Многогранники

МНОГОГРАННИКИ

Многогранником называется совокупность таких плоских многоугольников, у которых каждая сторона одного является  одновременно стороной другого (но только одного).

Итальянский учёный-францисканец Лука Пачоли на рубеже 15-16 вв. писал и публиковал математические труды, которые иллюстрировал, в том числе, Леонардо да Винчи. На портрете Пачоли (он в центре, а автор - не Леонардо да Винчи) - многогранники (один стеклянный, наполовину полон водой):

«Правильных многогранников вызывающе мало», - написал когда-то Л. Кэрролл, - но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук.

Л. Кэрролл

История

Названия правильных многогранников пришли из Греции. В дословном переводе с греческого "тетраэдр", "октаэдр","гексаэдр","додекаэдр", "икосаэдр" означают: "четырехгранник", "восьмигранник","шести-гранник", "двенадцатигранник", "двадцатигранник".

Этим красивым телам посвящена 13-я книга "Начал" Евклида. Их еще называют телами Платона, т.к. они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания.Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или "стихии".

Евклид

Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх.


Икосаэдр - воду, т.к. он самый "обтекаемый"; куб - землю, как самый "устойчивый".


Октаэдр - воздух, как самый "воздушный".


Декаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным.

Было выяснено, что правильных многогранников ровно пять. Знаменитый математик Л. Эйлер получил формулу :
В+Г-Р=2,
которая связывает число вершин /В/, граней /Г/ и ребер /Р/ любого многогранника. Простота этой формулы заключается в том, что она не связана ни с расстоянием, ни с углами.

ФОРМУЛА Л.ЭЙЛЕРА В+Г-Р=2

Л. Эйлер

Звездчатые формы вместе с правильными и полуправильными телами образуют 66 тел. Это число почти удвоится, если к ним добавить невыпуклые однородные многогранники, у которых часть граней, состоящая из правильных многоугольников, является выпуклой, а часть оказывается вдавленной внутрь объема.

Звездчатые формы многогранника.

Это свойство тел, с одной стороны, роднит их с правильными и полуправильными телами, а с другой — объединяет и со звездчатыми телами, которые могут покоиться на плоскости, только опираясь на несколько вершин или ребер. Особый класс образуют параллелоэдры, которыми можно заполнить все бесконечное пространство, не оставляя пустоты и без того, чтобы их внутренние объемы пересекались.

В Новое время Кеплер ввел звездчатый октаэдр, который получался в результате взаимного проникновение двух тетраэдров, построенных внутри куба. У него получилось, что из каждой грани одного тетраэдра торчит вершина другого тетраэдра в форме трехгранной пирамиды. Эта фигура уже не относится к выпуклым многогранникам, так как ее невозможно поставить, скажем, на стол одной какой-то гранью.


Звездчатый октаэдр

Кеплер

Выпуклым - называется такой многогранник, который остается по одну строну от плоскости любой своей грани. В многограннике Кеплера оказалось 14 вершин, 24 грани и 36 ребер

К звездчатым относятся и тела Пуансо, у которых имеются самопересекающиеся грани. Они, как и звезда Кеплера, не противоречат определению многогранника, а это определение требует, чтобы каждое ребро многогранника разделяло две и только две грани.

Тела Пуансо

Пуансо

Его виды

Малый звездчатый додекаэдр - звездчатый додекаэдр первого продолжения. Каждая грань выпуклого додекаэдра при продолжении образует правильный звездчатый пятиугольник. Пересекающиеся плоскости граней додекаэдра отделяют от пространства новые "куски", внешние по отношению к додекаэдру.

Звездчатый октаэдр - восемь пересекающихся плоскостей граней октаэдра отделяют от пространства новые "куски", внешние по отношению к октаэдру. Это малые тетраэдры основания которые совпадают с гранями октаэдра.

Пирамида - это многогранник, одна грань которого многоугольник, а остальные грани - треугольники  с общей вершиной. Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник и высота пирамиды проходит через центр многоугольника. Пирамида называется усеченной, если вершина её отсекается плоскостью.

Развернутые виды многоугольников

Призма - многоугольник, две грани которого (основания призмы) представляют собой равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами, а все другие грани параллелограммы. Призма называется прямой, если её ребра перпендикулярны плоскости основания. Если основанием призмы является прямоугольник, призму называют параллелепипедом

Призматоид - многогранник, ограниченный двумя многоугольниками, расположенными в параллельных плоскостях (они являются его основаниями); его боковые грани представляют собой треугольники и трапеции, вершины которых являются и вершинами  многоугольников оснований.

Тетраэдр - правильный четырехгранник. Он ограничен четырьмя равносторонними треугольниками (это правильная треугольная пирамида).

Тела Платона

Гексаэдр - правильный шестигранник Это куб состоящий из шести равных квадратов.

Октаэдр - правильный восьмигранник. Он состоит из восьми равносторонних и равных между собой треугольников, соединенных по четыре у каждой вершины.

Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, состоит из двенадцати правильных и равных пятиугольников, соединенных по три около каждой вершины

Икосаэдр - состоит из 20 равносторонних и равных треугольников, соединенных по пять около каждой вершины

БИБЛИОГРАФИЯ
Александров А.Д. Что такое многогранник?/ А.Д. Александров// Математика в школе.-1981.-№1-2. – 237с.
Глейзер Г.И. История математики школы. – М.: Просвещение, 1982-241с.
Киселёв А.П. Геометрия: Учебник для 9-10 классов средней школы./ А.П.Киселёв. – М.:2004.-328с.
Саакян С.М. Изучение темы «Многогранники» в курсе для 10-11 кл. гуманит. Профиля./ И.М. Смирнова. – М.: Просвещение, 2008.- 288с.
Сверчевская. А.А.// Математика в школе. – 2003. - № 7.- 125с.
Ходеева Т. Свойства многогранников./ Т.Ходеева.// Математика. – 2002. - № 11.- 110с.
ru.wikipedia.org/wiki/многогранники
www.uztest.ru/abstracts
www.matematike.net/geometries
www.yaklass.ru/materiali?mode9klass
www.ext.tr200.biz
www.matematika.ru
www.glovl.ru