения предлагаются задачи 1­го вида с другими группами  величин, затем вводятся задачи 2­го вида и несколько позднее 3­го и 4­го видов. Методика работы над задачами на нахождение неизвестных по двум  разностям. 1.Структура задач ­даны две переменные и одна постоянная величина; ­даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой  переменной; ­сами значения этой переменной являются искомыми. 2.Классификация задач.      В начальной школе решаются задачи только двух видов. Эти задачи представлены в  таблице 3. 3.Способы решения задач. В   начальных   классах   эти   задачи   решаются   только способом нахождения значения постоянной величины 4.Организация подготовительной работы. Подготовкой к решению задач этого типа  предлагают задачи­вопросы и простые  задачи, которые помогут детям уяснить соответствие между двумя разностями.  Например: 1)Сестра купила 5 одинаковых тетрадей, а брат 8 таких же тетрадей. Кто из них  уплатил больше денег? Почему? За сколько тетрадей брат уплатит столько же денег,  сколько уплатила сестра? 2)Брат и сестра купили тетради по одинаковой цене. Брат купил на 3 тетради больше,  чем сестра, и уплатил на 9 руб. больше, чем сестра. Сколько стоила одна тетрадь? 5.Ознакомление с решением задач.   Методика  работы по ознакомлению с задачами на нахождение неизвестных по двум  разностям аналогична методике введения задач на пропорциональное деление: сначала  предлагается задача не в готовом виде, а составляется из задачи на нахождение  четвертого пропорционального, затем включают готовые задачи. Рассмотрим это на конкретном примере. Детям предлагается составить задачу по ее краткой записи: Цена Одинаковая Количество I­6 м Стоимость 180 руб.II­4 м ? После ее решения в краткую запись подставляется число, полученное в ответе,­120 руб. Учитель предлагает найти разность стоимостей (60 руб.) Выясняется, что показывает  это число. Учитель выполняет новую краткую запись, по которой дети составляют  задачу:   Цена Одинаковая Количество I­6 м II­4 м Стоимость ?на 10 руб. больше          ? На доске и в тетрадях можно выполнить иллюстрацию: I   II Выясняется, почему 1­й покупатель заплатил больше, чем 2­й; за сколько метров 1­й  уплатил столько же денег, сколько 2­й; за какую материю он уплатил 10 руб. На чертеже появляется запись: I                                                                                                                                     10 руб. II Затем составляется план решения. 6.Закрепление умения решать задачи.       1) решение задач 1­го вида с различными группами величин;       2) решение задач 2­го вида       3) упражнения на преобразования задач (например, по задаче на нахождение  четвертого пропорционального составить две задачи на нахождение неизвестных по  двум разностям и сравнить их решение.)